离散数学课堂习题及答案

1.1 命题及其表示法
1.下列陈述句中，（）不是命题。

A.2013年国庆节是星期天。

B.火星上有生物。

C.月球距离地球近。

D.上海是大城市。

2.下列命题中，（）是复合命题。

A.江山代有人才出。

B.我花开时百花杀。

C.春江水暖鸭先知。

D.万紫千红总是春。

3.下列命题中，（）是原子命题。

A.燕子飞回南方，春天来了。

B.天才是炼成的，而不是天生的。

C.暮春三月，江南草长。

D.哥白尼指出地球绕太阳转。

4.下列命题中，（）是原子命题。

A.王芳与王菲是姐妹。

B.王芳与王菲是三好学生。

C.王芳与王菲持有驾照。

D.王芳与王菲喜欢早睡早起。

5.下列命题中，（）是原子命题。

A.数学是科学的皇后，而数论是数学的皇后。

B.数学使人精细，逻辑使人善辩。

C.较大的偶数都可表示为两个素数的和。

D.数学是一种语言，也是一种工具。

6.判断一个语句是否为命题，首先看它是否为陈述句，然后再看它是否具有唯一的真值。

1.C
2.B
3.D
4.A
5.C
6.陈述句，真值
1.2 命题联结词
1.命题“如果我休假，我将去美丽的黄山旅游。

”的否定可表示为
2.命题“每个学生都要考试。

”的否定可表示为
3.命题“1既不是素数也不是合数。

”的否定可表示为
4.命题“如果我是你，那么太阳从西边出。

”的真值为
5.命题“如果时间倒流，那么我们将长生不老。

”的真值为
6.命题“2是偶数或3是奇数。

”的否定可表示为（）。

A.2不是偶数或3不是奇数。

B.2不是偶数且3不是奇数。

C.2不是偶数或3是奇数。

D.2不是偶数且3是奇数。

7.设P:中国地处亚洲。

Q:大熊猫产在中国。

R:太阳从西边升起。

求下列复合命题的真值。

（1）(P↔Q)→R
（2）（R→(P∧Q))↔┐P
（3）┐R→(┐P∨┐Q∨R)
（4）(┐P↑Q)↓(Q↑┐R)
8.命题“我善良、正直、勤奋、感恩、有责任、有尊严，所以我幸福。

”的否定可表述。

1.我休假且我不将去美丽的黄山旅游。

2.有的学生不要考试。

3.1是素数或合数。

4.1或T
5.1或T
6.B
7.（1）0或F （2）0或F （3）0或F （4）0或F
8.我善良、正直、勤奋、感恩、有责任、有尊严，并且我不幸福。

1.3 命题公式及其真值表
1.命题公式(P→Q)∧((Q→R)→(P→R))的类型为（）。

A 重言式
B 矛盾式
C 可满足式
D 不确定
2.命题公式(P→Q)→R的类型为（）。

A 重言式
B 矛盾式
C 可满足式
D 不确定
3.命题公式((P∧Q)∨(P∧R)∨(Q∧R))↔((P∨Q)∧(P∨R)∧(Q∨R))的类型为（）。

A 重言式
B 矛盾式
C 可满足式
D 不确定
4.设P：它占据空间。

Q：它有质量。

R：它不断变化。

S：它是物质。

命题“占据空间的，有质量的而且不断变化的叫做物质。

”翻译为。

命题“占据空间的有质量的叫做物质，而且物质是不断变化的。

”翻译为。

5.命题公式┐(P∧Q)→R的成真赋值为。

6.命题公式（P∨Q∨R)↔┐R的成真赋值为。

7.翻译下列命题
（1）辱骂和恐吓决不是战斗。

（2）我们要做到德、智、体、美全面发展，为祖国建设而奋斗。

（3）上海到北京的D27次列车是下午五点半或六点开。

（4）如果你有时间，那就陪我去度假。

（5）如果爸爸和妈妈不同意，那我就不去探险。

（6）喝酒不开车，开车不喝酒。

1.C
2.C
3.A
4.(P∧Q∧R)↔ S，((P∧Q)↔ S)∧(S→R)
5.001，011，101，110，111
6.010，100，110
7.（1）P∨Q，其中P：辱骂不是战斗。

Q：恐吓不是战斗。

（2）(A∧B∧C∧D)↔ P，其中
A：我们要做到德育发展。

B：我们要做到智育发展。

C：我们要做到体育发展。

D：我们要做到美育发展。

P：我们为祖国建设而奋斗。

（3）P∇Q，其中P：上海到北京的D27次列车是下午五点半开。

Q：上海到北京的D27次列车是下午六点开。

（4）P→Q，其中P：你有时间。

Q：你陪我去度假。

（5）(┐P∨┐Q)→┐R，其中P：爸爸同意。

Q：妈妈同意。

R：我去探险。

（6）(P→┐Q)∨(Q→┐P)，其中P：喝酒Q：开车
1.4 逻辑等价
1.化简命题公式A∨(┐A∨(B∧┐B)) ⇔。

2.化简命题公式((A→B)↔(┐B→┐A))∧C⇔ C 。

3.化简命题公式(A∧B∧C)∨(┐A∧B∧C) ⇔。

4.已知三元命题公式A(P1,P2,P3)是重言式，则A(┐P1,┐P2,┐P3)是重言式；A(┐P1,P2,P3)是式。

5.已知三元命题公式A(P1,P2,P3)是矛盾式，则A(┐P1,┐P2,P3)是矛盾
式；A(P1,P2,┐P3)是式。

6.由三个命题变元能组成个不等价的命题公式。

7.已知A是B的充分条件，B是C的必要条件，D是B的必要条件，A是D的条件。

8.设P与Q是命题变元，则德·摩根律可表示为；吸收律可表示为。

9.下列语句中，（）正确。

A．若P∧R⇔Q∧R，则P⇔Q
B．若P∨R⇔Q∨R，则P⇔Q
C．若P→R⇔Q→R，则P⇔Q
D．若P↔R⇔Q↔R，则P⇔Q
10.下列式子中，（）不正确。

A．┐(P↑Q)⇔┐P↓┐Q
B．┐(P↓Q)⇔┐P↑┐Q
C．┐(P↔Q)⇔┐P↔┐Q
D．P↔Q⇔┐P↔┐Q
1. T或1
2.C
3.B∧C
4.重言式或永真式，重言式或永真式
5.矛盾式或永假式，矛盾式或永假式
2 7.充分
6.32
8.┐(P∧Q)⇔┐P∨┐Q，┐(P∨Q)⇔┐P∧┐Q；P∧(P∨Q)⇔P，P∨(P∧Q)⇔P
9.D 10.C
1.5 联结词的全功能集合
1.下列式子中，（）不正确。

A.P→(Q→R)⇒(P→Q)→(P→R)
B.P→(Q→R)⇒(P→Q)→R
C.P→(Q→R)⇔Q→(P→R)
D.P→(Q→R)⇔(P∧Q)→R
2.下列语句中，（）不正确。

A.若P⇒Q，R⇒S，则P∧R⇒Q∧S。

B.若P⇒Q，P⇒R，则P⇒Q∧R。

C.若P⇒Q，R⇒Q，则P∧R⇒Q。

D.若P⇒Q，Q⇒R，则P⇒R。

3.如果P⇒Q，则下列式子中，（）成立。

A.┐P⇒┐Q
B.┐Q⇒┐P
C.P⇒┐Q
D.┐P⇒Q
4.如果A∨B⇔A∨C，┐A∨B⇔┐A∨C，则B⇔C。

其对偶命题为。

5.命题公式P↓┐Q的对偶式可表示为或。

6.已知命题公式┐P→┐Q，其逆换式是为；其反换式是为；其逆反式是为。

1.B
2.C
3.B
4.如果A∧B⇔A∧C，┐A∧B⇔┐A∧C，则B⇔C。

5.P↑┐Q，┐P∨Q
6.┐Q→┐P；P→Q；Q→P
1.6 蕴含与对偶
1.仅用联结词↓表达下列命题公式┐P⇔；P∨Q⇔；P∧Q⇔。

2.命题联结词、、、、、的运算均满足交换律。

3.列举六个命题最小全功能集合为，，，，，。

4.仅用联结词↓表达命题公式P→Q⇔；
仅用联结词↑表达命题公式P→Q⇔。

5.试证明{┐,→}，{┐, }，{↑}，{↓}均是最小全功能集合。

6.下列式子中（）不正确。

A．┐(P↑Q)⇔┐P↓┐Q
B．┐(P↓Q)⇔┐P↑┐Q
C．P∧(Q∇R)⇔(P∧Q)∇(P∧R)
D．P∨(Q∇R)⇔(P∨Q)∇(P∨R)
1.P↓P；(P↓Q)↓(P↓Q)；(P↓P)↓(Q↓Q)
2.∧、∨、↔、↑、↓、∇
3. {┐，∧}，{┐，∨}，{↑}，{↓}，{┐，→}，{┐， }
4.P↑(Q↑Q)；((P↓P)↓Q)↓((P↓P)↓Q)
5.例1.
6.1已证明{┐，∨}是最小全功能集合。

由于P∨Q⇔┐P→Q，即仅用联结词┐与→就可表示┐与∨，故{┐，→}是最小全功能集合。

由于P∨Q⇔┐(┐P∧┐Q) ⇔┐(┐P Q)，即仅用联结词┐与 就可表示┐与∨，故{┐， }是最小全功能集合。

由于┐P⇔P↑P，所以P∨Q⇔(P↑P)↑(Q↑Q)，即仅用联结词↑就可表示┐与∨，故{↑}是最小全功能集合。

由于┐P⇔P↓P，所以P∨Q⇔ (P↓P) ↓(Q↓Q)，即仅用联结词↓就可表示┐与∨，故{↓}是最小全功能集合。

6.D
1.7 命题公式的范式
1.命题公式(P→(Q∧R))∧(┐P↔ (┐Q∧┐R))的主合取范式为（）。

A．↖(0,7) B．↖(1,2,3,4,5,6)
C．↕(0,7) D．↕(1,2,3,4,5,6)
2.命题公式(P→(Q∧R))∧(┐P↔ (┐Q∧┐R))的主析取范式为（）。

A．↖(0,7) B．↖(1,2,3,4,5,6)
C．↕(0,7) D．↕(1,2,3,4,5,6)
3.命题公式(P→(Q∧R))∧(┐P↔ (┐Q∧┐R))的类型为（）。

A．重言式B．矛盾式
C．可满足式D．不确定
4.命题公式P∨(┐P∧┐Q∧R)∨(P∧┐R)的主合取范式为（）。

A．↖(1,4,5,6,7) B．↖(0,2,3)
C．↕(1,4,5,6,7) D．↕(0,2,3)
5.命题公式P∨(┐P∧┐Q∧R)∨(P∧┐R)的主析取范式为（）。

A．↖(1,4,5,6,7) B．↖(0,2,3)
C．↕(1,4,5,6,7) D．↕(0,2,3)
6.命题公式P∨(┐P∧┐Q∧R)∨(P∧┐R)的类型为（）。

A．重言式B．矛盾式
C．可满足式D．不确定
7.命题公式┐P∧(P∨┐Q∨R)∧(┐P∨┐Q)的主合取范式为（）。

A．↖(2,4,5,6,7) B．↖(0,1,3)
C．↕(2,4,5,6,7) D．↕(0,1,3)
8.命题公式┐P∧(P∨┐Q∨R)∧(┐P∨┐Q)的主析取范式为（）。

A．↖(2,4,5,6,7) B．↖(0,1,3)
C．↕(2,4,5,6,7) D．↕(0,1,3)
9.命题公式┐P∧(P∨┐Q∨R)∧(┐P∨┐Q)的类型为（）。

A．重言式B．矛盾式
C．可满足式D．不确定
10.关于命题公式┐(P∧Q)↔ (Q∧R)的范式，下列结论中（）正确。

A．只有主合取范式。

B．既有主合取范式又有主析取范式。

C．只有主析取范式。

D．既没有主合取范式又没有主析取范式。

11.已知三元命题公式A(P,Q,R)，B(P,Q,R)，C(P,Q,R)的真值表如表1.7.6所示，它们的
最简形式分别表示为A(P,Q,R)⇔，B(P,Q,R)⇔，C(P,Q,R)⇔。

1.D
2. A
3. C
4. D
5. A
6.C
7. C
8. B
9. C 10.B
11.P；(┐P∨Q∨┐R)；(┐P∧┐Q)∨(P∧Q∧┐R)
1.8 命题逻辑的推理理论
1.前提┐P∨Q，┐Q∨P，┐R的有效结论是（）。

题目好像有问题
A．Q B．┐P C．P∨Q D．┐Q→R
2.前提S→┐Q，S∨R，┐R，┐P↔Q的有效结论是（）。

A．P B．R C．┐P D．┐S
3.下列命题公式中，（）不是前提P,P→Q的有效结论。

A．P∨Q B．P∨┐Q
C．┐P∨Q D．┐P∨┐Q
4.证明下列各式。

（1）P∨Q，P→R，Q→S⇒S∨R
（2）P→(Q→R)，S∨P，Q⇒S∨R
（3）R→┐Q，R∨S，S→┐Q，P→Q⇒┐P
（4）S→┐Q，S∨R，┐R，┐P↔Q⇒P
（5）┐(P→Q)→┐(R∨S)，(Q→P)∨┐R，R⇒P↔Q
（6）P→(Q∧R)，┐Q∨S，(E→┐F)→┐S，Q→(P∧┐E)⇒Q→E
5.对下面的每一组前提，写出可能导出的有效结论及所应用的推理规则。

（1）若甲获胜，则乙失败；若丙获胜，则乙也获胜；若甲不获胜，则丁不失败；而丙获胜。

（2）如果我设计的程序运行通过，那么我很兴奋。

如果我很兴奋，那么笑容是灿烂的，歌声是燎亮的。

而我很想哭还很想骂人。

6.构造下列推理的证明。

若x是实数，则它不是有理数就是无理数。

若x不能表示成分数，则它不是有理数。

x是实数且不能表示成分数。

所以x是无理数。

1.？
2.A
3.D
4.（1）①P→R P
②Q→S P
③P∨Q→R∨Q T，①，I14
④Q∨R→S∨R T，②，I14
⑤P∨Q→S∨R T，③④合取，I10
⑥P∨Q P
⑦S∨R T，⑤⑥合取，I7
（2）①P→(Q→R) P
②Q→(P→R) T，①，E17
③Q P
④P→R T，②③合取，I7
⑤S∨P P
⑥┐S→P T，⑤，E11
⑦┐S→R T，④⑥合取，I10
⑧S∨R T，⑦，E11
（3）①R∨S P
②R→┐Q P
③S→┐Q P
④┐Q T，①②③合取，I11
⑤P→Q P
⑥┐P T，④⑤合取，I8
另外，用归谬法证明
①P P（附加）
②P→Q P
③Q T，①②合取，I7
④R→┐Q P
⑤R∨S P
⑥S→┐Q P
⑦┐Q T，④⑤⑥合取，I11
⑧0 T，③⑦合取，E10
（4）①S∨R P
②┐R P
③S T，①②合取，I9
④S→┐Q P
⑤┐Q T，③④合取，I7
⑥┐P↔ Q P
⑦(┐P→Q)∧(Q→P) T，⑥，E12
⑧┐P→Q T，⑦，I1
⑨P T，⑤⑧合取，I8（5）①(Q→P)∨┐R P
②R P
③Q→P T，①②合取，I9
④┐(P→Q)→┐(R∨S) P
⑤(R∨S) →(P→Q) T，④，E15
⑥R∨S T，②，I2
⑦P→Q T，⑤⑥合取，I7
⑧(Q→P)∧(P→Q) T，③⑦合取，I16
⑨P↔ Q T，⑧，E12
（6）用CP规则证明
①Q P（附加）
②┐Q∨S P
③S T，①②合取，I9
④(E→┐F)→┐S P
⑤┐(E→┐F)T，③④合取，I7
⑥┐(E∨┐F) T，⑤，E11
⑦E∧F T，⑥，E7
⑧E T，⑦，I1
5.（1）设A：甲获胜。

B：乙获胜。

C：丙获胜。

D：丁获胜。

前提：A→┐B，C→B，┐A→D，C
①A→┐B P
②B→┐A T，①，E15
③C→B P
④C→┐A T，②③合取，I10
⑤┐A→D P
⑥C→D T，④⑤合取，I10
⑦C P
⑧D T，⑥⑦合取，I7
结论：D，丁获胜。

（2）设A：我设计的程序运行通过。

B：我很兴奋。

C：笑容是灿烂的。

D：歌声是燎亮的。

前提：A→B，B→(C∨D)，┐C，┐D
①A→B P
②B→(C∨D) P
③A→(C∨D) T，①②合取，I10
④┐C P
⑤┐D P
⑥┐C∧┐D T，④⑤合取，I16
⑦┐(C∨D) T，⑥，E7
⑧┐A T，③⑦合取，I8
结论：┐A，我设计的程序运行没通过。

6.设P：x是实数。

Q：x是有理数。

R：x是无理数。

S：x能表示成分数。

前提：P→(┐Q→R)，┐S→┐Q，P，┐S
结论：R
①P P
②P→(┐Q→R) P
③┐Q→R T，①②合取，I10
④┐S→┐Q P
⑤┐S→R T，③④合取，I10
⑥┐S P
⑦R T，⑤⑥合取，I7
2.1 个体与谓词
1.命题“李明是王芳和王菲的教练。

”的个体为（）。

A．李明B．王芳，王菲
C．王菲D．李明，王芳，王菲
2.命题“5＋6＝11。

”的个体为（）。

A．11 B．5，6
C．5 D．5，6，11
3.命题“长江和黄河都流经安徽境内。

”的个体为，谓词为，该谓词刻画了个体的，且其真值为。

4.命题“九华山是著名的佛教圣地。

”的个体为，谓词为。

该谓词刻画了个体的。

5.翻译下列命题。

（1）上海不是中国的最大城市。

（2）外星人曾访问过地球且今天是雨天。

（3）如果王芳和王菲是朋友，那么2＋5＝6。

（4）王菲是优秀共产党员或三好学生。

（5）太阳从东方升起，当且仅当地球绕太阳转。

（6）王菲是计算机学院老师，他生于1968年，他是教授或博导。

（7）中国地大物博，人口众多，是发展中国家。

1.D
2.D
3.长江，黄河，安徽；…和…流经…境内；关系；0或F
4.九华山；是著名的佛教圣地；性质
5.（1）┐P(a)，
其中P：是中国的最大城市a：上海
（2）P(a)∧Q(b)，
其中P：访问过地球a：外星人Q：是雨天b：今天
（3）P(a,b)→Q(2,5,6)，
其中P：…和…是朋友Q：…＋…＝…a：王芳b：王菲
（4）P(a)∨Q(a)，
其中P：是优秀共产党员Q：是三好学生a：王菲
（5）P(b)↔Q(a,b)，
其中P：从东方升起Q：…绕…转a：地球绕b：太阳
（6）P(a)∧Q(a)∧(R(a)∨S(a))，
其中P：是计算机学院老师Q：生于1968年R：是教授S：是博导a：王菲（7）P(a)∧Q(a)∧R(a)，
其中P：地大物博Q：人口众多R：是发展中国家a：中国
2.2 命题函数与量词
1.令F(x)：x是金属。

G(y)：y是液体。

H(x,y)：x可以溶解在y中。

则命题“任何金属可以溶解在某种液体中。

”可翻译为（）。

A．∀x(F(x)∧∃y(G(y)∧H(x,y)))
B．∀x∃y(F(x)→(G(y)→H(x,y)))
C．∀x(F(x)→∃y(G(y)∧H(x,y)))
D．∀x(F(x)→∃y(G(y)→H(x,y)))
2.令F(x)：x是火车。

G(y)：y是汽车。

H(x,y)：x比y快。

则命题“某些汽车比所有火车慢。

”可翻译为（）。

A.∃y(G(y)→∀x(F(x) ∧H(x,y)))
B.∃y(G(y)∧∀x(F(x)→H(x,y)))
C.∀x∃y(G(y)→(F(x)∧H(x,y)))
D.∃y(G(y)→∀x(F(x)→H(x,y)))
3.设F(x,y):x有y。

M(x)：x是人。

G(x)：x是缺点。

则F(x,y)称为，x与y称为；M(x)与G(x)称为，x称为。

命题“每个人都有缺点。

”翻译为。

4.设P(x)：x是人。

Q(x)：x犯错误。

命题“没有不犯错误的人，每个人都犯错误。

”在全总个体域上翻译为，取人类集合为论域翻译为。

5.设P(x)：x是人。

Q(x)：x聪明。

命题“尽管有人聪明，但未必一切人都聪明。

”在全总个体域上翻译为，取人类集合为论域翻译为。

6.令F(x)：x是汽车。

G(y)：y是火车。

H(x,y)：x比y快。

命题“有些汽车比某些火车快。

”可翻译为。

命题“有些汽车比所有火车快。

”可翻译为。

命题“所有汽车比所有火车快。

”可翻译为。

命题“所有汽车比某些火车快。

”可翻译为。

7.翻译下列命题
（1）计算机专业的学生都要学离散数学。

（2）每个人都要学习和工作。

（3）并非一切推理都能用计算机完成。

（4）任何自然数都有唯一的一个后继数。

（5）是金子都闪光，但闪光的未必是金子。

（6）每个实数的平方都不小于0。

（7）凡是实数，不是大于0就是等于0或小于0。

（8）对于所有的实数x与y，均有x2＋y2≣2xy。

（9）有的自然数既是质数又是合数，没有自然数既不是质数又不是合数。

（10）每个人恰有一个最好的朋友。

（11）有位美国人游览过中国每个城市的各个景点。

（12）这只大红书柜摆满了那些唐朝时期的古书。

（13）有些大学生不钦佩歌星。

（14）所有运动员都钦佩某些教练。

(15)没有一位女同志既是国家选手又是家庭妇女。

1.C
2.B
3.二元谓词；个体变量；一元谓词；个体变量；∀x(M(x)→G(x))
4.┐∃x(P(x)∧┐Q(x))∧∀x(P(x)→Q(x))；┐∃x┐Q(x)∧∀x Q(x))
5.∃x(P(x)∧Q(x))∧┐∀x(P(x)→Q(x))；∃x Q(x)∧┐∀x Q(x))
6.∃x∃y(F(x)∧G(y)∧H(x,y))；∃x(F(x)∧∀y(G(y)→H(x,y)))；
∀x(F(x)→∀y(G(y)→H(x,y)))；∀x(F(x)→∃y (G(y)∧H(x,y)))
7.（1）∀x(P(x)→Q(x))，
其中P(x)：x是计算机专业的学生。

Q(x)：x要学离散数学。

（2）∀x(M(x)→(P(x)∧Q(x))，
其中M(x)：x是人。

P(x)：x要学习。

Q(x)：x要工作。

（3）┐∀x(P(x)→∃y(Q(y)∧F(x,y))，
其中P(x)：x是推理。

Q(x)：x是计算机。

F(x,y) ：x能由y完成。

（4）取论域：自然数集
∀x∃y∃z(F(x,y)∧(F(x,z)→(y＝z)))，
其中F(x,y)：y是x的后继。

（5）∀x(P(x)→Q(x))∧∃x(Q(x)∧┐P(x))，
其中P(x)：x是金子。

Q(x)：x闪光。

（6）∀x(P(x)→┐F(f(x),0)，
其中P(x)：x是实数。

f(x)：x的平方。

F(x,y)：x小于y 。

（7）∀x(P(x)→(B(x)∨C(x)∨D(x)))
其中P(x)：x是实数。

B(x)：x大于0。

C(x)：x等于0。

D(x)：x小于0。

（8）∀x∀y((P(x)∧P(y))→(x2＋y2≣2xy))，
其中P(x)：x是实数。

（9）∃x(P(x)∧Q(x)∧R(x))∧┐∃x(P(x)∧Q(x)∧┐R(x))
其中P(x)：x是自然数。

Q(x)：x是质数。

R(x)：x是合数。

（10）取论域：人类集合
∀x∃y∀z(F(x,y)∧(F(x,z)→(y≠z)))，
其中F(x,y) ：y是x的最好朋友。

（11）∃x(P(x)∧∀y (Q(y)→∀z(R(z)→F(x,y,z)))，
其中P(x)：x是美国人。

Q(x)：x是中国城市。

R(x)：x是景点。

F(x,y,z)：x游览过y的z 。

（12）A(a)∧B(a)∧C(a)∧F(a,b)∧P(b)∧Q(b)∧R(b)，
其中A(x)：x是大的。

B(x)：x是红的。

C(x)：x是书柜。

P(y)：y是唐朝时期的。

Q(y)：y是古老的。

R(y)：y是书。

F(x,y)：x摆满了y 。

a：这只b：那些
（13）∃x(P(x)∧∀y (Q(y)→┐F(x,y))，
其中P(x)：x是大学生不钦佩。

Q(x)：x是歌星。

F(x,y)：x钦佩y 。

（14）∀x(P(x)→∃y (Q(y) ∧F(x,y))，
其中P(x)：x是运动员。

Q(x)：x是教练。

F(x,y)：x钦佩y 。

(15)┐∃x(P(x)∧Q(x)∧R(x))，
其中P(x)：x是女同志。

Q(x)：x是国家选手。

R(x)：x是家庭妇女。

2.3 谓词公式与约束变元
1. 设论域为实数集，下列谓词公式中，（）是0元谓词。

A．∀x∃y(x＋y＝5) B．∀x(x＋y＝5)
C．∀x∀y(x＋y＋z＝5) D．∃y(x＋y＝5)
2.设论域为非负整数集，下列谓词公式中，（）的真值为真。

A．∀x∃y(xy＝0) B．∀x∃y(xy＝1)
C．∃x∀y(xy＝2) D．∀x∀y∃z(x－y＝z)
3.设论域为整数集，下列谓词公式中，（）的真值为真。

A．∀x∃y(x＋y＝0) B．∃y∀x(x＋y＝0)
C．┐∀x∃y(x＋y＝0) D．∀x∀y(x＋y＝0)
4.在论域{2,3}中，（）与∀x∃yP(x,y)等价。

A．(P(2,2)∧P(2,3))∨(P(3,2)∧P(3,3))
B．(P(2,2)∨P(2,3))∧(P(3,2)∨P(3,3))
C．P(2,2)∨P(2,3)∨P(3,2)∨P(3,3)
D．P(2,2)∧P(2,3)∧P(3,2)∧P(3,3)
5.谓词公式∀xP(x,y)→(∃zQ(x,z)∧∀yR(x,y))中变元x（）。

A．是自由变元但不是约束变元。

B．是约束变元但不是自由变元。

C．既不是自由变元也不是约束变元。

D．既是自由变元又是约束变元。

6.取论域{2,3}，当x＝y时，L(x,y)的真值为1；当x≠y时，L(x,y)的真值为0。

则∀x∃yL(x,y)的真值为（）。

A．1B．0C．1或0D．不确定
7.谓词公式∀x┐(P(x)→∃xR(x,y))∧Q(x,y)中，∀x的辖域为（）。

A．P(x) B．P(x)→∃xR(x,y)
C．∃xR(x,y) D．┐(P(x)→∃xR(x,y))
8．谓词公式∀x∀y(P(x,y)∧Q(y,z))→∃xR(x,y)中，∀x的辖域为，∀y的辖域为，∃x的辖域为。

9.谓词公式∀x(P(x,y)∧∃xQ(x,y))∧∀yP(x,y)中的自由变元为，约束变元为，量词∀x的约束变元为。

10.对谓词公式∀x(P(x,y)∧∃xQ(x,y))∧∀yP(x,y)实施约束变元换名规则得，实施
自由变元代人规则得。

11.给定谓词公式∀x(P(x)∨∃yQ(y))，其中P(x)：x＝1，Q(y)：y＝2，取论域为{1,2}，其真
值为；取论域为{0,1,3}，其真值为。

1. A
2. A
3. A
4.B
5.D
6. A
7.D
8.∀y(P(x,y)∧Q(y,z))；P(x,y)∧Q(y,z)；R(x,y)
9. x与y ；x与y ；P(x,y)中个体变量x
10.∀t(P(t,y)∧∃sQ(s,y))∧∀yP(x,y)；∀x(P(x,a)∧∃xQ(x,a))∧∀yP(b,y)
11.T或1；F或0
2.4 谓词演算等价式与蕴含式
1．设论域为非负整数集，下列谓词公式中（）为永真式。

A．∀x∃y(xy＝0) B．∀x∃y(xy＝1)
C．∃y∀x(xy＝2) D．∀x∀y∃z(x－y＝z)
2．设论域为整数集，下列谓词公式中（）为永真式。

A．∀x∃y(x＋y＝0) B．∃y∀x (x＋y＝0)
C．┐∀x∃y(x＋y＝0) D．∀x∀y(x＋y＝0)
3．谓词演算中，下列各式（）不正确。

A．∀x(A(x)∧B(x))⇔∀xA(x)∧∀xB(x)
B．∃x(A(x)∨B(x))⇔∃xA(x)∨∃xB(x)
C．∀x(A(x)∨B(x))⇒∀xA(x)∨∀xB(x)
D．∃x(A(x)∧B(x))⇒∃xA(x)∧∃xB(x)
4．谓词演算中，下列各式（）不正确。

A．∀x∀yP(x,y)⇒∃x∀yP(x,y)
B．∀x∀yP(x,y)⇒∀y∃xP(x,y)
C．∀x∀yP(x,y)⇒∃x∃yP(x,y)
D．∀y∃xP(x,y)⇒∃x∀yP(x,y)
5．设B是不含变量x的谓词公式，谓词公式∀x(A(x)→B)等价（）。

A．∃xA(x)→B B．∀xA(x)→B
C．A(x)→B D．A(x)→B
6．下列谓词公式中（）不是永真式。

A．∀x（┐P(x)→┐P(x)）B．∃x┐P(x)∨∀yP(x)
C．∀xP(x)→∃xP(x) D．P(x)→(∀yQ(x,y)∧P(x))
7．P(x)仅可解释为“P(x)：x是质数。

”或“P(x)：x是合数。

”在论域{3,4}上，谓词公式P(x)∧∃xP(x)为（）。

A．重言式B．矛盾式C．可满足式D．蕴含式
8.解释R如下：论域为实数集，a＝0，f(x,y)＝x－y，P(x,y)：x＜y。

（）在R上为重言式。

A．∀x∀y∀z(P(x,y)→P(f(x,z),f(y,z)))
B．∀x∀y(P(x,y)→P(f(x,a),a))
C．∀xP(f(a,x),a)
D．∀x∀yP(f(x,y),x)
9. 谓词公式∃x∃y(A(x)∧B(y))⇔∃xA(x)∧∃yB(y)成立的条件是中不含变量y，
且中不含变量x。

10.谓词公式∀x(F(x,y)∧∃yG(y))中是自由的，∀x(F(x)→G(x,y))中是自由的。

11.设论域为{2,3}，L(2,2)与L(3,3)的真值均为1，L(2,3)与L(3,2)的真值均为0,则
∀x∃y L(x,y)的真值均为 ,∃y∀x L(x,y)的真值均为。

12.设论域为{2,3,6}，F(x)：x≢3。

G(y)：y＞5。

则∃x(F(x)→∃yG(y))的真值为。

1. A 2. A 3.C 4.D 5. A 6.D 7. C 8. A
9. A(x)；B(y)
10. F(x,y)中的y；G(x,y)中的y
11. T或1；F或0
12. T或1
2.5 谓词演算的推理理论
1.取论域{2,3}，（）是∀xP(x)∧∃xQ(x)的有效结论。

A．P(2)∧P(3) B．P(2)∧Q(2)
C．P(3)∧Q(3) D．Q(2)∧Q(3)
2.下列谓词公式，（）中的变量x对y是自由的。

？
A．P(x,y)→∀yQ(x,y) B．∀y(P(x,y)∧Q(x,y))
C．∀y∀xP(x,y) D．P(x,y)∧∃xQ(x,y)
3.下列蕴涵式中，（）不成立。

A.∀x∃yP(x,y,6)⇒∃yP(6,y,6)
B.∃x∃yP(x,y,6)⇒∃yP(6,y,6)
C.∀x∃yP(x,y,6)⇒∃yP(x,y,6)
D.∀x∃yP(x,y,6)⇒∃z∀x∃yP(x,y,z)
4.翻译下列命题并推证其结论。

（1）所有的人都是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。

（2）每个有理数是实数，有些有理数是整数，因此有些实数是整数。

（3）同事之间总是有工作矛盾的，张明和李明没有工作矛盾，因而张明和李明不是同事。

（4）每个自然数不是奇数就是偶数，当且仅当能被2整除的自然数才是偶数，并不是所有的自然数都能被2整除，因此有的自然数是奇数。

（5）学术委员会成员都是教授，且都是博导，有些成员还是院士，所以有些成员既是博导又是院士。

（6）如果一个人怕困难，他就不会取得成功。

每个人或者取得成功，或者曾失败。

有些人曾未失败，所以有些人不怕困难。

（7）任何人违反交通规则，都要交纳罚款。

如果没有人交纳罚款，则没有人违反交通规则。

（8）所有的主持人都很有风度，李明是学生且是主持人。

因此有些学生很有风度。

（9）如果是计算机专业本科生或研究生，那么一定学过数据结构和程序设计语言。

只要学过数据结构或程序设计语言，就会编程序。

因为王菲是计算机专业本科生，所以王菲会编程序。

（10）会操作计算机的人都认识26个英文字母。

文盲都不认识26个英文字母。

有的文盲很聪明，所以有些聪明的人不会操作计算机。

1.A
2.D
3.B
4.（1）设P(x)：x是人。

Q(x)：x是要死的。

a：苏格拉底。

前提：∀x(P(x)→Q(x)，P(a)
结论：Q(a)
①∀x(P(x)→Q(x)) P
②P(a)→Q(a) US，①
③P(a) P
④Q(a) T，②③合取，I7
（2）设P(x)：x是有理数。

Q(x)：x是实数。

R(x)：x是整数。

前提：∀x(P(x)→Q(x))，∃x(P(x)∧R(x))
结论：∃x(Q(x)∧R(x))
①∀x(P(x)→Q(x)) P
②∃x(P(x)∧R(x)) P
③P(a)∧R(a) ES，②
④P(a)→Q(a) US，①
⑤P(a) T③，I1
⑥R(a) T③，I1
⑦Q(a) T，④⑤合取，I7
⑧Q(a)∧R(a) T，⑥⑦合取，I16
⑨∃x(Q(x)∧R(x)) EG，⑧
（3）设P(x,y)：x与y是同事。

Q(x,y)：x与y有工作矛盾。

a：张明。

b：李明。

前提：∀x ∀y(P(x,y)→Q(x,y))，┐Q(a,b)
结论：┐P(a,b)
①∀x ∀y(P(x,y)→Q(x,y)) P
②∀y(P(a,y)→Q(a,y)) US，①
③P(a,b)→Q(a,b) US，②
④┐Q(a,b) P
⑤┐P(a,b) T，③④合取，I7
（4）取论域：自然数集。

P(x)：x是奇数。

Q(x)：x是偶数。

R(x)：x能被2整除。

前提：∀x(┐P(x)→Q(x))，∀x(R(x)↔ Q(x))，┐∀xR(x)
结论：∃xP(x)
①∀x(R(x)↔Q(x)) P
②∀x((R(x)→Q(x))∧(Q(x)→R(x))) T，①，E12
③∀x(R(x)→Q(x)∧∀x(Q(x)→R(x)) T，②，E32
④∀x(Q(x)→R(x)) T，③，I1
⑤┐∀xR(x) P
⑥∃x┐R(x) T，⑤，E21
⑦┐R(a) ES，⑥
⑧Q(a)→R(a) ES，④
⑨┐Q(a) T，⑦⑧合取，I8
⑩∀x(┐P(x)→Q(x)) P
○11┐P(a)→Q(a) US，⑩
○12P(a) T，⑨合取11，I8
○13∃xP(x) EG，12
（5）设P(x)：x是学术委员会成员。

Q(x)：x是教授。

R(x)：x是博导。

S(x)：x是院士。

前提：∀x(P(x)→(Q(x)∧R(x)))，∃x(P(x)∧S(x))
结论：∃x(P(x)∧R(x)∧S(x))
①∃x(P(x)∧S(x)) P
②P(a)∧S(a) ES，①
③∀x(P(x)→(Q(x)∧R(x))) P
④P(a)→(Q(a)∧R(a)) US，③
⑤P(a) T，②，I1
⑥S(a) T，②，I1
⑦Q(a)∧R(a) T，④⑤合取，I7
⑧R(a) T，⑦，I1
⑨P(a)∧R(a)∧S(a) T，⑤⑥⑧合取，I16
（6）取论域：人类集合。

P(x)：x怕困难。

Q(x)：x获得成功。

R(x)：x失败。

前提：∀x(P(x)→┐Q(x))，∀x(Q(x)∨R(x))，∃x┐R(x)
结论：∃x┐P(x)
①∀x(P(x)→┐Q(x)) P
②∀x(Q(x)∨R(x)) P
③∃x┐R(x) P
④┐R(a) ES，③
⑤P(a)→┐Q(a) US，①
⑥Q(a)∨R(a) US，②
⑦Q(a) T，④⑥合取，I9
⑧┐P(a) T，⑤⑦合取，I8
⑨∃x┐P(x) EG，⑧
（7）设A(x,y)：x违反y。

B(x,z)：x交纳z。

取x的论域：人类集合。

y的论域：交通规则。

z的论域：罚款。

前提：∀x ∀y(A(x,y)→∃zB(x,z))
结论：┐∃x∃zB(x,z)→┐∃x∃y A(x,y)
用CP规则证明
①∀x ∀y(A(x,y)→∃zB(x,z)) P
②∀x ∀y∃z(A(x,y)→B(x,z)) T，①，E30
③∀y∃z(A(x,y)→B(x,z)) US，②
④∃z(A(x,y)→B(x,z)) US，③
⑤A(x,y)→B(x,a) ES，④
⑥┐∃x∃zB(x,z) P（附加）
⑦∀x ∀z┐B(x,z) T，⑥，E22
⑧∀z┐B(x,z) US，⑦
⑨┐B(x,a) ES，⑧
⑩┐A(x,y) T，⑤⑨合取，I8
○11∀y┐A(x,y) UG，⑩
○12∀x∀y┐A(x,y) UG，11
○13┐∃x∃y A(x,y) T，12，E22
（8）设P(x)：x是主持人。

Q(x)：x有风度。

R(x)：x是学生。

a：李明。

前提：∀x(P(x)→Q(x))，R(a)∧P(a)
结论：∃x(R(x)∧Q(x))
①∀x(P(x)→Q(x)) P
②P(a)→Q(a) US，①
③R(a)∧P(a) P
④P(a) T，③，I1
⑤R(a) T，③，I1
⑥Q(a) T，②④合取，I7
⑦R(a)∧Q(a) T，⑤⑥合取，I16
（9）取论域：人类集合。

P(x)：x是计算机专业本科生。

Q(x)：x是计算机专业研究生。

R(x)：x学过数据结构。

S(x)：x学过程序设计语言。

F(x)：x会编程序。

a：王菲前提：∀x((P(x)∨Q(x))→(R(x)∧S(x)))，∀x((R(x)∨S(x))→F(x))，P(a)
结论：F(a)
①∀x((P(x)∨Q(x))→(R(x)∧S(x))) P
②∀x((R(x)∨S(x))→F(x)) P
③(P(a)∨Q(a))→(R(a)∧S(a)) US，①
④(R(a)∨S(a))→F(a) US，②
⑤P(a) P
⑥P(a)∨Q(a) T，⑤，I2
⑦R(a)∧S(a) T，③⑥合取，I7
⑧R(a) T，⑦，I1
⑨R(a)∨S(a) T，⑧，I2
⑩F(a) T，④⑨合取，I7
（10）取论域：人类集合。

P(x)：x会操作计算机。

Q(x)：x认识26个英文字母。

R(x)：x是文盲。

S(x)：x聪明。

前提：∀x(P(x)→Q(x))，∀x(R(x)→┐Q(x))，∃x (R(x)∧S(x))
结论：∃x (S(x)∧┐P(x))
①∀x(P(x)→Q(x)) P
②∀x(R(x)→┐Q(x)) P
③∃x (R(x)∧S(x)) P
④R(a)∧S(a) ES，③
⑤P(a)→Q(a) US，①
⑥R(a)→┐Q(a) US，②
⑦┐Q(a)→┐P(a) T，⑤，E15
⑧R(a)→┐P(a) T，⑥⑦合取，I10
⑨R(a) T，④，I1
⑩S(a) T，④，I1
○11┐P(a) T，⑧⑨合取，I7
○12S(a)∧┐P(a) T，⑩合取11，I16
○13∃x (S(x)∧┐P(x)) EG，12
3.1 集合的概念与运算
1.设集合A＝{1,2,…,10}，B i是A的子集，由B17所表达的子集是；B37所表达的子集是；规定子集{2,6,7}为；规定子集{1,8}为。

2.设P(∅)为空集∅的幂集，则P(P(P(∅)))＝。

3.设P(∅)为空集∅的幂集，且B＝P(P(∅))，则下列论断中（）不正确。

A．∅↔B，∅⊆B
B．{∅}↔B，{∅}⊆B
C．{{∅}}↔B ，{{∅}}⊆B
D．{∅,{∅}}↔B ，{∅,{∅}}⊆B
4.下列论断中（）不正确。

A．∅⊆∅B．∅↔∅
C．∅⊆{∅} D．∅↔{∅}
5.下列论断中（）不正确。

A．{1}⊆{1} B．{1}⊆{1,{1}}
C．{1}↔{1} D．{1}↔{1,{1}}
6.设A，B，C为任意集合，下列论断正确的是（）。

A．若A↔B，B⊆C，则A↔C
B．若A↔B，B⊆C，则A⊆C
C．若A⊆B，B↔C，则A↔C
D．若A⊆B，B↔C，则A⊆C
E．若A⊆B，B↔C，则A∉C
F．若A↔B，B不是C的子集，则A∉C
7.设P(A)为集合A的幂集，则下列论断中（）不正确。

A．若A⊆B，则P(A)⊆P(B)
B．若P(A)＝P(B)，则A＝B
C．P(A∩B)＝P(A)∩P(B)
D．P(A∪B)＝P(A)∪P(B)
E．P(A－B)＝P(A)－P(B)
8.设A、B、C为任意集合，下列论断不正确的是（）。

A．A－(B∩C)＝(A－B)∪(A－C)
B．A－(B∪C)＝(A－B)∩(A－C)
C．A∩(B－C)＝(A∩B)－(A∩C)
D．A∪(B－C)＝(A∪B)－(A∪C)
9.设A、B、C为任意集合，下列论断正确的是（）。

A．若A∩B＝A∩C，则B＝C
B．若A∪B＝A∪C，则B＝C
C．若A－B＝A－C，则B＝C
D．若A⊕B＝A⊕C，则B＝C
10.设A、B、C为任意集合，下列论断不正确的是（）。

A．(A－B)－C＝A－(B∪C)
B．(A－B)－C＝(A－C)－(B－C)
C．(A－B)－C＝(A－C)－B
D．(A－B)－C＝A－(B－C)
11.设P(A)为集合A的幂集，下列论断正确的是（）。

A．A↔P(A) B．A∩P(A)＝A
C．A⊆P(A) D．A∪P(A)＝P(A)
12.设A、B为任意集合，若A∪B＝A，则；若A∩B＝A，则；若A－B＝A，则；若A－B＝B，则；若A－B＝B－A，则；若(A－B)∪(B－A)＝A，则；若A⊕B＝A，则；若A－B＝∅，则。

13.设A、B、C为任意集合，(A－B)∪(A－C)＝A当且仅当；(A－B)∪(A－C)＝∅
当且仅当；(A－B)∩(A－C)＝∅当且仅当；(A－B)⊕(A－C)＝∅当且仅当。

14.设A＝{x︱f(x)＝0}，B＝{x︱g(x)＝0}，则方程f(x)g(x)＝0的解集为。

15.化简∅∩{∅}＝；化简{∅,{∅}}－∅＝；化简{∅,{∅}}－{∅}＝。

16.设A＝{1,2,3,4,5}，B＝{0,3,6}，则A∩B＝；A∪B＝；A－B＝；B－A＝；A⊕B＝。

17.若A－B＝{1,5,7,8}，B－A＝{2,10}，A∩B＝{3,6,9}，则A＝；B＝。

1.{6,10}，{5,8,10}，B280，B516
2.{∅,{∅},{{∅}},{∅,{∅}}}
3. C与D
4.B
5.C
6. A
7.D与E
8.D 9.D 10.D 11.A
12.B⊆A；A⊆B；A∩B＝∅；A＝B＝∅；A＝B；B＝∅；B＝∅；A⊆B
13.B∩C⊆～A；A⊆B∩C；A⊆B∪C；A－B＝A－C
14. A∪B
15.∅；{∅,{∅}}；{{∅}}
16. {3}；{0,1,2,3,4,5,6}；{1,2,4,5}；{0,6}；{0,1,2,4,5,6}
17. {1,3,5,6,7,8,9}；{2,3,6,9,10}；
3.2 序偶与笛卡儿积
1.设A、B、C为任意集合，下列论断中（）正确。

A．若A×A＝B×B，则A＝B B．若A×B＝A×C，则B＝C
C．若A×B⊆A×C，则B⊆C D．若A×B⊆B×C，则A⊆B⊆C
2.设A、B、C为任意集合，下列等式中正确的有（）个。

A．A×(B∩C)＝(A×B)∩(A×C) B．A×(B∪C)＝(A×B)∪(A×C)
C．A×(B－C)＝(A×B)－(A×C) D．A×(B⊕C)＝(A×B)⊕(A×C)
3.设A＝{1,2}，则A×P(A)＝。

4.已知<x＋2,4,z－3>＝<5,2x＋y,y>，则x＝，y＝，z＝。

5.设R为实数集，S＝{<x,y>︱x,y↔R,y＝2x}的几何意义为。

6.设A＝{1,2,3}，B＝{x,y}，试求A×B，B×A，A2，B3，B×A×B
1.A
2.A,B,C与D
3. {<1,∅>,<1,{1}>,<1,{2}>,<1, A >,<2,∅>,<2,{1}>,<2,{2}>,<2, A >}
4.3，－2，1
5.直线y＝2x
6. A×B＝{<1,x>,<1,y>,<2, x>,<2, y>,<3, x>,<3, y>}
B×A＝{<x,1>,<x,2>,<x,3>,<y,1>,<y,2>,<y,3>}
A2＝{<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<3,1>,<3,2>,<3,3>}
B3＝{<x,x,x>,<x,x,y>,<x,y,x>,<x,y,y>,<y,x,x>,<y,x,y>,<y,y,x>,<y,y,y>}
B×A×B＝{<x,1,x>,<x,1,y>,< x,2,x>,< x,2,y>,<x,3,x>,<x,3,y>,
<y,1,x>,<y,1,y>,<y,2,x>,<y,2,y>,<y,3,x>,<y,3,y>}
3.3 关系的表示及其性质
1.设I 为整数集，R ＝{<x ,y >︱x ,y ↔I ,x ＋2y ＝6}，求关系R 的前域dom (R ) ，值域ran (R ) 和域FLD (R ) 。

2.设A ＝{1,2,3,4}，R ＝{<x ,y >︱x ,y ↔A ,y ＝2x}，则R 的逆关系R -1＝ ，R 的绝对补～R ＝ 。

3.设A ＝{1,2,3,4}，关系R ＝{<x ,y >︱x ,y ↔A ,y ＝x 2}，S ＝{<x ,y >︱x ,y ↔A ,x －y ＝1}，则dom (R ∪S ) ，ran (R －S ) ，FLD (R ⊕S ) 。

4.设集合A 的基数为4，则A 上有 个关系，A 上有 个自反关系，A 上有 个反自反关系，A 上有 个对称关系，A 上有 个反对称关系。

5.设R 为实数集，H ＝{<x ,y >︱x ,y ↔R ,y ＝2x ＋1}，S ＝{<x ,y >︱x ,y ↔R ,x 2＋y 2＝4}，则H 的几何意义为 ，S 的几何意义为 。

6.设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{a ,b ,c ,d ,e}，关系R ＝{<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<2,3>}， S ＝{<1,a >,<1,b >,<1,c >,<1,d >,<2,b >}，求关系R 与S 的关系矩阵和关系图。

1. {x ︱x ＝－2k ＋6, k ↔I }，{y ︱y ＝
62k -, k ↔I } ，{x ︱x ＝－2k ＋6或62k -, k ↔I } 2. {<x ,y >︱x ,y ↔A ,x ＝2
y }＝{<2,1>,<4,2>}，A ×A －{<2,1>,<4,2>} 3. {1,2,3,4}，{1,4}，{1,2,3,4}
4.216，212，212(24－1)，210，210＋26
5.直线y ＝2x ＋1，圆周x 2＋y 2＝4
6. 1100111000000
000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 11110010000000000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
图3.4d.1 R 的关系图 图3.4d.1 S 的关系图
1.设R 与S 均是集合A 上的自反关系，则（ ）不一定是A 上的自反关系。

A ．R ∩S
B ．R ∪S
C ．R －S
D ．R S
2.设R 与S 均是集合A 上的反自反关系，则（ ）不一定是A 上的反自反关系。

A ．R ∩S
B ．R ∪S
C ．R －S
D ．R S
3.设R 与S 均是集合A 上的对称关系，则（ ）不一定是A 上的对称关系。

A ．R ∩S
B ．R ∪S
C ．R －S
D ．R S
4.设R 与S 均是集合A 上的传递关系，则（ ）一定是A 上的传递关系。

A ．R ∩S
B ．R ∪S
C ．R －S
D ．R S
5.给定集合A ＝{1,2,3,4}，则下列关系中（ ）不是A 上的传递关系。

A ．R 1＝{<1,2>,<1,3>,<2,3>}
B ．R 3＝{<3,1>}
C ．R 2＝{<1,2>,<3,2>,<3,4>}
D ．R 4＝{<2,3>,<3,3>,<3,4>}
6.设集合A ＝{1,2,3,4}，给定A 上的关系R ＝ ，使R 既是非自反关系又是非反自反关系；给定A 上的关系R ＝ ，使R 既是非对称关系又是非反对称关系；给定A 上的关系R ＝ ，使R 既是对称关系又是反对称关系；给定A 上的关系R ＝ ，使R 既是对称关系又是传递关系。

7.设集合A ＝{1,2,3,4,5}，给定A 上的关系R ＝ ，使R 是相容关系；给定A 上的关系R ＝ ，使R 是等价关系；给定A 上的关系R ＝ ，使R 是偏序关系；给定A 上的关系R ＝ ，使R 是拟序关系。

8.设R 为实数集，R 1与R 2均是R ×R 上的关系，且<a ,b >R 1<c ,d >当且仅当a －c ＝b －d ，则R 1几何解释为 ；且<a ,b >R 2<c ,d >当且仅当)d b ()c a (22－＋－≢10，则R 2几何解释为 。

9.设I +是正整数集，在I +×I +上定义关系R ：<a ,b >R <c ,d >当且仅当ad ＝bc ，证明R 是等价关系。

10.设I 是整数集，在I ×I 上定义关系R ：<a ,b >R <c ,b >当且仅当a ＋b ＝b ＋c ，证明R 是等价关系。

11.设R 是A 上的自反关系，证明：R 是A 上的等价关系当且仅当若<a ,b >↔R 且<a ,c >↔R 时，则<b ,c >↔R 。

12.集合A 上的空关系，一定不是A 上的（ ）。

A ．自反关系
B ．反自反关系
C ．对称关系
D ．反对称关系
13.集合A 上的恒等关系，一定不是A 上的（ ）。

A ．自反关系
B ．反自反关系
C ．对称关系
D ．反对称关系
14.集合A 上的全域关系，一定不是A 上的（ ）。

A ．自反关系
B ．反自反关系
C ．对称关系
D ．传递关系
15.集合A 上的全域关系，一定不是A 上的（ ）。

A ．自反关系
B ．反对称关系
C ．对称关系
D ．传递关系
1.C
2.D
3. D
4.A
5.D
6. {<1,1>}，{<1,2>,<2,1>,<2,3>}，{<1,1>,<2,2>}，{<2,2>,<2,3>,<3,2>,<3,3>}
7. {<2,3>,<3,2>}∪I A ，
{<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,3>,<3,1>,<3,2>,<4,5>,<5,4>}∪I A ，
{<5,1>,<5,2>,<5,3>,<5,4>,<3,1>,<2,1>}∪I A，
{<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<2,3>,<4,5>}∪I A
8.直线x－y＝k（k为常数）上任两点具有关系R1；
两点间距离不大于10的两点具有关系R2
9.任取<a,a>↔I+×I+，由于aa＝bb，故<a,a>R<a,a>，所以R为I+×I+上的自反关系。

设<a,b>R<c,d>，则ad＝bc，从而cb＝da，于是<c,d>R<a,b>，即R为I+×I+上对称关系。

设<a,b>R<c,b>且<c,d>R<e,f>，则ad＝bc且cf＝de，从而adcf＝bcde，于是af＝be，故<a,b>R<e,f>，即R为I+×I+上的传递关系。

10.任取<a,a>↔I×I，由于a＋a＝a＋a，故<a,a>R<a,a>，所以R为I×I上的自反关系。

设<a,b>R<c,b>，则a＋b＝b＋c，从而c＋b＝d＋a，于是<c,b>R<a,b>，即R为I×I上的对称关系。

设<a,b>R<c,b>且<c,b>R<e,b>，则a＋b＝b＋c且c＋b＝b＋e，从而a＋b＝b＋e，于是<a,b>R<e,b>，即R为I×I上的传递关系。

11.（必要性）设<a,b>↔R且<a,c>↔R，由R是A上的等价关系知，必有<b,a>↔R且
<a,c>↔R，从而<b,c>↔R。

（充分性）只要证明R是对称关系与传递关系即可。

设<a,b>↔R，由R是A上的自反关系知，必有<a,a>↔R，从而<b,a>↔R，故R是A 上的对称关系。

设<a,b>↔R且<b,c>↔R，从而<b,a>↔R且<b,c>↔R，于是<a,c>↔R，故R是A上的传递关系。

12.A 13.B 14.B 15.B
3.4 等价关系与划分
1.设A＝{1,2,…,10}，R是A上的模5同余关系，则[0]R＝，[2]R＝。

2.设R是A上的等价关系，[a]R＝[b]R当且仅当；[a]R∩[b]R＝∅当且仅当。

3.设A是非空集合，A的最大划分确定的A上的等价关系为；A的最小划分确定的A上的等价关系为。

4.设I是整数集，R＝{<x,y>︱x,y↔I且
3y
x-
是整数}是I上的关系，由R确定I 的划分为。

5.设A＝{1,2,3,4}，则A上有个关系，A上有个等价关系。

6.设C*是实数部分非零的全体复数组成的集合，C*上的关系R定义为：(a＋bi)R(c＋di)当且仅当a c＞0，证明R是等价关系，并给出关于R的等价类的几何说明。

7.设R是集合A上的自反关系和传递关系，证明R∩R-1是A上的等价关系。

8.设R与S均是集合A上的等价关系，证明R∩S是A上的等价关系，并用关于R与S的等价类描述其等价类。

9.设I为整数集，R为I上的模k同余关系，即R＝{<x,y>︱x,y↔I,x≡y(mod k)}，证明R 为I上的等价关系，并求模k同余类。

10.设R与S均是集合A上的等价关系，并分别有秩n和m，即︱A／R︱＝n，︱A／S︱＝m。

证明等价关系R∩S的秩最多为nm。

11.设R是集合A上的等价关系，问R-1一定是A上的等价关系吗？
12.设A是非空集合，则A上的（空关系，全域关系，恒等关系）是等价关系。

13.设R是实数集，下列关系中（）是R上的等价关系。

A．{<x,y>︱x,y↔R,x2＋y2＝1}
B．{<x,y>︱x,y↔R,y＝3x}
C．{<x,y>︱x,y↔R,y＝(x＋1)2}
D．{<x,y>︱x,y↔R,y＝x}
14.设A＝{1,2,3,4,5,6}，下列关系中（）不是A上的等价关系。

A．{<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,3>,<3,1>,<3,2>}∪I A
B．{<2,5>,<2,6>,<4,2>,<4,6>,<6,2>,<6,4>}∪I A
C．{<1,3>,<1,5>,<3,1>,<3,5>,<5,1>,<5,3>}∪I A
D．{<2,3>,<3,2>,<4,5>,<5,4>,<5,6>,<6,5>}∪I A
15.下列关系中（）不是等价关系。

A．实数集上的等于关系。

B．平面三角形集合上的全等关系。

C．幂集上的包含于关系。

D．北大学生集合上住在同公寓的关系
16.设R与S均是集合A上的等价关系，下列关系中（）是等价关系。

A．(A×A)－R B．R－S C．R R D．r(R－S)
17.设R与S是集合A的两个不同划分，下列式子中（）是A的划分。

A．R－S B．R∩S C．R∪S D．R
18.设R与S均是集合A上的等价关系，下列关系中（）是等价关系。

A．R－S B．R∩S C．R∪S D．R S
1.{5,10}，{7}
2. <a,b>↔R，<a,b> R
3.全域关系，恒等关系
4.等价，{{…,－6,－3,0,3,6,…},{…,－5,－2,1,2,5,…},{…,－4,－1,2,5,8,…}}
5.216，15
6.任取a＋bi↔C*，由于a≠0，故a2＞0，从而(a＋bi) R (a＋bi)。

即R是C*上的自反关系。

设(a＋bi)R(c＋di)，则ac＞0，从而ca＞0，于是(c＋di)R(a＋bi)，即R是C*上的对称关系。

设(a＋bi)R(c＋di)，(c＋di)R(e＋fi)，则ac＞0且ce＞0，从而ae＞0，故(a＋bi)R(e＋fi)，即R是C*上的传递关系。

任取a＋bi↔C*，[a＋bi]R＝{x＋yi︱x＋yi↔C*，(a＋bi)R(x＋yi)}
＝{x＋yi︱x＋yi↔C*，ax＞0}，
所以等价类即为复平面上第一、四象限（不含y轴）上的点集合，或第二、三象限不含y 轴）上的点集合。

7.任取a↔A，则<a,a>↔R，从而<a,a>↔R-1，于是<a,a>↔R∩R-1，故R∩R-1是A上的自反关系。

设<a,b>↔R∩R-1，则<a,b>↔R且<a,b>↔R-1，于是<b,a>↔R且<b,a>↔R-1，从而<b,a>↔R∩R-1，故R∩R-1是A上的对称关系。

由于R是A上的传递关系，则R-1是A上的传递关系。

再设<a,b>,<b,c>↔R∩R-1，，则<a,b>,<b,c>↔R且<a,b>,<b,c>↔R-1，从而<a,c>↔R且<a,c>↔R-1，于是<a,c>↔R∩R-1，故R∩R-1是A上的传递关系。

8.任取a↔A，则<a,a>↔R且<a,a>↔S，从而<a,a>↔R∩S，故R∩S是A上的自反关系。

设<a,b>↔R∩S，则<a,b>↔R且<a,b>↔S，于是<b,a>↔R且<b,a>↔S，从而<b,a>↔R∩S，故R∩S是A上的对称关系。

设<a,b>,<b,c>↔R∩S，则<a,b>,<b,c>↔R且<a,b>,<b,c>↔S，从而<a,c>↔R且<a,c>↔S，于是<a,c>↔R∩S，故R∩S是A上的传递关系。

任取a↔A，[a]R∩S＝{x︱x↔A, <x,a>↔R∩S}＝{x︱x↔A, <x,a>↔R且<x,a>↔S}，即
[a]R∩S＝[a]R∩[a]S
9.任取a↔I，由于a－a＝0＝k×0，即a≡a(mod k)，所以<a,a>↔R，故R为I上的自反关系；设<a,b>↔R，则a≡b(mod k)，即a－b＝kn（n↔I），从而b－a＝k(—n)（—n↔I），这样有b≡a(mod k)，于是<b,a>↔R，故R为I上的对称关系；
设<a,b>↔R且<b,c>↔R，则a≡b(mod k)且b≡c(mod k)，于是a－b＝kn（n↔I）且b－c＝kt（t↔I），这样a－c＝k(n＋t)（n＋t↔I），即a≡c(mod k)，所以<a,c>↔R，故R 为I上的传递关系。

因此，故R为I上的等价关系。

全部同余类为：
[0]＝{x︱x↔I,x－0＝kn,n↔I}
[1]＝{x︱x↔I,x－1＝kn,n↔I}
[2]＝{x︱x↔I,x－2＝kn,n↔I}
……
[k－1]＝{x︱x↔I,x－(k－1)＝kn,n↔I}
10.设R，S与R∩S所确定的A的划分分别为
M＝{a1,a2,…,a r}，N＝{b1,b2,…,b s}，H＝{c1,c2,…,c t}
11.任取a↔A，则<a,a>↔R，从而<a,a>↔R-1，即R-1为A上的自反关系；
由于R为A上的对称关系，所以R＝R-1，于是R-1为A上的对称关系；
设<a,b>,<b,c>↔R-1，则<b,a>↔R且<c,b>↔R，于是<c,a>↔R，从而<a,c>↔R-1，即R-1为A上的传递关系。

12.空关系，全域关系，恒等关系
13.D 14.B 15.C 16.D 17.D 18.C
3.5 相容关系与覆盖
1.设A＝{1,2,3,4,5,6}，下列关系中（）不是A上的相容关系。

A．{<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,3>,<3,1>,<3,2>}∪I A
B．{<2,5>,<2,6>,<4,2>,<4,6>,<6,2>,<6,4>}∪I A
C．{<1,3>,<1,5>,<3,1>,<3,5>,<5,1>,<5,3>}∪I A
D．{<2,3>,<3,2>,<4,5>,<5,4>,<5,6>,<6,5>}∪I A
2.下列语句中（）不正确。

A．集合A上的等价关系一定是A上的相容关系。

B．集合A的划分一定是A的覆盖。

C．集合A上的等价关系一一对应A的划分。

D．集合A上的相容关系一一对应A的覆盖。

3.设R与S均是集合A上的相容关系，下列关系中（）不是相容关系。

A．R－S B．R∩S C．R∪S D．R S
4.设A＝{1,2,3,4,5}，给定A上的关系R＝，使R是A上的相容关系；给定A上的关系R＝，使R是A上的等价关系；给定A上的关系R＝，使R是A上的偏序关系；给定A上的关系R＝，使R是A上的拟序关系。

5.设R是实数集，下列关系中（）是R上的相容关系。

A．{<x,y>︱x,y↔R,x2＋y2＝1}
B．{<x,y>︱x,y↔R,y＝3x}。