第五章 现代谱估计

2 =R x (m) − mx 2 C x (0) = σ x 2 mx = 0 ⇒ C x (m) = Rx (m), Rx (0) = C x (0) = σ x
1 n = N −1 [ x(n) − mx ][ y (n + m) − m y ] 互协方差 Cxy (m) = lim ∑ N →∞ N n =0 =E{[x( n) − mx ][ y (n + m)-m y ]} Cxy (m) = Rxy (m) − mx m y
若MSE[a ] → min,则a是a的一致估计
N →∞
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4）偏量与方差的折衷
mx:无偏, E[mx ] = mx 令 : mx = amx 则 : B[mx ] = (1 − a)mx Var[mx ] = a 2Var[mx ]
Rx (m) = Rx (−m) Rx (∞) = mx
2
离散随机信号
1 ( ) lim R m = 自相关 x N →∞ N
若x(n)是复数 1 Rx (m) = lim N →∞ N
∑
n =0
n = N −1
∑
n =0
x(n) x* (n + m) =E[x(n) x* (n + m)]
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维纳—辛钦公式
2 由于Rx (∞) = mx , 所以若mx ≠ 0, S x (e jω )不一定收敛.
故一般地假设mx = 0[若mx ≠ 0, 可通过对x(n)去均值处理]
物理意义：R(m)随着m越快变为0，说明该时间序列随时 间变化越迅速；反之则说明该时间序列随时间变化越 慢。故R(m)中包含了各种频率成分的功率信息。 2006/1/10 2006/1/10
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5.1 引言
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信号
确定性信号 非确定信号
周期信号 非周期信号 随机信号
确定信号的谱：付立叶变换 随机信号：付立叶变换不存在---》功率谱密度/功率谱 功率谱估计 估计 观察到有限个信号样本 应用：语音信号分析，雷达信号处理，机械振动信 号分析等
ˆ (m), 设E[ x(n)] = 0 x(n) : x(0), x(1),..., x( N − 1) → Rx (m) : R x
一 窗估计法 1 方法1： RN (m) = N
N − m −1
∑
n=0
x(n) x(n + m Βιβλιοθήκη Baidu, m ≤ N-1
1 ′ x(n) x(n + m ), m ≤ N-1 方法2： RN (m) = ∑ N − m n=0 N−m ′ ( m) RN (m) = RN N N →∞ N−m E[ RN (m)] = Rx (m) → E[ RN (m)] = Rx (m) 渐进无偏 N N ′ E[ RN (m)] = E[ RN (m)] = Rx (m) 无偏估计 N−m N−m 2 ′ (m)] ≤ Var[ RN ′ (m)] ) Var[ RN Var[ RN (m)] = ( N MMVCLAB 2006/1/10 2006/1/10 MMVCLAB 20
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5.3 功率谱估计概述
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一 功率谱密度定义 1 定义 x(n)
m =−∞ ⎧ jω − jω m S ( e ) R ( m ) e = ∑ x x ⎪ ⎪ m =−∞ (1) ⎨ ⎪ R (m) = 1 π S (e jω )e jω m dω x x ⎪ 2π ∫−π ⎩
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(2)
n= N ⎧ ⎪ 1 jω − jω n S x (e ) = lim E ⎨ x n e ( ) ∑ N →∞ N 2 1 + n =− N ⎪ ⎩
2
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
=
m =−∞ m =−∞
∑ R ( m)e
x
− jω m
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互相关
1 Rxy (m) = lim N →∞ N
n = N −1
∑
n =0
x(n) y (n + m) =E[x(n) y (n + m)]
2
Rxy (m) = Ryx (− m); Rx (0) Ry (0) ≥ Rxy (m) 1 n = N −1 lim [ x(n) − mx ][ x(n + m) − mx ] ∑ 自协方差 Cx (m) = N →∞ N n =0 =E[(x( n) − mx )( x(n + m) − mx )]
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二 功率谱估计问题及谱估计方法 1 谱估计问题 x(n) 给定一个随机过程的一个实现中的有限长度数据 x(0)， x(1)，。。。， x(N-1) 来估计： S x (e jω ) 周期图法 2 谱估计方法 平滑周期图法 非参数法谱估计
N − m −1
二 自相关函数的Rader计算法 1.问题 ⎧ 1 N − m −1 x(n) x(n + m), 0 ≤ m ≤ N-1 ⎪ RN (m) = ∑ N n =0 ⎨ ⎪ R (m) = R (− m) ,m=-1,-2,...,-N+1 N ⎩ N 线性相关可由园周相关计算，此时圆周相关的周期 L>=2N+1 L −1 1 RN (m) = ∑ x(l ) x((l + m)) L N l =0 1 = IFFT [ X (k ) X * (k )], 0 ≤ m ≤ N-1 N 一般地，m ≤ M << N ，因此利用上述方法计算量较大 2.Rader法 2：1分段
1 R (0) = 2π

∫π
−
π
S x (e jω ) d ω
随机序列ω1到ω2之间的平均功率为：
1 2π
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∫ω
ω2
1
S x (e jω ) d ω
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3.平稳白噪声序列功率谱密度
平稳白噪声序列： 定义：平稳随机时间序列x(n)不同时刻的随机变量 两两不相关。 数字特征： 均值：E{x(n)}=0。 自相关函数：R(m) = σ2δ(m)。 功率谱密度： S x (e jω ) = σ 2 。
p(a )
ˆ = F ( x0 , x1 ,..., xN −1 ) a
E[a ] = a
a
若B (a ) = 0, 则称无偏估计
若 lim B (a ) = 0, 则称a是真值a的渐进无偏估计
N →∞
例：
x(n) = mx + e(n), E[e(n)] = 0
1 N −1 mx = ∑ x ( n ) N n =0 E[mx ] = mx , 即mx是mx的无偏估计
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2 相关函数和协方差函数 a) 相关函数 离散确定性信号
x3 (n) =
m =∞ m =−∞
∑ x ( m) x ( n + m)
1 2
n = N −1
⎧ x1 = x2 自相关 ⎨ ⎩ x1 ≠ x2 互相关
x(n) x(n + m) =E[x(n) x(n + m)]
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5.2 离散随机信号及其数字特征
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一 离散随机信号的分类
随机信号：概率密度函数 统计特征参数[均值，方差，相关函数，协方 差函数，高阶矩等] 平稳随机信号（Stationary)： 1) 弱平稳（广义平稳，wide sense stationary) 一阶和二阶矩与时间无关 各态历经（ ergodicity ): 时间均值等于统计均值 2）强平稳 （严格平稳） 限于讨论各态历经随机信号 2006/1/10 2006/1/10
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2）最小方差估计（有效估计）
Var[a ] = E{[(a − E (a )] } = σ ⇒ min
2 2 a
ˆx) p(m p ( mx )
mx
2 2 σm < σ ˆ m
x x
估计的可信度
3）一致估计
2 MSE[a ] = E{[a − a ]2 } = σ a + B 2 ⇒ min (均方误差最小)
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⎧ x(n + (i − 1) M ), 0 ≤ n ≤ M − 1 vi (n) = ⎨ M ≤ n ≤ 2M − 1 ⎩ 0, ⎧ x(n + (i − 1) M ), 0 ≤ n ≤ 2M − 1 ui (n) = ⎨ i = 1, 2,..., K ≥ N / M others ⎩ K M0, −1 1 RN (m) = ∑ ∑ vi (n)ui (n + m) N i =1 n =0 Vi (k ) = FFT2 M [vi (n)] K 1 = ∑ IFFT [Vi (k )U i* (k )] U i (k ) = FFT2 M [ui (n)] N i =1 K 1 = IFFT [∑ Vi (k )U i* (k )] N i =1 ∵ ui (n) = vi (n) + vi +1 (n + M ) i = 1, 2,..., K − 1
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n= N
n =− N m =− N
∑ ∑
m= N
f ( n − m) =
k =2 N
k =−2 N
∑ [2 N + 1 − k ] f (k )
2 n= N ⎧ ⎫ 1 ⎪ jω − jω n ⎪ S x (e ) = lim E ⎨ x ( n )e ⎬ ∑ N →∞ + 2 1 N n =− N ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎧ 1 n= N m= N − jω n jω m ⎫ ( ) ( ) x n e x m e = lim E ⎨ ⎬ ∑ ∑ N →∞ + 2 1 N n =− N m =− N ⎩ ⎭
B ( m x ) = m x − E[ m x ] = mx − E[amx ] = mx − amx = (1 − a )mx
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5.4 自相关函数的估计
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最小方差法
参数法谱估计
时间序列模型 最大熵谱估计法
线性谱分析法（经典谱估计） 非线性谱分析法（现代谱估计） 2006/1/10 2006/1/10
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三 统计估计基础回顾 估计量仍是一个随机变量 1）无偏估计 估计偏量（偏差） B ( a ) = a − E[ a ]
m =−∞ m =−∞
∑ R ( m )e
x
− jω m
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2.功率谱密度的性质
功率谱密度的性质： jω ) 为实的偶函数。 S x (e jω S (e )≥0 。 x 随机序列的平均功率：
m =−∞ ⎧ jω − jω m = S ( e ) R ( m ) e ∑ x x ⎪ ⎪ m =−∞ ⎨ ⎪ R (m) = 1 π S (e jω )e jω m dω x x ⎪ 2π ∫−π ⎩
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二 离散随机信号的数字特征
设：x(n)=0,n<0;-----因果实的离散随机信号 1. 平均 各态历经条件下，统计平均等于时间平均
1 N −1 均值:mx (n) = mx = lim ∑ x(n) = E[ x(n)] N →∞ N n =0 N −1 1 2 2 方差:σ x = lim ∑ [ x(n) − mx ]2 = E[( x(n) − mx ) 2 ] ( n) = σ x N →∞ N n =0 1 N −1 2 均方值:mx2 (n) = mx2 = lim ∑ x (n) = E[ x 2 (n)] N →∞ N n =0
⎧ 1 n= N m= N − jω ( n − m ) ⎫ = lim ⎨ − ( ) R n m e ⎬ ∑ ∑ N →∞ 2 N + 1 n =− N m =− N ⎩ ⎭ ⎧ 1 k =2 N − jω k ⎫ = lim ⎨ [2 N + 1 − k ]R (k )e ⎬ ∑ N →∞ 2 N + 1 k =−2 N ⎩ ⎭ ⎧ k =2 N k − jω k ⎫ = lim ⎨ ∑ [1 − ]R ( k )e ⎬ N →∞ N + 2 1 ⎩ k =−2 N ⎭ =