【原创】高二数学选修2-3复习

计数原理 （1）组合数:
（2）组合数公式:
m A n(n 1)(n 2) (n m 1) m n Cn m Am m!
n! C m !(n m)!
m n
规定：Cn0 1.
（3）组合数性质: 性质1 注: 1性质1作用：化简运算，性质2作用：恒等变形． 2性质2公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1 而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数．
x (,)
f(x)的图象称为正态曲线.
X
式中的实数μ 、σ (σ >0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差，称
统计与概率
（2）正态曲线性质：
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2
x (,)
（1）当 x = μ （2）f ( x) (3) f ( x)
即
3(r+1)>2(20-r) 得 2(21-r)>3r
2 2 7 r8 5 5
所以当r=8时，系数绝对值最大的项为
T9 C 3 2 x y
8 20 12 8 12
8
计数原理
（5）二项式系数其他应用
求和问题
整除问题 三项式展开问题： 转化思想——将三项式展开转化为二项式展开。
统计与概率
m n
为了使当m＝n时上面的公式也成立，规定： 0 ! 1
说明： 1、排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明。
计数原理
（3）基本的解题方法：
（１）有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位
置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优待法）；
特殊元素,特殊位置优先安排策略
（２）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其 他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”； 相邻问题捆绑处理的策略 （３）某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素 插入空挡，这种方法称为“插空法”； 不相邻问题插空处理的策略
（5）当 x<μ 时,曲线上升;当x>μ 时,曲线 下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时, Y
以x轴为渐近线,向它无限靠近.
（6）当μ 一定时，曲线的形状由σ 确定 . σ 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；
X
σ 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
统计与概率
（3）标准正态分布
高二数学选修2-3复习
莆田四中 陈冠峰
第一章 第二章
计数原理 统计与概率
计数原理
1.分类计数与分步计数原理的区别和联系： 加法原理 乘法原理
分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于
完成一件事情的不同方法的种数的问题。 完成一件事情共有n类 完成一件事情,共分n个 办法，关键词是“分类” 步骤，关键词是“分步”
否命题
若 q p 则
若 p
q 则
常用逻辑用语
例
若m≤0或n≤0，则m+n≤0.写出其逆命题、否命题、逆否命
题，并分别指出其真假.
解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0. 否命题：若m>0且n>0, 则m+n>0. 逆否命题：若m+n>0,
（真） （真）
则m>0且n>0. （假）
小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的真假. 因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命题真假等价.
c
a+c
d
b+d
c+d
a+b+c+d
2 n（ad bc） K2 = (a + b)(c + d)(a + c)(b + d)
作为检验在多大程度上可以认为“两个变量有关系”的标准。
统计与概率
9.回归直线方程
（1）基本步骤
1.画出散点图; 2.求出回归方程;
3.利用相关系数或数据进行分析.
（2）相关系数
计数原理
3.组合 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元 素中取出m个元素的一个组合． 排列定义: 一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一
列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.
共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点: 排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关.
1.相关系数的变化范围为[-1,1].
2.相关系数可较好地反映变量的相关性及正相关或负相关,
3.当|r|接近于1时说明两变量的相关性较强,当|r|接近于0时说明两变量的相关性
较弱。
常用逻辑用语
1.四种命题及其关系
原命题 若 p 则 q 互逆 逆命题 若 q 则 p 互否 逆否 互逆 逆否命题
互否
互为
（4）转化为标准正态分布
特别地有 P( X ) 0.6826, P( 2 X 2 ) 0.9544, P( 3 X 3 ) 0.9974.
统计与概率
8.独立性检验
y1 x1 x2
总计 a
y2
b
总计 a+b
r nr
br
有理项、常数项等
作用：求任一项；求某一项系数 （4）定理特例
(1 x) C C x C x C x C x
n 0 n 1 n 2 2 n r n r n n
n
计数原理
（5）二项式系数性质 对称性：与首末两端等距离的两项的二项式系数相等。
各二项式系数的和：C n
… …
k
k k n k Cn pq
… …
n
n n 0 Cn pq
1 1 n 1 0 0 n Cn p q Cn p q
其中q=1-p，k=0,1,2,3…n 随机变量ξ 服从二项分布,记作 ~ B(n, p)
k k Cn p (1 p)nk b(k; n, p) 并记P(ξ =k)=
计数原理
例:在(3x -2y)20的展开式中，求系数最大的项; 解:设系数绝对值最大的项是第r+1项.则
r r 1 C 20 320 r 2r C 20 319 r 2r 1 r r 1 C 20 320 r 2r C 20 321 r 2r 1
,其中n，p为参数,
统计与概率
5.数学期望的定义:
一般地，随机变量 的概率分布列为
x1 x2 P p1 p2
则称 E
pi
xi
xn
pn
xi pi xn pn 为 的数学期望或均值，简称为期望.
x1 p1 x2 p2
它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
根据定义可推出下面两个结论:
时,函数值为最大. 1 (0, ] 的值域为 2
Y
x =μ 的图象关于
f ( x) f ( x)
对称. 时 时 为增函数. 为减函数.
（－∞，μ] （4）当 x ∈ （μ，+∞） 当x ∈
X
统计与概率
（2）正态曲线性质：
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2
x (,)
计数原理
m n
(1)排列数公式一：
A n(n 1)(n 2) (n m 1)(m,n N *,m n)
n A (n 1)(n 2) 当m＝n时， n n
321
n A n个不同元素的全排列公式： n n !
(2)排列数公式二：
n! A (n m)!
0 2 4
0
1 Cn C n2 C nn 2n
奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和：
系数最大的项？
Cn Cn Cn Cn Cn Cn
1 3 5
注意点
(1)注意二项式定理的正用,逆用及活用 (2)求二项展开式系数和,常常得用赋值法,设二项式中的字母为1或-1,或0， 得到一个或几个等式，再根据结果求值
则称表
ξ p
x1 p1
x2 p2
… …
xi pi
… …
为随机变量x的概率分布列，简称x的分布列. 注:离散型随机变量的分布列具有下述两个性质
(1) pi ≥ 0, i 1 ， 2， 3，
(2) p1 p2 p3
1
统计与概率
4.常见分布
（1）两点分布列： 随机变量 的分布列为
随机变量 服从两点分布,
x1
x2
为随机变量x的方差.称
Leabharlann Baidu

xn · pn · · n 2 2 ( x E ) pi ( x E ) p · n i n
i 1
D
为随机变量x的标准差.
统计与概率
7.正态分布 （1）正态曲线表达式： Y
1 e 函数 f ( x) 2
( x )2 2 2
C
m n
Cn
nm
性质2
C
m n 1
C C
m n
m 1 n
计数原理
（4）排列组合综合应用
分堆问题： 均分无序、均分有序、不均分、部分均分。。。 不同元素至少问题： （1）排除法 相同元素至少问题： 隔板法 涂色问题： 相邻最多的区域入手，分类讨论！ 手套问题： 先取双、后取只 多面手问题： Venn图，依据多面手部分分类讨论！ 定序问题： 除法
1. 互斥事件、条件概率、相互独立事件的意义与概率公式: ⑴ P( A B) P( A) P( B) （当 A与B 互斥时） ；
P ( AB ) ⑵ P ( B | A) (条件概率 A 条件下 B 发生) P ( A) ⑶ P ( AB) P ( A) P ( B) （当 A与B 相互独立时）
结论1： 若 a b, 则 E aE b ; 结论2：若ξ~B(n，p)，则Eξ= np.
统计与概率
6.离散型随机变量取值的方差和标准差:
一般地,若离散型随机变量x的概率分布列为：
xi · pi p1 p2 · P · 2 ( xi E )2 pi 则称 D ( x1 E ) p1 ·
2.独 立 重 复 事 件 :在
n 次独立重复试验中事件 A
恰好发生
k
次的概率
k k n k Pn (k ) Cn pq （其中 q 1 p , 一次试验中事件 A 发生的概率为 p ） ．
统计与概率
3.定义:概率分布（分布列）
x1 , x2 , x3 , 设离散型随机变量ξ 可能取的值为 , xi
常用逻辑用语
2.充分必要条件
pq
p
则p是q的充分条件
q是p的必要条件
可按以下三个步骤进行： ①确定条件是什么，结论是什么 ②尝试从条件推导结论，从结论推导条件
命题p与q的条件关系通常有四种 q q q q p是q的充要条件；
p p
p
③确定条件是结论的什么条件 p是q的充分不必要条件；
且 n ≤ N , M ≤ N , n, M , N N * . 注: ⑴超几何分布的模型是不放回抽样 ⑵超几何分布中的参数是 M , N, n
统计与概率
（3）二项分布 在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰发生x次 于是得到随机变量ξ 的概率分布如下：
ξ p
0
1
p是q的必要不充分条件； P是q的既不充分也不必要条件；
常用逻辑用语 从集合的角度理解充要条件
p P( 1) 为成功概率.
统计与概率
（2 ）超几何分布: 在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件, 其中恰有 X 件次品数, 则事 件 X k 发生的概率为
k n k CM CN M P( X k ) (k 0,1, 2, n CN
, m ) m min M , n ,
。。。。。。
（2）先分类后分步
先分堆后排列
计数原理
4.二项式定理
（1）二项式定理及结构特征
0 n 1 n1 2 n 2 2 r nr r n n (a b)n Cn a Cn a b Cn a b Cn a b Cn b
（2）二项式系数与项系数不同 （3）通项公式Tr+1= Cn a
联系
区别一
区别二
每一步得到的只是中间结果， 任何一步都不能能独立完成 每类办法都能独立完成 这件事情，缺少任何一步也 这件事情。 不能完成这件事情，只有每 个步骤完成了，才能完成这 件事情。
各类办法是互斥的、 并列的、独立的 各步之间是相关联的
区别三
计数原理
2.排列：
说明：
1、元素不能重复。n个中不能重复，m个中也不能重复。 2、“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。 3、m＜n时的排列叫选排列，m＝n时的排列叫全排列。 4、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用“树形图”、列表等。