四色定理的证明

四色定理的证明
王为民（四川南充龙门中学）
四色定理：每个平面地图都可以只用四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。

证明：
公理：平面地图上，只有一点相邻的区域不增加颜色的种类，至少有一边相互相邻才增加颜色的种类。

可以假设平面地图上的区域原来只有一个，后来分出了无数的区域，但是，证明只需要四种颜色就可以把它们区分出来就可以了。

1、地图上的一个区域。

2、在这个区域内部增加一条线（封闭的或不是封闭的）将其一分为二，就增加一个区域，变成两个相互相邻区域，也就增加一种颜色。

3、在它们的相互相邻边上增加一个区域，变成三个相互相邻的区域，又增加一种颜色。

4、选择在三个区域相邻的点再增加一个区域，变成四个相互相邻边的区域，又增加一种颜色，共有四种颜色。

5、在这样的情况下，无论在什么位置选择新增加一个新的的区域，都不能做到五个区域的边相互相邻。

也就不能增加区分区域颜色的种类。

在拓扑学中，一个结论就是平面上没有五个点可以用9条线互不相交而相连，但是，第10条一定画不出不相交的线。

这就是“本证明重点问题：在平面上画不出五个有边都相互相邻的区域。

”的原因。

6、我们无论在一个新的什么区域或地图的任意交界或不交界位置，无论怎样重复或2或3或4或5这些步骤，把平面上的一个区域分成无论怎样的形状，可得到任意形状的地图，我们都无法作出五个有相互相邻边的区域而再增加一种颜色。

所以，每个平面地图都可以只用四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。

证毕。