离散数学平面图及图的着色解析

定理17.4 平面图G中所有面的次数之和等于边数m的两倍，即
r
deg(Ri ) 2m
其中r为G的面数
证
i 1
明
本定理中所说平面图是指平面嵌入。
e∈E(G)，
当e为面Ri和Rj(i≠j)的公共边界上的边时，在计算Ri和Rj的次 数时，e各提供1。
当e只在某一个面的边界上出现时，则在计算该面的次数时 ，e提供2。
2、几点说明
若平面图G有k个面，可笼统地用R1, R2, …, Rk表示，不需 要指出外部面。
回路组是指：边界可能是初级回路（圈），可能是简单回 路，也可能是复杂回路。特别地，还可能是非连通的回路 之并。
R1
R0
R3
R2
平面图有4个面，deg(R1)=1, deg(R2)=3, deg(R3)=2, deg(R0)=8。
二、平面图的面与次数（针对平面图的平面嵌入而言） 1、 定义 定义17.2 设G是平面图， G的面——由G的边将G所在的平面划分成的每一个区域。 无限面（外部面）——面积无限的面，记作R0。 有限面（内部面）——面积有限的面 ，记作R1, R2, …, Rk。 面Ri的边界——包围面Ri的所有边组成的回路组。 面Ri的次数——Ri边界的长度，记作deg(Ri)。
r ri k 1
i 1
于是，对(17.1)的两边同时求和得
k
k
k
k
2k (ni mi ri ) ni mi ri n m r k 1
i 1
i 1
i 1
i 1
经整理得 n-m+r = k+1。
2、 与欧拉公式有关的定理
定理17.10 设G为连通的平面图，且每个面的次数至少为 l(l<=3)，则 G的边数与顶点数有如下关系：
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离散数学
第17章 平面图及图的着 色
计算机系 周塔
本章说明
本章的主要内容
–平面图的基本概念 –欧拉公式 –平面图的判断 –平面图的对偶图 –顶点着色及点色数 –地图的着色与平面图的点着色 –边着色及边色数
特别说明： 本章所涉及到的图均指无向图。
17.1 平面图的基本概念
至少为l(l≥3)，则边数m与顶点数n应有如下关系：
m l (n k 1) l2
定理17.12 设G为n(n3)阶m条边的简单平面图，则m3n6。
证明
设G有k(k1)个连通分支，
若G为树或森林，当n3时，m=n-k3n6为真。
若G不是树也不是森林，则G中必含圈，又因为G是简单图
，所以，每个面至少由l（l3）条边围成，又在l=3达到最大
很显然：K5和K3,3都不是平面图。见P181
定理17.1 设GG，若G为平面图，则G也是平面图。
定理17.2 设GG，若G为非平面图，则G也是非平面图。
推论 Kn(n5)和K3,n(n3)都是非平面图。 定理17.3 若G为平面图，则在G中加平行边或环所得图还是
平面图。 即平行边和环不影响图的平面性。
值，由定理17.11可知
m l (n k 1) (1 2 )(n k 1) 3(n 2) 3n 6
l2
l2
定理17.13 设G为n(n3)阶m条边的极大平面图，则m=3n6。
证明
由于极大平面图是连通图，由欧拉公式得:
源自文库
r=2+m-n
(17.4)
又因为G是极大平面图，由定理17.7的必要性可知，G的每个
小节结束
17.2 欧拉公式
一、欧拉公式相关定理 1、 欧拉公式 定理17.8 对于任意的连通的平面图G，有
n-m+r=2 其中，n、m、r分别为G的顶点数、边数和面数。
定理17.9 对于具有k(k≥2)个连通分支的平面图G，有
n-m+r = k+1
其中n，m，r分别为G的顶点数，边数和面数。
证明
m l (n 2) l2
证明
由定理17.4（面的次数之和等于边数的2倍）及欧拉公式得
r
2m deg(Ri ) l r l(2 m n)
解得 m l (n 2) i1
l2
推论 K5, K3,3不是平面图。
证明
若K5是平面图，由于K5中无环和平行边，所以每个面的次数 均大于或等于l≥3，由定理17.10可知边数10应满足
设G的连通分支分别为G1、G2、…、Gk，并设Gi的顶点数、 边数、面数分别为ni、mi、ri、i=1，2，…，k。
由欧拉公式可知: ni-mi+ri = 2，i=1，2，…，k
k
k
易知，m mi，n ni
i 1
i 1
(17.1)
由于每个Gi
有一个外部面，而G只有一个外部面，所以G的面数 k
于是每条边在计算总次数时，都提供2，因而deg(Ri)=2m。
三、极大平面图
1、 定义 定义17.3 若在简单平面图G中的任意两个不相邻的顶点之
间加一条新边所得图为非平面图，则称G为极大平面图。 注意：若简单平面图G中已无不相邻顶点，G显然是极大平
面图，如K1（平凡图）, K2, K3, K4都是极大平面图。 2、极大平面图的主要性质 定理17.5 极大平面图是连通的。(根据注意！) 定理17.6 n(n3)阶极大平面图中不可能有割点和桥。
一、关于平面图的一些基本概念 1、 平面图的定义 定义17.1 如果图G能以这样的方式画在曲面S上，即除顶点处外无边
相交，称图G为平面图。
G的平面嵌入——画出的无边相交的平面图。
（2）是（1）的平面嵌入，（4）是（3）的平面嵌入。
2、 几点说明及一些简单结论
一般所谈平面图不一定是指平面嵌入，但讨论某些性质时， 一定是指平面嵌入。
定理17.7 设G为n(n3) )阶简单连通的平面图，G为极大平面图 当且仅当G的每个面的次数均为3。
四、极小非平面图 定义17.4 若在非平面图G中任意删除一条边，所得图G为平面
图，则称G为极小非平面图。 由定义不难看出： K5, K3,3都是极小非平面图。 极小非平面图必为简单图。 例如：以下各图均为极小非平面图。
10≤(3/(3-2))(5-2) = 9 这是个矛盾，所以K5不是平面图。 若K3,3是平面图，由于K3,3中最短圈的长度为l≥4，于是边数9 应满足
9≤ (4/(4-2))(6-2) = 8 这又是矛盾的，所以K3,3也不是平面图。
定理17.11 设G是有k(k≥2)个连通分支的平面图，各面的次数