最新24矩阵幂级数汇总
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24矩阵幂级数
§4. 矩阵的幂级数
在研究矩阵幂级数之前先研究一下矩阵（主要是方阵）级数。
一、矩阵级数
1.Df1.：若给定«Skip Record If...»中的一方阵序列，
«Skip Record If...»
则和式 «Skip Record If...» «Skip Record
If...»
称为方阵级数，记为«Skip Record If...»。其中«Skip
Record If...»为通项，m—求和变量。
称为（1）的前N项部分和序列（矩阵«Skip Record If...»
序列）
若«Skip Record If...»，则称（1）收敛，且其和为S
说明：若记«Skip Record If...»表示的 «Skip Record If...»
第i行第j列位置上的元素，根据定义1
显然有，«Skip Record If...»收敛«Skip Record If...»个数项级数«Skip Record If...»收敛。
Df2.若«Skip Record If...»个数项级数«Skip Record If...»绝对收敛，则称«Skip Record If...»绝对收敛。
2.收敛方阵级数的性质：
①若方阵级数«Skip Record If...»绝对收敛，则它一定收敛，且任意交换各项的次序，所得新级数仍收敛且和不变。
②方阵级数«Skip Record If...»收敛«Skip Record If...»对任一方阵范数«Skip Record If...»，正项级数«Skip Record If...»收敛。
下面研究矩阵（方阵）幂级数
二、矩阵幂级数
Df1.设«Skip Record If...»，称«Skip Record If...»为矩阵A的幂级数，其中«Skip Record If...»为一复数序列，称«Skip Record If...»为幂级数«Skip Record If...»的部分和，若«Skip Record If...»，称«Skip Record If...»收敛于S，并称S为幂级数«Skip Record If...»的和矩阵。
注：若令«Skip Record If...»，则矩阵幂级数«Skip Record If...»矩阵级数的形式。因此，矩阵级数的结论对矩阵幂级数的形式是适用的。即：
Th1.矩阵幂级数«Skip Record If...»收敛于«Skip Record If...»
其中，«Skip Record If...»,«Skip Record If...»分别表示«Skip Record If...»和«Skip Record If...»的第i行，第j列元素。
Th2.矩阵幂级数«Skip Record If...»绝对收敛«Skip Record If...»对任一范数«Skip Record If...»，正向级数级数«Skip Record If...»收敛。
Proof:«Skip Record If...»若«Skip Record If...»收敛，考虑«Skip Record If...»的敛散性，
由矩阵范数的等价性，«Skip Record If...»与«Skip Record If...»等价，即«Skip Record If...»
使«Skip Record If...»（由比较审敛法）
收敛。
«Skip Record If...»
又 «Skip Record If...»
«Skip Record If...»«Skip Record If...»收敛，因此，«Skip Record If...»绝对收敛。
«Skip Record If...»若«Skip Record If...»绝对收敛«Skip Record If...»收敛
收敛，即«Skip Record If...»收敛。
«Skip Record If...»
由矩阵范数的等价性«Skip Record If...»对任一矩阵范数«Skip Record If...»，«Skip Record If...»使«Skip Record If...»，«Skip Record If...»有«Skip Record If...»收敛。
推论1.若«Skip Record If...»绝对收敛（收敛），则«Skip Record If...»绝对收敛（收敛）
其中P,Q为给定的n阶方阵，且有
«Skip Record If...»
Proof：«Skip Record If...»绝对收敛«Skip Record If...»«Skip Record If...»绝对收敛。
又«Skip Record If...»
由比较审敛法，«Skip Record If...»«Skip Record If...»绝对收敛。
下面给出判断矩阵幂级数收敛与发散的方法：
Th3.设复变数幂级数«Skip Record If...»的收敛半径为R，A的谱半径为«Skip Record If...»，则：
①当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»绝对收敛。
②当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»发散。Proof：①若«Skip Record If...»，«Skip Record If...»（如取«Skip Record If...»）
«Skip Record If...» «Skip Record If...»收敛
存在矩阵«Skip Record If...»,«Skip Record If...»
②若«Skip Record If...»，设«Skip Record If...»，其中x 为单位向量，«Skip Record If...»
若«Skip Record If...»收敛，则由推论1.知：
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
也收敛，但«Skip Record If...»在收敛域之外而发散，矛盾，