人教版初三数学上册第22章 《二次函数》复习资料(知识结构)

第二十二章 《二次函数》复习资料

【知 识 结 构】

一、二次函数

1. 形如y = ； (a 、b 、c 是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.

2.函数的三种形式：①一般式 ，②顶点式 ，③两根式 。

3.待定系数法求解析式：(1）根据条件设函数解析式：已知三点坐标，选用 ：已知 ，选用顶点式；已知 ，选用两根式。 （2）把已知点的坐标带入解析式求出待定系数。

例1：已知当x ＝－1时，抛物线最高点的纵坐标为4，且与x 轴两交点之间的距离为6，求此函数解析式。

二、二次函数的图象及性质

例2：当 m =_____时，函数 y=(m –3) x m2-3m+2

+(

m-2)x +1（m 为常数）为二次函数。

（1）函数的开口 ；对称轴为 ，顶点坐标为 ，对称轴左侧，y 随x 的增大而 ；（2）若将函数向上平移3个单位长度后，又向左平移2个单位长度，得到的函数解析式为 。 三、二次函数c bx ax y ++=2

的系数a 、b 、c 与图象的关系 a 的作用：决定抛物线的 和 ；

（1）a>0 开口 ：a<0 开口 . (2)|a| 越大，抛物线的开口度越 。 b 的作用：与系数a 共同决定抛物线的对称轴或顶点坐标( ， )的位置； （1）0=b 时，对称轴为 ；（2）a 、b 同号时,对称轴在y 轴 侧； （3）a 、b 异号时,对称轴在y 轴 侧. （口诀：左 右 ）

c 的作用：决定抛物线与y 轴交点( ， )的位置；（口诀：上 下 ） ① 0=c ，抛物线经过 ; ②0>c ,与y 轴交于 半轴；③0

,

与y 轴交于 半轴. 例2：已知点A （x 1, y 1)和点B （x 2 ,y 2)在函数y=(x-1)2

+1图象上，则x 1>x 2>1,则y 1 y 2 。 例3：已知二次函数y=ax 2

+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0，②b 2

-4ac ＜0，③a-b+c ＞0，④4a-2b+c ＜0，其中结论正确的有 个. 四、二次函数图象的平移：抛物线()k h x a y +-=2

1、二次项系数|a|相等，图像开口度相同，即形状相同；a 相同，图像相互间可以通过上下、左右平移而得到；a 互为相反数，可以通过旋转或对折而得到。

（1）图像上下平移由 决定（口诀：上 下 ），相差多少，平移多少个单位长度。 （2）图像左右平移由 决定（口诀：左 右 ），相差多少，平移多少个单位长度。

例4：将抛物线y=3x 2

向上平移3个单位,再向左平移2个单位,那么得到的抛物线的解析式为 ， 新抛物线的开口方向为 ，对称轴 ，顶点坐标 。

五、二次函数与一元二次方程的关系

关系：二次函数图像与x 轴交点的横坐标是其对应一元二次方程的 ；反之亦然。

例5：已知二次函数y=-x 2

+bx+c 的图像如图所示，它与x 轴的一个交点坐标为（-1,0），与y 轴的交点坐标为（0,3）. 求（1）二次函数的解析式； （2）函数的顶点坐标； （3）方程-x 2

+bx+c=0的解；（4）y<0 时，自变量x 的取值范围。

六、用二次函数解决实际问题

1、函数的最大（小）值，就是图像顶点坐标的纵坐标，即当x= 时，函数有最值y=

2、解题的基本步骤：（1）列出二次函数的 ，并根据自变量的实际意义，确定自变量的 ；（2）运用通过配方法或公式求出二次函数的最大值或最小值.

例6：星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园.其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x 米.

（1）若平行于墙的一边的长为y 米，直接写出y 与x 之间的函数关系式及其自变量x 的取值范围； （2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；

（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图像，直接写出x 的取值范围.

例7：儿童商场购进一批M 型服装，销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获利50%．商场现决定对M 型服装开展促销活动，每件在8折的基础上再降价x 元销售，已知每天销售数量y （件）与降价x （元）之间的函数关系式为y=20+4x （x ＞0）．

（1）求M 型服装的进价； （2）求促销期间每天销售M 型服装所获得的利润W 的最大值．

【练 习 题】

一、填空题

1. 二次函数2

47y x x =--的顶点坐标是

2.已知二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),

由图象可知关于x 的一元二次方程2

0ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和 。

3.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为 4．二次函数2

3y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_______。

5．已知抛物线y=-2（x+3）²+5，如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是_______.

6．一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当x ＜0时，函数值y 随自变量x 的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可）。 7.如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，

在线段AB 上离中心M 处5米的地方，桥的高度是 (π取3.14). 二、解答题：

8.已知二次函数图象的对称轴是30x +=,图象经过(1,-6),且与y 轴的交点为(0,52

-). (1)求这个二次函数的解析式;(2)当x 为何值时,这个函数的函数值为0? (3)当x 在什么范围内变化时,这个函数的函数值y 随x 的增大而增大?

9.如图，二次函数y ＝－12

x 2

＋bx ＋c 的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点．

10.(1)求这个二次函数的解析式；

(2)设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA ，BC ，求△

ABC 的面积．

第7题