《直线的点斜式方程》教学设计(优质课)

直线的点斜式方程
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；
（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；
（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.
2．过程与方法
在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程，学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别.
3．情态与价值观
通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题.
（二）教学重点、难点：
（1）重点：直线的点斜式方程和斜截式方程.
（2）难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用.
（三）教学设想
教学环节教学内容师生互动设计意图
复习引入1．在直角坐标系内确定
一条直线，应知道哪些条
件？
学生回顾，并回答. 然后教师
指出，直线的方程，就是直线
上任意一点的坐标(x, y)满
足的关系式.
使学生在已有知识和
经验的基础上，探索新
知.
概念形成2．直线l经过点P0(x0,
y
)，且斜率为k. 设点P
(x, y)是直线l上的任意
一点，请建立x，y与k，
x
, y0之间的关系.
学生根据斜率公式，可以得
到，当x≠x0时，0
y y
k
x x
-
=
-
，
即y–y0 = k (x–x0)
（1）
老师对基础薄弱的学生给予
关注、引导，使每个学生都能
推导出这个方程.
培养学生自主探索的
能力，并体会直线的方
程，就是直线上任意一
点的坐标(x, y)满足
的关系式，从而掌握根
据条件求直线方程的
方法.
3．（1）过点P0(x0, y0)，
斜率是k的直线l上的点，其坐标都满足方程（1）吗？学生验证，教师引导.
使学生了解方程为直
线方程必须满足两个
条件.
（2）坐标满足方程（1）的点都在经过P0 (x0,
y
)，斜率为k的直线l 上吗？学生验证，教师引导. 然后教
师指出方程（1）由直线上一
定点及其斜率确定，所以叫做
直线的点斜式方程，简称点斜
式(point slope form).
使学生了解方程为直
线方程必须满足两个
条件.
概念深化4．直线的点斜式方程能
否表示坐标平面上的所
有直线呢？
学生分组互相讨论，然后说明
理由.
使学生理解直线的点
斜式方程的适用范围. 5．（1）x轴所在直线的
方程是什么？Y轴所在
直线的方程是什么？
（2）经过点P0 (x0, y0)
且平行于x轴(即垂直于
y轴)的直线方程是什
么？
（3）经过点P0 (x0, y0)
且平行于y轴(即垂直于
x轴)的直线方程是什
么？
教师引导学生通过画图分析，
求得问题的解决.
进一步使学生理解直
线的点斜式方程的适
用范围，掌握特殊直线
方程的表示形式.
应用举例教师引导学生分析要用点斜学生会运用点斜式方
6．例1. 直线l经过点P
(–2，3)，且倾斜角 = 45° . 求直线l的点斜式方程，并画出直线l. 式求直线方程应已知哪些条
件？题目那些条件已经直接
给予，那些条件还有待已去
求. 在坐标平面内，要画一条
直线可以怎样去画.
例1 解析：直线l经过点P0
(–2，3)，斜率k = tan45°
=1代入点斜式方程得
y– 3 = x + 2
画图时，只需再找出直线l上
的另一点P1 (x1，y1)，例如，
取x1= –1，y1 = 4，得P1的
坐标为（– 1，4），过P0 ，
P
1
的直线即为所求，如右图.
程解决问题，清楚用点
斜式公式求直线方程
必须具备的两个条件：
（1）一个定点；
（2）有斜率. 同时掌
握已知直线方程画直
线的方法.
概念深化7．已知直线l的斜率为
k，且与y轴的交点为(0,
b)，求直线l的方程.
学生独立求出直线l的方程：
y = kx + b（2）
再此基础上，教师给出截距的
概念，引导学生分析方程（2）
由哪两个条件确定，让学生理
解斜截式方程概念的内涵.
引入斜截式方程，让学
生懂得斜截式方程源
于点斜式方程，是点斜
式方程的一种特殊情
形.
8．观察方程y= kx+ b，
它的形式具有什么特
点？
学生讨论，教师及时给予评
价.
深入理解和掌握斜截
式方程的特点？9．直线y = kx + b在x
轴上的截距是什么？
学生思考回答，教师评价.
使学生理解“截距”与
“距离”两个概念的区
x
y
6
4
2
1
–1
–2 0
P0
P1
别.
方法探究10．你如何从直线方程的
角度认识一次函数y =
kx + b？一次函数中k
和b的几何意义是什
么？你能说出一次函数
y = 2x– 1，y = 3x，y
= –x + 3图象的特点
吗？
学生思考、讨论，教师评价.
归纳概括.
体会直线的斜截式方
程与一次函数的关系.
应用举例11．例2 已知直线l1：
y = k
1
+ b1，l2：y2 = k2
x + b
2
. 试讨论：
（1）l1∥l2的条件是什
么？
（2）l1⊥l2的条件是什
么？
教师引导学生分析：用斜率判
断两条直线平行、垂直结论.
思考（1）l1∥l2时，k1，k2；
b
1
，b2有何关系？（2）l1⊥l2
时，k1，k2；b1，b2有何关系？
在此由学生得出结论；l1∥
l
2⇔
k1 = k2，且b1≠b2；l1⊥
l
2⇔
k1k2 = –1.
例2 解析：（1）若l1∥l2，
则k1 = k2，此时l1、l2与y
轴的交点不同，即b1 = b2；
反之，k1 = k2，且b1 = b2时，
l
1
∥l2 .
于是我们得到，对于直线
l
1
：y = k1x + b1，l2：y = kx
+ b2
l
1
∥l2⇔k1 = k2，且b1≠b2；
l
1
⊥l2⇔k1k2 = –1.
掌握从直线方程的角
度判断两条直线相互
平行，或相互垂直；进
一步理解斜截式方程
中k，b的几何意义.
12．课堂练习第100页练
习第1，2，3，4题.
学生独立完成，教师检查反
馈.
巩固本节课所学过的
知识.
备选例题
例1 求倾斜角是直线1y =+的倾斜角的14
，且分别满足下列条件的直线方程是. （1
）经过点1)-； （2）在
y 轴上的截距是–5.
【解析】∵直线1
y =+
的斜率k = ∴其倾斜角α=120°
由题意，得所求直线的倾斜角11304
αα==.故所求直线的斜率
13
tan 303
k ==.
（1
）∵所求直线经过点1)-
∴所求直线方程是1y x +=
360y --=. （2）∵所求直线的斜率是y 轴上的截距为–5， ∴所求直线的方程为5y x =
-， 3150y --= 【点评】（1）由于点斜式与斜截式方程中都是用斜率k 来表示的，故这两类方程不能用于垂直于x 轴的直线.如过点(1，2)，倾斜角为90°的直线方程为x – 1 = 0.
（2）截距和距离是两不同的概念，y 轴上的截距是指直线与y 轴交点的纵坐标，x 轴上的截距是指直线与x 轴交点的横坐标.若求截距可在方程中分别令x = 0或y = 0求对应截距.
例2 直线l 过点P (–2，3)且与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的方程.
【解析】设直线l 的斜率为k ， ∵直线l 过点(–2，3)，
∴直线l 的方程为y – 3 = k [x – (–2)]，令x = 0，得y = 2k + 3；令y = 0得3
2x k
=--.
∴A 、B 两点的坐标分别为A 3
(2,0)k
--，B (0，2k + 3). ∵AB 的中点为(–2，3)
∴3
20
23
,22023
32
k k k ⎧--+⎪=-⎪=⎨
⎪++=⎪
⎩解之得 ∴直线l 的方程为33(2)2
y x -=+，即直线l 的方程为3x – 2y +12 = 0.。