伴随矩阵相关问题求解方法小结(1)

伴随矩阵相关问题求解方法小结（1）

来源：文都教育

考研数学试题中有不少与伴随矩阵相结合进行考查的题目，这类题目有的与行列式相结合，有的与矩阵的运算相结合，还有的与线性方程组相结合，更有甚者将多种因素综合起来进行考查. 本文通过总结历年考研题型，对与伴随矩阵有关这类试题进行总结，帮助考生进行系统复习.

首先，伴随矩阵的概念是在求矩阵的逆矩阵的概念中引入的. 几乎所有与伴随矩阵相关的试题都可通过下述公式推导出来，因而求解或证明伴随矩阵的有关问题常通过下述基本公式：**

AA A A A E ==,其中A 为n 阶矩阵，这个公式是讨论与伴随矩阵有关的各种问题的基础.

当然，伴随矩阵的定义同样非常重要，它也是很多题目的考点之一. 它的定义如下： 设A 为n 阶矩阵，ij A 为矩阵A 中元素ij a (i , j =1, 2, …, n )的代数余子式，称矩阵 1121112222*12n n ji n n n n nn A A A A A A A A A A A ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L M M M L

为矩阵A 的伴随矩阵.

此外，与伴随矩阵相关的一些性质如下：

设A 为n 阶矩阵，则 (1) *1*()n kA k

A -=（k 为常数）； (2) 2**()n A A A -=; (3) **()()T T A A =; (4) ***()A

B A B =;

(5) 若A 可逆，则*1A A A -=, *11*()()A A A A

--==. 例 设A 为n 阶可逆矩阵，且2A A E =，则伴随矩阵*A = .

解 因为*A A A E =，所以*2

A A A =，又因为A 为n 阶可逆矩阵，故

*11A AA A A A --=⋅⋅，从而得*A A =.

上例应用了伴随矩阵的性质*A A A E =，掌握此性质本题便可迎刃而解. 此外，考查伴随矩阵的其他性质的相关题型也有很多，类似题目几乎在历年考研数学试题中都有所涉及，后续文章将加以阐述，掌握相应的解题方法相信会为考生的解题起到事半功倍的作用.