简单随机抽样
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25
对于简单随机抽样，总体均值的估计量为：
yi ˆ Y y i 1 n
n
其中，n是样本量，yi是样本中第i个单元的值， 对应某特定样本的值即是估计值。也就是说，将样 本中所有yi的值加起来再除以样本量就得到了总体 平均数的估计值。
26
在简单随机抽样中，y 既是总体均值的一致 估计，也是总体均值 Y 的无偏估计。
29
ˆ 2 的 选 取 ， 我 们通 常 使用 样 本 方 对 于估 计 量 S 2 n 差s 。 ( yi y ) 2 可以证明： 2 i
s
N i
n 1
是总体方差 S 2
2 ( y Y ) i
N 1
的无偏估计量。
30
三、其他估计量 当总体为正态分布时，用 Me（中位数）来估 计Y 。 可以证明：
第三章 简单随机抽样（SRS）
第一节 概述
第二节
第三节
估计量及其误差
样本量的确定
1
第一节
一、定义
概述
二、抽取方法
三、方法评估 四、两个试验
2
一、定义
所有概率抽样的出发点和理论基础都是简单 随机抽样。简单随机抽样是一种一步抽样法，它 保证样本量为n的每个可能的样本都有相同的被抽 中的概率p=n/N。
24
如果一个估计量对于所有可能样本计算的估 计值的平均数等于参数的真值，称这个估计量是 无偏的。 另一个所需要的估计量的性质是它的抽样分 布应与其平均数尽可能地靠拢。对这种性质的一 个度量指标是抽样方差。 我们通常希望估计量具有一些好的性质：其 中的一个性质就是估计量应是无偏的或近似无偏 的，另一个是抽样方差较小的估计量被认为是精 确的：抽样方差越小，估计的精度越高。
20
在估计时，需要考虑的另一个问题是，估计 针对的是总体的什么范围。估计既可以针对整个 调查总体，也可以针对特定的子总体或特定的域。 例如，除需要计算全国估计值外，可能还需要省 及地市的估计值。同时，还可能需要诸如分性别、 年龄、受教育水平等这样的域估计值。
21
对下述问题的回答将有助于决定如何计算估 计值： —— 需要估计什么类型的参数 ? 是比例，均 值，还是总量? —— 数据是什么类型的 ? 是定性数据，还是 定量数据? ——采用怎样的权数?是自加权设计吗? ——需要估计的是什么样的域?
37
第三节
一、引言
样本量的确定
二、精度与样本量
三、费用与样本量
四、精度与费用间的协调
一、引言 1.为什么要确定样本量？ 由于样本量直接影响到样本的代表性、调查 的费用、完成调查所需要的时间、所需调查人员 的数量以及其他一些现场操作的限制条件。 2.影响样本量的因素 估计量的精度要求；提供的经费能支持多大 的样本；调查的时间要求；需要和能招聘到的合 格调查员数量等。
13
14
可见四个人都对颜色存在偏好，如第一个人 偏爱绿色，第二个人偏爱蓝色等。这种由于对颜 色偏好所引起的偏估类型，可称之为颜色偏误。
15
从上述两个试验可以发现，利用人为的随意 抽样方法都会产生偏差。每个试验者均有较为喜 欢的数字和颜色，因此，使得样本变成非随机的， 进而给抽样估计带来困难。
16
6
如果一种抽样策略的抽样方差比另一种抽样 策略的抽样方差小，我们就称这种抽样策略更有 效率（这种效率也称统计效率）。一个有较小抽 样方差的估计量具有较高的精度。 基什提出用设计效果（Deff）来衡量一种抽 样策略的效率。
一个复杂抽样设计的抽 样方差 Deff 相同样本量的简单随机 抽样的抽样方差
ˆ） 时， V 。 （Y （y） s V
33
关于子总体（域）的估计
实际中常需要对大总体中的一部分（即子总体） 进行估计。 在简单随机抽样条件下，无论是定量数据还是 定性数据，对于感兴趣第j子总体（域）的大小都可 以用下式估计：
ˆ N 域
iS r 域
w
i
34
对定量数据，域总值的估计值为：
简单随机抽样有两个相互等价的定义。
3
随机样本的优点： 1.随机选择可以消除“偏心”；也就是说随机 抽样把偏差给消灭了。 2.如果我们从同一个总体，重复抽取许多大小 一样的随机样本，所有样本的变异状况就会遵循某 种可预测的形态 (pattern) 。从这个可预测的形态 可以得知，由较大样本所得结果的变异．会小于小 样本结果的变异。
7
与其他抽样技术相比，简单随机抽样有以下优
点： 是最简单的抽样技术； 抽样框不需要其他（辅助）信息，唯一需要的 只是一个关于调查总体所有单元的一个完全的清单 和与其如何联系的信息； 关于样本量的确定、总体估计与方差估计都有 现成的标准公式可以利用，因此技术发展已经成熟。
8
简单随机抽样的缺点是： 抽样框中即使有现成的辅助信息也不加利用， 使得估计的统计效率较其他利用辅助信息的样本设 计低； 由于样本在总体中的地理分布范围比较广，如 果采用面访，费用较高； 有可能抽到一个“差的”样本。原因是这种方 法不对抽中哪一个样本进行控制，所有样本量为n的 样本都有相同的被抽中的机会，因此抽出来的样本 有可能分布不好，不能很好地代表总体； 如果不用计算机，而用随机数表抽一个大样本 将十分单调劳神。
22
二、估计量的性质
不同的样本将得到不同的估计值。 一个估计量的抽样分布，是指使用相同的抽样 设计，从同一个总体抽取的所有可能样本的估计值 的分布。 显然，这样的抽样分布依赖于估计量的形式和 所采用的抽样设计(例如简单随机抽样、系统抽样、 分层抽样、多阶抽样等)。
23
要想知道抽样分布，就必须知道样本是怎么抽 取的。在概率抽样的情况下，我们知道样本是如何 抽取的，因此可以确定其抽样分布。对非概率抽样， 由于无法得知各个不同样本的入选概率，从而不能 计算抽样分布。抽样分布对确定估计量的一些重要 性质，例如偏倚及抽样方差等非常重要。
ˆ Y 域
iS r 域
w y
i
i
对定量数据，域均值的估计值为：
ˆ Y域
iS r 域
w y
i
i
iS r 域
w
i
3i iS r 域 C
ˆ P 域
w
i
iS r 域
w
可以证明，上述几个估计是无偏的。
36
四、抽样误差的其它度量 有多种方式可以用来表示估计量的抽样误差 的大小，除方差外，下列的一些度量也会经常用 到： —— 标准差 ( 指估计量的标准差，也称标准 误)； ——变异系数； ——误差限； ——臵信区间。
第二节
估计量及其误差
一、数据类型
二、估计量的性质 三、在简单随机抽样条件下的其他估计量 四、抽样误差的其它度量
17
一、数据类型
几乎每项调查都需要计算诸如比例、均值、总 量这样的简单描述统计量，当然也会用到一些更为 复杂的统计量和分析方法。大多数调查都要求收集 很多个指标，这些指标也称作变量。变量既可以是 定性的 ( 或称分类的 ) ，也可以是定量的 ( 或称计量 的 )。
3.必要样本量和可能样本量 必要样本量是由精度要求出发所确定的样本 量，是能满足精度要求的最少样本量； 可能样本量是由费用约束条件出发所确定的 样本量，是在一定费用预算下最多所能调查的样 本量。
二、精度与样本量
（一）精度的表示方法 1.用抽样方差或抽样误差 V (ˆ) 来表示，方差 越小精度越高； 2.用臵信度和误差限来表示，以 ˆ 表示一个任 ˆ) 为估计标准误，一定臵信度的误 意的估计量， S ( ˆ) ，z值与臵信度相对应。 差限为 zS (
3、一定臵信度下用相对误差表示精度
ˆ ˆ zS ( ) P 1
其中：1－α为臵信度或可靠性
1
ˆ) zS (
称做估计精度
（二）确定精度需要考虑的因素 1.可接受（允许）多大的误差限？ 如果调查结果将用于进行一项有重大影响或 有较大风险的决策，那么，客户对估计值就需要 较高的精度；如果他们只是简单地希望取得对所 研究总体某个指标的感性认识，那么，低一点的 精度就可以满足要求了。 2.是否需对子总体进行估计？ 如果需要估计子总体，则应该确定各子总体 合适的精度，不同的子总体对精度的要求可能不 同。
4
二、抽取方法 抽样可以是放回的，也可以是不放回的。如 果抽样比非常小，则放回抽样与不放回抽样实际 上是差不多的。一般情况下，不放回抽样的结果 更精确，实际操作也更方便些。在本课程中，除 非特别指明，抽样都是指不放回的。
简单随机抽样一般有抽签法和随机数法两种 实施方法。
5
三、方法评估 简单随机抽样被用作评估其他抽样策略的效 率的基准，这里抽样策略是指抽样方法与所用估 计量的结合。一个估计量就是一个用来计算估计 值的公式。估计量的抽样误差是通过其抽样方差 来测量的，而抽样方差定义为对采用这种抽样设 计的所有可能样本，估计值距其平均值的差（称 为离差）平方的平均。
27
估计量 y 的方差为:
( N n) 2 1 f 2 V ( y) E( y Y ) S S nN n
2
V ( y ) 可以用下式估计 :
2 ˆ n S ˆ V ( y ) (1 ) N n
28
项 n/N 称为抽样比，用 f 表示。从这个公式我 们可以看出，随着样本量n的增加，均值估计的抽 样方差将减少。当进行普查即n=N时，均值估计就 完全没有抽样方差。当抽样比很小即样本量相对 于总体很小时，因子(1-n/N)可以忽略。 Cochran(1977) 说过，当抽样比不超过 5 ％， 甚至在很多情况下高达 10 ％时，这个因子都可以 被忽略。另外，应注意上述公式仅应用于当回答 率为100％，且没有使用任何辅助信息对样本权数 进行调整的情形。
19
如果度量的单位是诸如米或年这种数量形式， 就称这样的数据为定量数据。定量数据一般是对 “多少”、“多大”这样的问题所作的回答，例 如年龄、孩子的数量、工作的小时数、支出与收 入、血压等等。 对于不同类型的变量，需要使用不同类型的估计。 通常，对定性变量，我们计算比例与总数；对定 量变量，我们计算平均数与总量。
E(Me) Y
1.57 V ( Me) 2n n n
2 2
2
31
在有放回简单随机抽样时，样本中有重复单 元，去掉重复单元，用其中d个不同单元的信息来 估计，即 d
1 y d
y
i
i
可以证明， E( y ) Y 。方差介于放回与无放回之间：
V ( y不放回 ) V ( y) V ( y放回 )
11
可以看出，六个人都对数字存在偏好，如第一 个人更加偏好数字 4 、 3 、 0 ；第二个人则偏好数字 1 、 8 、 4 ；等等。这种由于数字偏好所引起的偏估类型 可称之为数字偏误。
12
试验二：着色试验 让四个人将 10×10方格的纸板着色，可供选 择的颜色有蓝、绿、红、白和黄色五种，对每一 个四分象限来说，规定每种颜色只能在每行和每 列出现一次。每个方格以其所在的列号与行号表 示，如(4， 6)代表第四列第六行的方格。请四个 人对这 100 个方格随意选择行列号，而对其着色。 将这些由这四个人着色所得到的资料形成次数分 布表如下：
32
总体N个单元的值Y1，…，YN，已知Y1很小，YN 很大，用估计量
y c ˆ Ys y c y 当样本单元中包括 Y1不包括YN 时 当样本单元中包括 YN 不包括Y1时 其他
ˆ ) Y， 可以证明：E (Y s
且当
2c （YN Y1 nc）>0 N 1
18
样本单元可以按某些指标划分成不同的类别， 所得的数据就称为分类数据或定性数据。这些变 量中，如性别或婚姻状况，通常只有几个可能的 取值。民意调查中，通常用量表的形式收集所需 的数据也是定性数据，例如很赞成，赞成，既不 赞成也不反对，不赞成，很不赞成。必须注意的 是，这种情况下每个单元属于而且只属于其中一 个类别。
9
四、两个试验 也许有人会认为，在抽样时不用随机数表， 而采取随意抽选的办法也可以达到预期的抽样效 果。表面上看，这种想法似乎有一定道理，但实 际试验的结果证明随意抽样不等于随机抽样。以 下是两个有名的试验：
10
试验一：随意数试验
让六个人写下100个自己随意想到的三位数， 将这些数内的 0 、 1 、 2 、 … 、 9 数字列成次数分布 表如下：
对于简单随机抽样，总体均值的估计量为：
yi ˆ Y y i 1 n
n
其中，n是样本量，yi是样本中第i个单元的值， 对应某特定样本的值即是估计值。也就是说，将样 本中所有yi的值加起来再除以样本量就得到了总体 平均数的估计值。
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在简单随机抽样中，y 既是总体均值的一致 估计，也是总体均值 Y 的无偏估计。
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ˆ 2 的 选 取 ， 我 们通 常 使用 样 本 方 对 于估 计 量 S 2 n 差s 。 ( yi y ) 2 可以证明： 2 i
s
N i
n 1
是总体方差 S 2
2 ( y Y ) i
N 1
的无偏估计量。
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三、其他估计量 当总体为正态分布时，用 Me（中位数）来估 计Y 。 可以证明：
第三章 简单随机抽样（SRS）
第一节 概述
第二节
第三节
估计量及其误差
样本量的确定
1
第一节
一、定义
概述
二、抽取方法
三、方法评估 四、两个试验
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一、定义
所有概率抽样的出发点和理论基础都是简单 随机抽样。简单随机抽样是一种一步抽样法，它 保证样本量为n的每个可能的样本都有相同的被抽 中的概率p=n/N。
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如果一个估计量对于所有可能样本计算的估 计值的平均数等于参数的真值，称这个估计量是 无偏的。 另一个所需要的估计量的性质是它的抽样分 布应与其平均数尽可能地靠拢。对这种性质的一 个度量指标是抽样方差。 我们通常希望估计量具有一些好的性质：其 中的一个性质就是估计量应是无偏的或近似无偏 的，另一个是抽样方差较小的估计量被认为是精 确的：抽样方差越小，估计的精度越高。
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在估计时，需要考虑的另一个问题是，估计 针对的是总体的什么范围。估计既可以针对整个 调查总体，也可以针对特定的子总体或特定的域。 例如，除需要计算全国估计值外，可能还需要省 及地市的估计值。同时，还可能需要诸如分性别、 年龄、受教育水平等这样的域估计值。
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对下述问题的回答将有助于决定如何计算估 计值： —— 需要估计什么类型的参数 ? 是比例，均 值，还是总量? —— 数据是什么类型的 ? 是定性数据，还是 定量数据? ——采用怎样的权数?是自加权设计吗? ——需要估计的是什么样的域?
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第三节
一、引言
样本量的确定
二、精度与样本量
三、费用与样本量
四、精度与费用间的协调
一、引言 1.为什么要确定样本量？ 由于样本量直接影响到样本的代表性、调查 的费用、完成调查所需要的时间、所需调查人员 的数量以及其他一些现场操作的限制条件。 2.影响样本量的因素 估计量的精度要求；提供的经费能支持多大 的样本；调查的时间要求；需要和能招聘到的合 格调查员数量等。
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可见四个人都对颜色存在偏好，如第一个人 偏爱绿色，第二个人偏爱蓝色等。这种由于对颜 色偏好所引起的偏估类型，可称之为颜色偏误。
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从上述两个试验可以发现，利用人为的随意 抽样方法都会产生偏差。每个试验者均有较为喜 欢的数字和颜色，因此，使得样本变成非随机的， 进而给抽样估计带来困难。
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如果一种抽样策略的抽样方差比另一种抽样 策略的抽样方差小，我们就称这种抽样策略更有 效率（这种效率也称统计效率）。一个有较小抽 样方差的估计量具有较高的精度。 基什提出用设计效果（Deff）来衡量一种抽 样策略的效率。
一个复杂抽样设计的抽 样方差 Deff 相同样本量的简单随机 抽样的抽样方差
ˆ） 时， V 。 （Y （y） s V
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关于子总体（域）的估计
实际中常需要对大总体中的一部分（即子总体） 进行估计。 在简单随机抽样条件下，无论是定量数据还是 定性数据，对于感兴趣第j子总体（域）的大小都可 以用下式估计：
ˆ N 域
iS r 域
w
i
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对定量数据，域总值的估计值为：
简单随机抽样有两个相互等价的定义。
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随机样本的优点： 1.随机选择可以消除“偏心”；也就是说随机 抽样把偏差给消灭了。 2.如果我们从同一个总体，重复抽取许多大小 一样的随机样本，所有样本的变异状况就会遵循某 种可预测的形态 (pattern) 。从这个可预测的形态 可以得知，由较大样本所得结果的变异．会小于小 样本结果的变异。
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与其他抽样技术相比，简单随机抽样有以下优
点： 是最简单的抽样技术； 抽样框不需要其他（辅助）信息，唯一需要的 只是一个关于调查总体所有单元的一个完全的清单 和与其如何联系的信息； 关于样本量的确定、总体估计与方差估计都有 现成的标准公式可以利用，因此技术发展已经成熟。
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简单随机抽样的缺点是： 抽样框中即使有现成的辅助信息也不加利用， 使得估计的统计效率较其他利用辅助信息的样本设 计低； 由于样本在总体中的地理分布范围比较广，如 果采用面访，费用较高； 有可能抽到一个“差的”样本。原因是这种方 法不对抽中哪一个样本进行控制，所有样本量为n的 样本都有相同的被抽中的机会，因此抽出来的样本 有可能分布不好，不能很好地代表总体； 如果不用计算机，而用随机数表抽一个大样本 将十分单调劳神。
22
二、估计量的性质
不同的样本将得到不同的估计值。 一个估计量的抽样分布，是指使用相同的抽样 设计，从同一个总体抽取的所有可能样本的估计值 的分布。 显然，这样的抽样分布依赖于估计量的形式和 所采用的抽样设计(例如简单随机抽样、系统抽样、 分层抽样、多阶抽样等)。
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要想知道抽样分布，就必须知道样本是怎么抽 取的。在概率抽样的情况下，我们知道样本是如何 抽取的，因此可以确定其抽样分布。对非概率抽样， 由于无法得知各个不同样本的入选概率，从而不能 计算抽样分布。抽样分布对确定估计量的一些重要 性质，例如偏倚及抽样方差等非常重要。
ˆ Y 域
iS r 域
w y
i
i
对定量数据，域均值的估计值为：
ˆ Y域
iS r 域
w y
i
i
iS r 域
w
i
3i iS r 域 C
ˆ P 域
w
i
iS r 域
w
可以证明，上述几个估计是无偏的。
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四、抽样误差的其它度量 有多种方式可以用来表示估计量的抽样误差 的大小，除方差外，下列的一些度量也会经常用 到： —— 标准差 ( 指估计量的标准差，也称标准 误)； ——变异系数； ——误差限； ——臵信区间。
第二节
估计量及其误差
一、数据类型
二、估计量的性质 三、在简单随机抽样条件下的其他估计量 四、抽样误差的其它度量
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一、数据类型
几乎每项调查都需要计算诸如比例、均值、总 量这样的简单描述统计量，当然也会用到一些更为 复杂的统计量和分析方法。大多数调查都要求收集 很多个指标，这些指标也称作变量。变量既可以是 定性的 ( 或称分类的 ) ，也可以是定量的 ( 或称计量 的 )。
3.必要样本量和可能样本量 必要样本量是由精度要求出发所确定的样本 量，是能满足精度要求的最少样本量； 可能样本量是由费用约束条件出发所确定的 样本量，是在一定费用预算下最多所能调查的样 本量。
二、精度与样本量
（一）精度的表示方法 1.用抽样方差或抽样误差 V (ˆ) 来表示，方差 越小精度越高； 2.用臵信度和误差限来表示，以 ˆ 表示一个任 ˆ) 为估计标准误，一定臵信度的误 意的估计量， S ( ˆ) ，z值与臵信度相对应。 差限为 zS (
3、一定臵信度下用相对误差表示精度
ˆ ˆ zS ( ) P 1
其中：1－α为臵信度或可靠性
1
ˆ) zS (
称做估计精度
（二）确定精度需要考虑的因素 1.可接受（允许）多大的误差限？ 如果调查结果将用于进行一项有重大影响或 有较大风险的决策，那么，客户对估计值就需要 较高的精度；如果他们只是简单地希望取得对所 研究总体某个指标的感性认识，那么，低一点的 精度就可以满足要求了。 2.是否需对子总体进行估计？ 如果需要估计子总体，则应该确定各子总体 合适的精度，不同的子总体对精度的要求可能不 同。
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二、抽取方法 抽样可以是放回的，也可以是不放回的。如 果抽样比非常小，则放回抽样与不放回抽样实际 上是差不多的。一般情况下，不放回抽样的结果 更精确，实际操作也更方便些。在本课程中，除 非特别指明，抽样都是指不放回的。
简单随机抽样一般有抽签法和随机数法两种 实施方法。
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三、方法评估 简单随机抽样被用作评估其他抽样策略的效 率的基准，这里抽样策略是指抽样方法与所用估 计量的结合。一个估计量就是一个用来计算估计 值的公式。估计量的抽样误差是通过其抽样方差 来测量的，而抽样方差定义为对采用这种抽样设 计的所有可能样本，估计值距其平均值的差（称 为离差）平方的平均。
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估计量 y 的方差为:
( N n) 2 1 f 2 V ( y) E( y Y ) S S nN n
2
V ( y ) 可以用下式估计 :
2 ˆ n S ˆ V ( y ) (1 ) N n
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项 n/N 称为抽样比，用 f 表示。从这个公式我 们可以看出，随着样本量n的增加，均值估计的抽 样方差将减少。当进行普查即n=N时，均值估计就 完全没有抽样方差。当抽样比很小即样本量相对 于总体很小时，因子(1-n/N)可以忽略。 Cochran(1977) 说过，当抽样比不超过 5 ％， 甚至在很多情况下高达 10 ％时，这个因子都可以 被忽略。另外，应注意上述公式仅应用于当回答 率为100％，且没有使用任何辅助信息对样本权数 进行调整的情形。
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如果度量的单位是诸如米或年这种数量形式， 就称这样的数据为定量数据。定量数据一般是对 “多少”、“多大”这样的问题所作的回答，例 如年龄、孩子的数量、工作的小时数、支出与收 入、血压等等。 对于不同类型的变量，需要使用不同类型的估计。 通常，对定性变量，我们计算比例与总数；对定 量变量，我们计算平均数与总量。
E(Me) Y
1.57 V ( Me) 2n n n
2 2
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在有放回简单随机抽样时，样本中有重复单 元，去掉重复单元，用其中d个不同单元的信息来 估计，即 d
1 y d
y
i
i
可以证明， E( y ) Y 。方差介于放回与无放回之间：
V ( y不放回 ) V ( y) V ( y放回 )
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可以看出，六个人都对数字存在偏好，如第一 个人更加偏好数字 4 、 3 、 0 ；第二个人则偏好数字 1 、 8 、 4 ；等等。这种由于数字偏好所引起的偏估类型 可称之为数字偏误。
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试验二：着色试验 让四个人将 10×10方格的纸板着色，可供选 择的颜色有蓝、绿、红、白和黄色五种，对每一 个四分象限来说，规定每种颜色只能在每行和每 列出现一次。每个方格以其所在的列号与行号表 示，如(4， 6)代表第四列第六行的方格。请四个 人对这 100 个方格随意选择行列号，而对其着色。 将这些由这四个人着色所得到的资料形成次数分 布表如下：
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总体N个单元的值Y1，…，YN，已知Y1很小，YN 很大，用估计量
y c ˆ Ys y c y 当样本单元中包括 Y1不包括YN 时 当样本单元中包括 YN 不包括Y1时 其他
ˆ ) Y， 可以证明：E (Y s
且当
2c （YN Y1 nc）>0 N 1
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样本单元可以按某些指标划分成不同的类别， 所得的数据就称为分类数据或定性数据。这些变 量中，如性别或婚姻状况，通常只有几个可能的 取值。民意调查中，通常用量表的形式收集所需 的数据也是定性数据，例如很赞成，赞成，既不 赞成也不反对，不赞成，很不赞成。必须注意的 是，这种情况下每个单元属于而且只属于其中一 个类别。
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四、两个试验 也许有人会认为，在抽样时不用随机数表， 而采取随意抽选的办法也可以达到预期的抽样效 果。表面上看，这种想法似乎有一定道理，但实 际试验的结果证明随意抽样不等于随机抽样。以 下是两个有名的试验：
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试验一：随意数试验
让六个人写下100个自己随意想到的三位数， 将这些数内的 0 、 1 、 2 、 … 、 9 数字列成次数分布 表如下：