材料力学 第八章 应力状态分析

x

R=x
R=x/2 o
C
C

o

o

x/2
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第八章 绘制应力圆两例
B B A A
应力状态分析




(A, A)
(0, )
o

o
(B, B)

2(-)
(0, )
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第八章
应力状态分析
§8-4 平面应力状态的极值应力与主应力
一、平面应力状态的极值应力
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第八章
应力状态分析
§8-1 引言
低碳钢和铸铁的拉伸实验 铸 铁 低碳钢
•二者都容易由实验建立强度条件。 •铸铁断口与轴线垂直，低碳钢断口 有何不同，为什么？
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第八章
应力状态分析
低碳钢和铸铁的扭转实验
低碳钢 铸 铁
•容易由实验建立强度条件。 •与拉伸断口有何不同，为什么？ •拉伸与扭转强度条件是否有关联？
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第八章 二、应力圆的绘制及应用
应力状态分析
绘制方法1：
以 （
R (

x y ， 0） 为圆心， 2
y 2
R
o (x+ y)/2
x
2

) x2
为半径作圆
缺点： •需用解析法计算圆心坐标和半径 •没有反映应力圆上的点与微体截面方位的对应关系
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第八章 绘制方法2（实际采用）


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第八章
应力状态分析
50
例 试用解析法与图解法确定主应力的大小和方向 1.解析法(续)
max＝80MPa
min＝ 40MPa
2 0 60 120
3
10
30 3
2 x tan 2 0 3 x y
1
问题：哪一个解是正确的？ 根据对应切应力所指方向可判断 又解：


x y x y
2 x y 2 2
cos2 x sin2
sin2 x cos2
应力转轴公式的适用范围？
上述关系式是建立在静力学基础上，与材料性质无关。 换句话说，它既适用于各向同性与线弹性情况，也适用于 各向异性、非线弹性与非弹性问题。
tan 0
0 60
1 的方向
0 60
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x x 3 x min max y
试比较两个求 0 的公式
第八章 2.图解法 （1）在 坐标系画上
应力状态分析

D
2 0
D 10,51.96 , E 50, 51.96


45
B 0,
1 3 , 2 0
max min
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t ,max
第八章 例：纯剪应力状态下不同的断裂机理：
应力状态分析
圆轴扭转时滑移与剪断发生在max的作用面：
圆轴扭转时断裂发生在max 的作用面：
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第八章
2
Page14
第八章
y
y
应力状态分析
H ,
D
y

x

n
H
x
x
o
y
y
E
C
2 20 x F
H

•绘图：以ED为直径， C为圆心作圆 • 面应力： 考察H点应力
x y x y
2 2
x+y)/2
x-y)/2
x
H OC CH cos(2 0 2 ) OC CDcos2 0cos2 CD sin2 0sin2
应力状态分析
应力状态分类:
单向应力状态：仅一个主应力不为零的应力状态 二向应力状态：两个主应力不为零的应力状态 三向应力状态：三个主应力均不为零的应力状态 复杂应力状态: 二向与三向应力状态
三、纯剪切状态的最大应力
C ,max
45
D

o
A 0,
t,max C
C
c,max D
x
强度条件 y

y y
dx
dy
x
x
y

dz
x
z
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第八章
应力状态分析
y
y x
§8-2
y
dx dy
平面应力状态应力分析
什么是平面应力状态？
x
dz
x
•微体有一对平行表面不受力的应力状态。 由此推断
x
微体仅有四个面作用有应力； 应力作用线均平行于不受力表面； 平面应力状态的应力分析 问题：已知x , y, x , y, 求任 意平行于z轴的斜截面上的应力。
y
y
应力状态分析

D
y

x
n
x
x
o
y
y
E
C
x
F

x+y)/2
x-y)/2
•分析
x
设x面和y面的应力分别为 D( x , x ), E( y , y ), 由于 x y , 故DE中点坐标 C ( x y , 0) 为圆心，DE为直径。
M
max
min
2
x tan2 x y max x y 0 2 x y CF OC CA x min 2 2 2 x x FD max x y 2 tan 0 CK x 2 x min max y BF min
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第八章
应力状态分析
§8-4 平面应力状态的极值应力与主应力
一、平面应力状态的极值应力 K
D( x , x )
R
y
o B
0
C
2 0
x
F D A

max
y
min
x
0
max
x
E( y , y ) ( x y ) 2 ( x y ) 2
Page 3
第八章
螺旋桨轴:
应力状态分析
A
F M
微体A
F


•采用拉伸强度条件、扭转强度条件，还是其它强度条件？
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第八章

应力状态分析
工字梁:
d
C ,max
1
1
a
b
max
1
C
z
a
max
百度文库1
O
max
1
y

1
c
d
t ,max
C ,max
b
c
y
t ,max
M
max
•切应力最大与最小的面， 正应力有什么性质？
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第八章
应力状态分析
二、主应力
2 1
主平面－切应力为零的截面 主平面微体－相邻主平面相互垂直， 构成一正六面形微体
3
主应力－主平面上的正应力 主应力符号与规定－ 1 2 3（按代数值排列）
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第八章

2 x y 2 2 sin2 x cos2
在 平面上， , 的轨迹？ 应力圆
应力转轴公式形式变换 x y x y cos2 x sin2
2
0
x y
2
2
sin2 x cos2
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z
y
y
dz
x
z
第八章
应力状态分析
应力分析的解析法：微体中取分离体平衡。 y
x
y y
n
F
x
n
0

dA x dA cos( ) sin( ) x dA cos( ) cos( ) y dA sin( ) cos( ) y dA sin( ) sin( ) 0
应力状态分析
例 试用解析法与图解法确定主应力的大小和方向
50
解：1.解析法
x 10 MPa
y 50 MPa
10
30 3
x 30 3MPa=51.96MPa
单位：MPa
2 2 max x y x y 80MPa 10 50 10 50 2 30 3 x min 40MPa 2 2 2 2 2
单位：MPa


x y
2
sin2 x cos2
80 30 sin60 60 cos60 =8.35MPa 2
问 可取何值
150 ;
30（x轴向左）
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第八章
应力状态分析
§8-3
一、应力圆
应力圆
应力转轴公式 x y x y cos2 x sin2
H
cos2 x sin2
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同理： H
第八章
应力状态分析
应力圆点与微体截面应力对应关系 点面对应：微体截面上的应力值与应力圆上点的 坐标值一一对应。

y
H( , )
y


C
x

x

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第八章
应力状态分析
二倍角对应：应力圆半径转过的角度是微体截面方位角 变化的两倍，且二者转向相同。
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第八章 例 求图示 ， 已知 x 80 MPa
x 60 MPa
应力状态分析
y 30 MPa
210


30
60 80
解：

x y x y cos2 x sin2 2 2
80 30 80 30 cos60 (-60)sin60 104.46MPa 2 2
DF
2
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第八章
应力状态分析
K
思考： 对于平面应力：

D( x , x )
R
•是否一定存在正应力为 零的面？
•是否一定存在切应力为 零的面？ •正应力最大与最小的面， 切应力有什么性质？
o B
0
C
2 0
x
F D A

E( y , y ) ( x y ) 2 ( x y ) 2
第八章
应力状态分析
第八章
§8-1 §8-2
应力应变状态分析
引言 平面应力状态应力分析
§8-3
§8-4 §8-5 §8-6 §8-7 §8-8 §8-9
应力圆
平面应力状态的极值应力与主应力 复杂应力状态的最大应力 平面应变状态应变分析 各向同性材料的应力、应变关系 复合材料的应力、应变关系 复杂应力状态下的应变能与畸变能

K
D( x , x )
R
y
o B
0
C
2 0
x
F
D

A
max
y
min
x
0
max
x
E( y , y )
max
( x y ) 2 ( x y ) 2
M
min
思考：如何从应力圆确定微体内最大与最小正应力？最 大与最小切应力？微体内最大正应力与切应力方位？
a 点处: 纯剪切；c , d 点处: 单向应力； b 点处:
, 联合作用
复杂应力状态下，如何 建立强度条件 ？
分别满足 ? 做实验的工作量与难度 ?
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第八章
应力状态分析
建立复杂应力状态强度条件的研究思路：
材料物质点应力状况· 应力微体 材料失效机理 •应力状态 通过构件内一点，所作各微截面的 应力状况，称为该点处的应力状态 •应变状态 构件内一点在各个不同方位的应 变状况，称为该点处的应变状态

x
F 0
t
t
y x x
dA
x
dA x dA cos( ) cos( ) x dA cos( ) sin( ) y dA sin( ) sin( ) y dA sin( ) cos( ) 0
x y
2 x y 2
n


x y
2
cos(2 ) x sin(2 )
y
y
t

sin(2 ) x cos(2 )
符号规定：—拉伸为正；—使微体顺时针转者为正 —以x轴为始边，指向沿逆时针转者为正
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第八章
应力状态分析
应力转轴公式（斜截面上的应力公式）
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第八章
应力状态分析
(
x y
2
) (
2 2
x y
2
)2 x 2

—坐标系下的圆方程
x y （ ， 0） 圆心坐标： 2
R o (x+ y)/2

半径：
R (
x
2
y 2
) x2
结论：平面应力状态下各方向的应力轨迹为一个圆 ——应力圆
y

y

n
H ( , )
2 C
D( x , x )


x x
微体互垂截面，对应应力圆同一直径两端 微体平行对边, 对应应力圆同一点
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第八章 几种简单受力状态的应力圆
纯剪切受力状态
y
应力状态分析
单向受力状态
x x
双向等拉