高二数学选修2-1 抛物线及其标准方程

O
.
l
F
x
8
二、标准方程的推导
解法二：以定点 F 为原点，过点 F 垂直于 L的直线为x 轴建 立直角坐标系（如下图所示），则定点F (0,0) ， 的方程 L 为x p
设动点 M ( x, y)，由抛物线定义得
x2 y2 x p
化简得：
y
2
2 px
p ( p 0)
9
2.4.1抛物线及其 标准方程
1
喷泉
2
球在空中运动的 轨迹是抛物线规律, 那么抛物线它有怎样 的几何特征呢? 二 次 函 数 y ax 2 bx c(a 0) 又到底是一条怎样的 抛物线?
3
复习回顾： 我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征：
都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条 定直线的距离的比是常数e的点的轨迹. (其中定点不在定直线上) (1)当0<e<1时,Leabharlann 椭圆; (2) 当e＞1时，是双曲线;
7
二、标准方程的推导
解法一：以 L为 y 轴，过点 F 垂直于L 的直线为 x 轴建 立直角坐标系（如下图所示）,则定点F ( p, o) 设动点 点 M ( x, y) ，由抛物线定义得：
( x p) y x
2 2
y
. M(X,y)
化简得：
y
2
2 px
p ( p 0)
2
p P的意义:抛物 x 2 线的焦点到准
线的距离
y
F
x
y
F
O
l
x
p 方程的特点: y 2 (1)左边是二次 p y 2
y
l
O F
x
p x2=-2py (0， ) (p>0) 2
式, (2)右边是一次 式;决定了焦点 的位置.
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思考：
二次函数 y ax 2 (a 0) 的图像为什么 是抛物线？
在平面内,与一个定点F 和一条定直线l(l不经过点F) 的距离相等的点的轨迹叫抛 物线. 点F叫抛物线的焦点,
H
d
M
·
C
·
F
焦 点
准线
l e=1
直线l 叫抛物线的准线
d 为 M 到 l 的距离
MF 1 ,则点 M 的轨迹是抛物线. 即:若 d 那么如何建立坐标系,使抛物线的方程更简 单,其标准方程形式怎样?
﹒ ﹒ ﹒﹒
y y y y
o
x
o
x
o
o
x
x
方案(1)
方案(2)
方案(3)
方案(4)
11
图 形
l
标准方程
焦点坐标
准线方程
y
O
F
l
O
x
y2=2px (p>0)
y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0)
p ( ,0 ) 2 p ( ,0) 2 p (0， ) 2
四．四种 p 抛物线的 x 2 对比
2 3 2
（2）已知抛物线的焦点坐标是 F（0，－2），求 抛物线的标准方程 x 2 =－8 y 看图 （3）已知抛物线的准线方程为 x = 1 ，求抛物 y 2 =－4 x 线的标准方程 看图 （4）求过点A（3，2）的抛物线的标准方程 2= 4 x或 x2= 9 y 看图 y 2 3 15
课堂练习： 1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
l
l
M M
l
F ·
F
·
e＞1
·
M
· F
0＜e ＜1
e=1
4
那么,当e=1时，它又是什么曲线 ？
提出问题：
L 如图，点 F是定点， 是不经过点 F 的定直线。 是 L上 H 任意一点，过点 F 作MH L，线段FH的垂直平分线m交 MH于点M，拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M 满足的几何条件吗？ L M H
（1）焦点是F（3，0）； 1 （2）准线方程 是x = ； 4 （3）焦点到准线的距离是2。
1 y 2
y2 =12x y2 =x
y2 =4x、 y2 = -4x、x2 =4y 或 x2 = -4y
2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1)y2 = 20x
(1)
(2)x2=
(3)2y2 +5x =0
准线方程
(4)x2 +8y =0
焦点坐标
(2)
(3) (4)
x=-5 （5，0） 1 1 y= - — （0，—） 8 5 8 5 （- —，0） x= — 8 8 （0，-2） y=2
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例2：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波 束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线， 经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径） 为4.8m，深度为0.5m。建立适当的坐标系，求抛物线 的标准方程和焦点坐标。 y
2
二、标准方程的推导 解法三：以过F且垂直于 l 的直 y
M(x,y)
K o F 线为x轴,垂足为K.以F,K的中点 O为坐标原点建立直角坐标系xoy. x 设 M ( x , y ) , FK p , p p 则焦点 F ( , 0) ,准线 l : x 2 2 依题意得
p 2 p 2 ( x ) y | x | 2 2
几何画板观察
F
5
问题探究： 当e=1时，即|MF|=|MH| ，点M的轨迹是什么？
探 究 ？
M
H
·
C
·
F
l e=1
可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有 |MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等. 点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图) 我们把这样的一条曲线叫做抛物线.
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一、抛物线的定义:
1 1 y ax (a 0) x y 2 p a a
2 2
当a>0时与当a<0时，结论都为：
1 1 焦点（0， )准线y=4a 4a
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y y=ax2
y=ax2+c y=ax2+bx+c
o
x
14
例1
（1）已知抛物线的标准方程是 y 2 = 6 x ，求它 的焦点坐标及准线方程 焦点F ( 3 , 0 ) 准线：x =－
2
l
两边平方,整理得
y 2 px( p 0)
这就是所求的轨迹方程.
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三、标准方程
把方程 y2 = 2px (p＞0)叫做抛物线的标准方 程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上. 且 p的几何意义是: 焦点到准线的距离 p p 焦点坐标是 ( , 0) , 准线方程为: x 2 2 想一想: 坐标系的建立还有没有其它方案也 会使抛物线方程的形式简单 ？
A
o
.F
B
x
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解：如上图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直 角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与 原点重合。
设抛物线的标准方程是 y 2 px( p 0) ，由已知条件 可得，点A的坐标是(0.5, 2.4) ，代入方程，得 即 p 5.76