附录1 截面的几何性质概论

一、惯性矩和惯性积的
y
转轴公式
y1
x1
dA y1
x1
x1 x cos y sin
y1
x
sin
y
cos
y
C
E
D
oxB
x
I x1 A y12dA
x1 y1
x cos y x sin
s y
in cos
(x sin y cos)2dA A
I y sin2 Ix cos2 Ixy sin 2
形心位置为 “+” 。
y
10
2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)
120 10
负面积 C2 C1
80
图(b)
C1（0,0） C2（5,5）
x
x
xi Ai
x 1
A1
x 2
A2
A
A1 A2
5(70110) 20.3 1208070110
y
yi Ai
y 1
A1
y 2
A2
A
A1 A2
5(70110) 20.3
A
y 三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。
Ixy xydA
A
如果 x 或 y 是对称轴，则Ixy =0
x d yA
x
例：计算矩形截面对x，y轴的
惯矩 y
Ix y2dA
A
h
2 h
2
by2dy
bh3 12
x
I y x2dA
A
b
2 b
2
hx2dx
b3h 12
Ixy 0
附录 I§1-3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理
附录I 截面的几何性质
附录I§1–1 面积矩与形心位置 附录I§1–2 惯性矩、惯性积、极惯性矩 附录I§1–3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理 附录I§1–4 惯性矩和惯性积的转轴定理*
截面的主惯性轴和主惯性矩
附录 I§1-1 截面的静矩与形心位置
一、截面静矩 (与力矩类似) ： 是面积与它到轴的
sx 65 20 32.5 42250
例1 试确定下图的形心。
10
解 ： 两种方法。
120 10
y
C2
+
C1 80
1.用正面积法求解，图形分割及坐标
C1(0,0) C2(-35,60)
x
如图(a)
x
xi
Ai
x 1
A1x
2
A2
A
A1A2
3510110 20.3 101108010
图(a)
y 6010110 34.7 101108010
距离之积。
y
max
FN max A
;
Tn GI P
;
max
Tn max WP
x
dA
y
x
dSx dAy
dS y dAx
S x dS x ydA
A
A
Sy dSy xdA
A
A
二、形心：(等厚均质板的质心与形心重合。)
质心： y
x mxdm
m 等厚
ydm 均质
y m m
x d
x
A
yy
x
xtdA
1208070110
尽管这两种方法算出的结果不一样，但形心的位置 是唯一的。
附录 I§1-2 惯性矩、惯性积、极惯性矩
一、惯性矩：(与转动惯量类似）
是面积与它到轴的距离的平方之积。
Ix y2dA
y
A
I y x2dA
x dA
二、极惯性矩： A
y
Hale Waihona Puke 是面积对极点的二次矩。x
I 2dAIxI y
I y0
2
Ix
2
Iy
2
I
2 xy
求形心主惯性轴的位置及形心主惯性矩 大小的步骤： 1）找出形心位置； 2）通过形心C建立参考坐标 xoy，求出
Ix、Iy、Ixy 3）求α0、Ix0、Iy0
例：求图示平面图形形心主惯性轴的方位 及形心主惯性矩的大小。
设正交坐标轴x0、y0是主惯性轴，其方位
角为
，则
0
I x0 y0
Ix
Iy 2
sin 20
I xy cos 20
0
tan 20
2Ixy Ix Iy
主惯性矩公式：
I
x0
Ix
Iy
2
I y0
Ix
Iy
2
I x
I y
2
2
I
2
xy
I x
I y
2
2
I
2
xy
或简写成：
I x0 I x I y
A
d
4
2
64
d 4
16
5d 4
64
例：求图示平面图形对x轴的惯性矩 Ix
y
a
x a
d
解：
I x' I xc' e2 A'
e 2d 3
y
xc'
其中
I x'
1 2
d 3
64
A' 1 d 2 e 2d
2 4 3
ae
x'
x
I x'c
I
x'
e2
A'
d 4
128
( 2d )2 d 2 3 8
于该轴且过形心的形心轴的惯矩加上该截面的面积与
两轴之间距离平方的乘积。即：
yC
I x I xC b2 A
I y I yCa2 A
Ix1
I xC
h2 4
A
bh3 12
h2 4
bh
bh3 3
h
C
xc
在所有的平行轴中，过形心轴的惯矩最小。 惯性积和极惯矩的平行轴定理如下：
x1
I xyI xCyCabA
一、平行移轴定理：（与转动惯量的平行移轴定理类似）
y
yC
x
dA
a
bC y
I x I xC b2 A
以形心为原点，建立与原坐标轴平行
的坐标轴如图
xaxC yb yC
xC
I x
y 2dA
A
x
(
A
yC
b)
2
dA
SxC AyC 0
(
A
yC2
2byC
b
2
)dA
I xC2bSxCb2 A
平行移轴定理：截面对任意轴的惯矩等于截面对平行
Ix
2
Iy
Ix
Iy 2
cos 2
I xy sin 2
转轴公式：
I x1
I
y1
Ix Ix
I x1y1
2
Iy
Ix
2
Iy
c os 2
I xy
sin 2
2
Iy
Ix
2
Iy
c os 2
I xy sin
2
Iy
2
Iy
sin
2
I xy
c os 2
Ix1 I y1 Ix I y
二、截面的主惯性轴和主惯性矩
I x1 I xc' (a e)2 A'
d 4 ( 2d )2 d 2 (a 2d )2 d 2
128 3 8
3 8
解：
y 2d
3
xc'
x'
a
x
a
x''
Ix
d (2a)3 12
2I x1
d
d (2a)3 12
d 4
2
128
d2
8
2d
3
2
d 8
2
2d
3
a
2
§6-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 截面的主惯性轴和主惯性矩
注意: C点必须为形心
I IC (ab)2 A
例2 求图示圆对其切线AB的惯性矩。
y
解 ：求解此题有两种方法：
d O
一是按定义直接积分；
x
二是用平行移轴定理等知识求。
A
B
建立形心坐标如图,求图形对形
心轴的惯性矩。
d 4
I 32 I x I y2I x
I
x
I
y
IP 2
d 4
64
I AB
Ix
d
2
A
xtdA A
S
y
tA A A
等于形心坐标
ytdA
A
A
ytdA
S
x
tA A A
累加式:x
y
xi Ai
A (正负面积法公式 yi Ai
A
Sy Ax Ai xi
Sx Ay Ai yi
若截面对于某一轴的静矩等于零，则该轴必通过截面的 形心，反之，也成立。
sx 20 4030 24000