第二节 边缘分布分析

(1,1)
y x2
x
当 y 0 或 y 1时,
fY ( y) f (x, y)dx 0.
得
fY
(
y)
6( 0,
y y),
0 y 1, 其它.
例3
设( X ,Y ) ~
e y , f (x, y)
0,
求 (1) fX (x); (2) P{X Y 1}.
0 x y, 其它.
μ1)2 σ12
2ρ
(x
μ1)( y σ1 σ2
, y ,
其中 μ1, μ2 ,σ1,σ2 , ρ 都是常数,且 σ1 0, σ2 0, 1 ρ 1.
试求二维正态随机变量的边缘概率密度.
解 fX (x) f (x, y)dy,
记
pi• pij P{ X xi }, i 1,2,,
j 1
p• j pij P{Y y j }, j 1,2,,
i 1
分 别 称 pi• (i 1,2,) 和 p• j ( j 1,2,) 为 ( X ,Y )
关 于 X 和 关 于Y 的 边 缘 分 布 律.
X Y
y1 y2
3.2 边缘分布
一、边缘分布函数 二、离散型随机变量的边缘分布律 三、连续型随机变量的边缘分布 四、小结
一、边缘分布函数
定义
设F(x, y) P{X x,Y y}为随机变量(X ,Y )的分布函数, 令 y , F(x, ) P{X x,Y } P{X x}, 称其为随机变量(X ,Y )关于X的边缘分布函数.
ρ
x
μ1 σ1
2
令 t 1 y μ2 ρ x μ1 ,
1 ρ2 σ2
σ1
则有
f X
(x)
1
2 σ1
( x μ1 )2
e 2σ12
t2
e 2 dt
即
fX (x)
1
e ,
(
x μ1 2 σ12
)2
2πσ1
x .
同理可得
fY ( y)
1
e ,
(
y μ2
2σ
2 2
)2
2 σ2
y .
二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布, 并且都不依赖于参数ρ.
当且仅当 ρ 0时, f (x, y) fX (x) fY ( y).
请同学们思考 边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分
布一定是二维正态分布吗?
答 不一定. 举一反例以示证明.
[
f (u, v)dv]du,
记
fX (x) f (x, v)dv f (x, y)dy,
称其为随机变量 ( X , Y ) 关于 X 的边缘概率密度.
同理可得 Y 的边缘分布函数
y
FY ( y) F (, y)
[
f (u, v)du]dv,
fY ( y) f (x, y)dx
记为 FX (x),即FX (x) F (x, ).
同理,
FY ( y) P{Y y} P{X ,Y y} F (, y)
为随机变量 ( X,Y )关于Y 的边缘分布函数.
二、离散型随机变量的边缘分布律
定义 设 二 维 离 散 型 随 机 变 量( X ,Y )的 联 合 分 布
律 为 P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1,2,.
当 x 0 或 x 1时,
fX (x) f (x, y)dy 0.
y
(1,1)
y x
O
y x2
x
因而得
6(x x2 ), 0 x 1,
f
X
(
x)
0,
其它.
当 0 y 1时,
fY ( y) f (x, y)dx
y y x
y
y 6d x 6( y y)
O
6( y y).
yj
x1 x2 xi
p11 p21 pi1
p12 p22 pi 2
p1 j
p2 j pij
P{ X xi } pij , i 1,2,;
j 1
P{Y y j } pij , j 1,2,.
i 1
例1 已知(X, Y)的分布律，求其边缘分布律.
YX 0
1
012
12
42
解 当x 0时,
fX (x)
f (x, y)dy
e ydy ex .
x
y
当 x 0 时,
f X (x) f (x, y)dy 0.
y x
故
ex ,
f
X
(x)
0,
x 0, 其它.
O
x
(2) P{X Y 1}
y 1 yx
f (x, y)dxdy x y1
eydxdy
( x1 )2 2(1 2 )12
1
2 (1
2
)
[(
y
2
2
x1 1
)2
2
(
x
1 12
)2
]
2
2πσ σ 1 1 e e dy 1 2
(
x1 212
)2
1
2(1
2
)
(
y 2 2
x1 1
)2
2
fX (x)
1
2πσ1σ2 1
e
(
x μ1 2σ12
)2
2
e dy
2
1 (1 ρ2
)
y
μ2 σ2
2πσ σ 1 1 e dy 1 2
2
1
(1
2
[ )
(
x
1 12
)2
2
(
x1 )( y 1 2
2
)
(
y
2
2 2
)2
]
2
2πσ σ 1 1 e e dy 1 2
2
( x1 )2 (1 2 )12
1
2 (1
2
)
[
2
(
x
1 )( y2 1 2
)
(
y
2
2 2
)2
]
2
2πσ σ 1 1 e e dy 1 2
G
1
2 dx
1x e ydy
0
x
G y 1 x
•
O 12
x
1
2 [e(1x)
0
eexy]d, x
1
e 1
1
2e 2
.
0 x y,
f (x, y) 0,
其它.
例4 设二维随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度为
1 f (x, y)
2 σ1σ2 1 ρ2
exp
1 2(1 ρ
2
)
(x
Y 的边缘概率密度.
例2 设随机变量 X 和 Y 具有联合概率密度
6, x2 y x,
f (x, y) 0,
其它.
求边缘概率密度 fX (x), fY ( y).
解 当 0 x 1时,
y
(1,1)
f X (x) f (x, y)dy
x
6dy x2
y x
O
y x2
x
6( x x2 ).
42
12
6
142
42
解
YX
0
012
1422
142
pi• P{X xi } 4 7
1 p• j P{Y yj }
12
4
462
7 3
42
7
3
1
7
注意 联合分布
边缘分布
三、连续型随机变量的边缘分布
定义 设连续型随机变量 ( X ,Y )的概率
密度为 f (x, y),由于
x
FX (x) F (x, )