柯西法证明不等式和求最值

归纳总结
• 一般地,恰当地应用柯西不等式,更为快捷地 证明不等式,减少计算量,但应用特别注意柯 西不等式形式和等号成立的条件.
记忆与”1”相关的结论
• 结论1:n个正数的和为1,则它们相等时,其倒数之和 取得最小值.
结论1: 若a1, a2 ,• • •, an R ,且a1 a2 • • • an
(12 12 )[(a 1 )2 (b 1)2 ] (a b 1 1)2
a
b
ab
2[(a 1 )2 (b 1)2 ] (1 1 1)2
a
b
ab
1 1 4 2[(a 1 )2 (b 1 )2 ] (1 4)2
ab
a
b
(a 1 )2 (b 1)2 25
a
1,则 1 1 • • • 1 n2 (相等时,取 )
a1 a2
an
• 结论2:n个正数的和为1,则它们相等时,其平方数和
取得最小值.
结论2 : 若a1, a2,• • •, an R ,且a1 a2 • • •
an
1,则a12
a22
•••
an2
1 n
(相等时, 取
)
4 (当且仅当a b c c时,取 ）
思考: (4)若a1, a2,• • •, an R ,且a1 a2 • •
• an
1,则a12
a22
•••
an2
1 n
成立吗？
(2)(12 12 )[(a 1 )2 (b 1 )2 ]
a
b
[1 (a 1 ) 1 (b 1)]2
a
b
柯西法证明不等式和求最值
利用柯西不等式证明不等式和求最 值
一.应用柯西不等式的基本原则
• 应用柯西不等式的基本原则:一形,二放,三相 等,四定必有最值,即一形:对比柯西不等式 的基本形式,是平方型,而是平方根型;二放: 观察所证明的不等式的方向或最值所要的 方向是否与柯西不等式方向一致,如果不一 致就不能直接用柯西不等式来求解;三相等: 验证取等号成立的条件是否具备;四定必有 最值:指的是在柯西不等式的三个式子中,有 两个为定值,第三式子必取最值
•••
1 an
n2成立吗？
• 引申: 思考 : (3)P41 2若a,b, c, d R , a b c d 1, 求证 : a2 b2 c2 d 2 1 4
证明: (12 12 12 12 )(a2 b2 c2 d 2 ) (1 a 1 b 1 c 1 d )2 (a b c d )2 a2 b2 c2 d2 1
二.典型例题
• 例1.用柯西不等式证明
已知a, b R , 且a b 1, 求证 :
(1) 1 1 4 ab
(2)(a 1 )2 (b 1 )2 25
a
b
2
(3)(a 1 )( 1 ) 25
a
b4
c2 0 ab
•
证明:
(1)(1 1) 1 ( 1 1) (a b)(1 1)
ab
ab
ab
( a 1 b 1 )2 22 4
a
b
(当且仅当a b时,取 ）
思考 : (1)若a, b, c R , a b c 1,则
1 1 1 9成立吗？ abc
思考: (2)若a1, a2,• • •, an R ,且a1 a2 • •
• an
1,则 1 a1
1 a2
b2
(3)(a 1 )(b 1) ( a b 1 )2
ab
ab
(a 1 )(b 1) ( ab 1 )2
ab
ab
又 ab a b 1 ,由函数f (x) x 1
22
x
x (0, 1 ]是减函数， ab 1 f (1 ) 5
2
ab 2 2
(a 1 )(b 1) 25 a b4