2020-2021学年山东省临沂市蒙阴县九年级(上)期中数学试卷 解析版

2020-2021学年山东省临沂市蒙阴县九年级（上）期中数学试卷一．选择题：（下列各小题的四个选项中，有且只有一个是符合题意的，把你认为符合题意的答案代号填入答题表中，每小题3分，共42分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的顶点坐标是（）
A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（1，2）
3．将一元二次方程x（x+4）＝8x+12化为一般形式，正确的是（）A．x2+4x+12＝0B．x2+4x﹣12＝0C．x2﹣4x﹣12＝0D．x2﹣4x+12＝0 4．方程2x2﹣x+1＝0的根的情况是（）
A．有一个实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．有两个相等的实数根
5．如图，P A是⊙O的切线，A为切点，PO的延长线交⊙O于点B，若∠B＝32°，则∠P 的度数为（）
A．24°B．26°C．28°D．32°
6．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝30°，BC＝8，则⊙O半径为（）
A．4B．6C．8D．12
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使点A′恰好落在AB上，则旋转角度为（）
A．30°B．90°C．60°D．150°
8．抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x＝﹣1，则a+b+c＝（）A．6B．8C．9D．0
9．将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）
A．y＝（x﹣4）2﹣6B．y＝（x﹣1）2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣2D．y＝（x﹣4）2﹣2 10．如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE，如果∠DOE＝40°，那么∠A的度数为（）
A．35°B．40°C．60°D．70°
11．已知m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m2﹣n+2019的值是（）A．2023B．2021C．2020D．2019
12．如图，将线段AB先向右平移5个单位，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转90°，得到线段A′B′，则点B的对应点B′的坐标是（）
A．（﹣4，1）B．（﹣1，2）C．（4，﹣1）D．（1，﹣2）13．二次函数y＝﹣x2+（6﹣m）x+8，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小；当x＜﹣2时，y 随x的增大而增大，则m的值为（）
A．10B．8C．6D．4
14．抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，若关于x的一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t ＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（）
A．﹣12＜t≤3B．﹣12＜t＜4C．﹣12＜t≤4D．﹣12＜t＜3
二、填空题：（每小题3分，共15分）请把答案直接填在题中横线上．
15．已知x＝1是方程x2+bx﹣2＝0的一个根，则方程的另一个根是．
16．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC＝30°，则∠CAD＝度．
17．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，﹣3），点B的坐标是（4，b），若点A与点B关于原点O对称，则ab＝．
18．如果点A（﹣1，m）、是抛物线y＝﹣（x﹣1）2+3上的两个点，那么m和n 的大小关系是m n（填“＞”或“＜”或“＝”）．
19．对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的描述，下列命题：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若b＝2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；
③若b2﹣4ac＞0，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3；
④若b＞a+c，则一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
其中结论正确的有（填写所有正确的序号）．
三、解答题（共63分）
20．（10分）用两种不同的方法解方程：x2﹣2x＝4．
21．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两不相等的实数根．
①求m的取值范围．
②设x1，x2是方程的两根且x12+x22+x1x2﹣17＝0，求m的值．
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．
（1）求证：CF是⊙O的切线．
（2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．
23．（10分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．按要求作图：
（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；
（3）设P（a，b）为△ABC边上一点，在△A2B2C2上与点P对应的点是P1，则点P1坐标为．
24．（11分）在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点．（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段BE与BF有怎样的数量关系？并证明你的结论；
（2）如图2，当α＝30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由．
25．（12分）如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x 轴交于C、D两点．点P是抛物线上的一个动点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求C、D两点坐标及△BCD的面积；
（3）若点P在x轴上方的抛物线上，满足S△PCD＝S△BCD，求点P的坐标．
2020-2021学年山东省临沂市蒙阴县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题：（下列各小题的四个选项中，有且只有一个是符合题意的，把你认为符合题意的答案代号填入答题表中，每小题3分，共42分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的顶点坐标是（）
A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（1，2）
【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【解答】解：由y＝﹣（x+1）2﹣2，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣1，﹣2）．
故选：A．
3．将一元二次方程x（x+4）＝8x+12化为一般形式，正确的是（）A．x2+4x+12＝0B．x2+4x﹣12＝0C．x2﹣4x﹣12＝0D．x2﹣4x+12＝0【分析】直接去括号进而移项，得出答案．
【解答】解：x（x+4）＝8x+12，
x2﹣4x﹣12＝0，
故选：C．
4．方程2x2﹣x+1＝0的根的情况是（）
A．有一个实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．有两个相等的实数根
【分析】先求一元二次方程的判别式，由△与0的大小关系来判断方程根的情况．【解答】解：∵a＝2，b＝﹣1，c＝1，
∴△＝b2﹣4ac＝1﹣8＝﹣7＜0，
∴一元二次方程没有实数根．
故选：C．
5．如图，P A是⊙O的切线，A为切点，PO的延长线交⊙O于点B，若∠B＝32°，则∠P 的度数为（）
A．24°B．26°C．28°D．32°
【分析】连接OA，如图，由切线的性质得∠P AO＝90°，根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算出∠AOP＝64°，然后计算出∠P的度数．
【解答】解：连接OA，如图，
∵P A是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，
∴∠P AO＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠OAB，
∵∠B＝32°，∠AOP＝∠B+∠OAB，
∴∠AOP＝64°，
∴∠P＝∠OAP﹣∠AOP＝90°﹣64°＝26°．
故选：B．
6．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝30°，BC＝8，则⊙O半径为（）
A．4B．6C．8D．12
【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再由OB＝OC判断出△OBC 是等边三角形，由此可得出结论．
【解答】解：连接OB，OC，
∵∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝60°．
∵OB＝OC，BC＝8，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝BC＝8．
故选：C．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使点A′恰好落在AB上，则旋转角度为（）
A．30°B．90°C．60°D．150°
【分析】先利用互余得到∠A＝60°，再根据旋转的性质得CA′＝CA，∠ACA′等于旋转角，然后判断△ACA′为等边三角形得到∠ACA′＝60°，从而得到旋转角的度数．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠A＝60°，
∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，
∴CA′＝CA，∠ACA′等于旋转角，
∴△ACA′为等边三角形，
∴∠ACA′＝60°，
即旋转角度为60°．
故选：C．
8．抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x＝﹣1，则a+b+c＝（）A．6B．8C．9D．0
【分析】根据二次函数的对称性求出抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为（1，0），由此求出a+b+c的值．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x＝﹣1，
∴y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为（1，0），
∴a+b+c＝0．
故选：D．
9．将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）
A．y＝（x﹣4）2﹣6B．y＝（x﹣1）2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣2D．y＝（x﹣4）2﹣2【分析】先把y＝x2﹣6x+5配成顶点式，得到抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），再把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【解答】解：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，即抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），
把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2），
所以平移后得到的抛物线解析式为y＝（x﹣4）2﹣2．
故选：D．
10．如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE，如果∠DOE＝40°，那么∠A的度数为（）
A．35°B．40°C．60°D．70°
【分析】根据圆周角定理得出∠BDC＝90°，求出∠ADC＝90°，根据圆周角定理求出∠ACD，再根据三角形内角和定理求出答案即可．
【解答】解：连接CD，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∵∠DOE＝40°，
∴∠ACD＝∠DOE＝20°，
∴∠A＝180°﹣∠ADC﹣∠ACD＝70°，
故选：D．
11．已知m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m2﹣n+2019的值是（）A．2023B．2021C．2020D．2019
【分析】利用一元二次方程解的定义，将x＝m代入已知方程求得m2＝3﹣m；然后根据根与系数的关系知m+n＝﹣1；最后将m2、m+n的值代入所求的代数式求值即可．
【解答】解：∵m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴m2+m﹣3＝0，即m2＝3﹣m；
∵m+n＝﹣1，
∴m2﹣n+2019＝3﹣（m+n）+2019＝3+1+2019＝2023．
故选：A．
12．如图，将线段AB先向右平移5个单位，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转90°，得到线段A′B′，则点B的对应点B′的坐标是（）
A．（﹣4，1）B．（﹣1，2）C．（4，﹣1）D．（1，﹣2）
【分析】在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度；
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
【解答】解：将线段AB先向右平移5个单位，点B（2，1），连接OB，顺时针旋转90°，则B'对应坐标为（1，﹣2），
故选：D．
13．二次函数y＝﹣x2+（6﹣m）x+8，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小；当x＜﹣2时，y 随x的增大而增大，则m的值为（）
A．10B．8C．6D．4
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线开口向下时，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，而在对称轴左侧，y随x的增大而增大，则可得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，然后根据对称轴方程即可求出m的值．
【解答】解：∵当x＞﹣2时，y随x的增大而减小；当x＜﹣2时，y随x的增大而增大，而a＝﹣1＜0，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
∴﹣＝﹣2，
∴m＝10．
故选：A．
14．抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，若关于x的一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t ＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（）
A．﹣12＜t≤3B．﹣12＜t＜4C．﹣12＜t≤4D．﹣12＜t＜3【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，将一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看作y＝﹣x2﹣2x+3与函数y＝t的有交点，再由﹣2＜x＜3的范围确定y的取值范围即可求解．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，
∴b＝﹣2，
∴y＝﹣x2﹣2x+3，
∴一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看作y＝﹣x2﹣2x+3与函数y＝t的有交点，
∵方程在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，
当x＝﹣2时，y＝3；
当x＝3时，y＝﹣12；
函数y＝﹣x2﹣2x+3在x＝﹣1时有最大值4；
∴﹣12＜t≤4．
故选：C．
二、填空题：（每小题3分，共15分）请把答案直接填在题中横线上．
15．已知x＝1是方程x2+bx﹣2＝0的一个根，则方程的另一个根是﹣2．【分析】根据根与系数的关系得出x1x2＝＝﹣2，即可得出另一根的值．
【解答】解：∵x＝1是方程x2+bx﹣2＝0的一个根，
∴x1x2＝＝﹣2，
∴1×x2＝﹣2，
则方程的另一个根是：﹣2，
故答案为﹣2．
16．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC＝30°，则∠CAD＝60度．
【分析】根据圆周角定理可得出两个条件：①∠ACD＝90°；②∠D＝∠B＝30°；在Rt△ACD中，已知了∠D的度数，即可求出∠CAD的度数．
【解答】解：∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°；
∵∠CDA＝∠ABC＝30°，（同弧所对的圆周角相等）
∴∠CAD＝90°﹣∠CDA＝60°．
17．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，﹣3），点B的坐标是（4，b），若点A与点B关于原点O对称，则ab＝﹣12．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点A的坐标为（a，﹣3），点B的坐标是（4，b），点A与点B关于原点O对称，
∴a＝﹣4，b＝3，
则ab＝﹣12．
故答案为：﹣12．
18．如果点A（﹣1，m）、是抛物线y＝﹣（x﹣1）2+3上的两个点，那么m和n 的大小关系是m＜n（填“＞”或“＜”或“＝”）．
【分析】利用二次函数的性质得到当x＜1时，y随x的增大而增大，然后利用自变量的大小关系得到m与n的大小关系．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝1，
而抛物线开口向下，
所以当x＜1时，y随x的增大而增大，
所以m＜n．
故答案为＜．
19．对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的描述，下列命题：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若b＝2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；
③若b2﹣4ac＞0，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3；
④若b＞a+c，则一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
其中结论正确的有①②③（填写所有正确的序号）．
【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系判断．
【解答】解：①∵a+b+c＝0，
∴当x＝1时，y＝0，即抛物线与x轴有交点，
∴b2﹣4ac≥0，①正确；
②b＝2a+3c，
则b2﹣4ac＝（2a+3c）2﹣4ac＝4a2+8ac+4c2+5c2＝4（a+c）2+5c2＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，②正确；
③b2﹣4ac＞0，
二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的公共点的个数是2，与y轴公共点个数是1，当c＝0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数2，
则二次函数y＝ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是3，③正确；
④当抛物线的顶点在第四象限时，a＜0，b＞0，c＜0，
∴b＞a+c，
抛物线与x轴没有交点，
一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实数根，
∴错误；
故答案为：①②③．
三、解答题（共63分）
20．（10分）用两种不同的方法解方程：x2﹣2x＝4．
【分析】方程去括号整理后，利用公式法求出解即可；方程整理后利用配方法求出解即可．
【解答】解法1：∵x2﹣2x﹣4＝0，a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20，
∴x＝＝＝1±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
解法2：配方x2﹣2x+1＝4+1，
∴（x﹣1）2＝5，
∴x﹣1＝，
∴x＝1±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
21．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两不相等的实数根．
①求m的取值范围．
②设x1，x2是方程的两根且x12+x22+x1x2﹣17＝0，求m的值．
【分析】①根据“关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两不相等的实数根”，结合判别式公式，得到关于m的不等式，解之即可，
②根据“x1，x2是方程的两根且x12+x22+x1x2﹣17＝0”，结合根与系数的关系，列出关于
m的一元二次方程，解之，结合（1）的结果，即可得到答案．
【解答】解：①根据题意得：
△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＞0，
解得：m，
②根据题意得：
x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣1，
x12+x22+x1x2﹣17
＝﹣x1x2﹣17
＝（2m+1）2﹣（m2﹣1）﹣17
＝0，
解得：m1＝，m2＝﹣3（不合题意，舍去），
∴m的值为．
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．
（1）求证：CF是⊙O的切线．
（2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝∠ACD＝90°，根据直角三角形的性质得到CF＝EF＝DF，求得∠AEO＝∠FEC＝∠FCE，根据等腰三角形的性质得到∠OCA＝∠OAC，于是得到结论；
（2）根据三角形的内角和得到∠OAE＝∠CDE＝22.5°，根据等腰三角形的性质得到∠CAD＝∠ADC＝45°，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ACD＝90°，
∵点F是ED的中点，
∴CF＝EF＝DF，
∴∠AEO＝∠FEC＝∠FCE，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵OD⊥AB，
∴∠OAC+∠AEO＝90°，
∴∠OCA+∠FCE＝90°，即OC⊥FC，
∴CF与⊙O相切；
（2）解：连接AD，∵OD⊥AB，AC⊥BD，
∴∠AOE＝∠ACD＝90°，
∵∠AEO＝∠DEC，
∴∠OAE＝∠CDE＝22.5°，
∵AO＝BO，
∴AD＝BD，
∴∠ADO＝∠BDO＝22.5°，
∴∠ADB＝45°，
∴∠CAD＝∠ADC＝45°，
∴AC＝CD．
23．（10分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．按要求作图：
（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；
（3）设P（a，b）为△ABC边上一点，在△A2B2C2上与点P对应的点是P1，则点P1坐标为（b，﹣a）．
【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2；
（3）利用A与A2、B与B2、C与C2的坐标特征确定对应点的坐标变换规律，从而写出点P1坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）点P1坐标为（b，﹣a）．
故答案为（b，﹣a）．
24．（11分）在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点．（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段BE与BF有怎样的数量关系？并证明你的结论；
（2）如图2，当α＝30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由．
【分析】（1）由AB＝BC得到∠A＝∠C，再根据旋转的性质得AB＝BC＝BC1，∠A＝∠C＝∠C1，∠ABE＝∠C1BF，则可证明△ABE≌△C1BF，于是得到BE＝BF；
（2）根据等腰三角形的性质得∠A＝∠C＝30°，利用旋转的性质得∠A1＝∠C1＝30°，∠ABA1＝∠CBC1＝30°，则利用平行线的判定方法得到A1C1∥AB，AC∥BC1，于是可判断四边形BC1DA是平行四边形，然后加上AB＝BC1可判断四边形BC1DA是菱形．【解答】解：（1）BE＝BF．理由如下：
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
∵△ABC绕点B顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得△A1BC1，
∴AB＝BC＝BC1，∠A＝∠C＝∠C1，∠ABE＝∠C1BF，
在△ABE和△C1BF中
，
∴△ABE≌△C1BF，
∴BE＝BF
（2）四边形BC1DA是菱形．理由如下：
∵AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝30°，
∴∠A1＝∠C1＝30°，
∵∠ABA1＝∠CBC1＝30°，
∴∠ABA1＝∠A1，∠CBC1＝∠C，
∴A1C1∥AB，AC∥BC1，
∴四边形BC1DA是平行四边形．
又∵AB＝BC1，
∴四边形BC1DA是菱形．
25．（12分）如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x 轴交于C、D两点．点P是抛物线上的一个动点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求C、D两点坐标及△BCD的面积；
（3）若点P在x轴上方的抛物线上，满足S△PCD＝S△BCD，求点P的坐标．
【分析】（1）设抛物线顶点式解析式y＝a（x﹣1）2+4，然后把点B的坐标代入求出a 的值，即可得解；
（2）令y＝0，解方程得出点C，D坐标，再用三角形面积公式即可得出结论；
（3）先根据面积关系求出点P的坐标，求出点P的纵坐标，代入抛物线解析式即可求出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为A（1，4），
∴设抛物线的解析式y＝a（x﹣1）2+4，
把点B（0，3）代入得，a+4＝3，
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4；
令y＝0，则0＝﹣（x﹣1）2+4，
∴x＝﹣1或x＝3，
∴C（﹣1，0），D（3，0）；
∴CD＝4，
∴S△BCD＝CD×|y B|＝×4×3＝6；
（3）由（2）知，S△BCD＝CD×|y B|＝×4×3＝6；CD＝4，
∵S△PCD＝S△BCD，
∴S△PCD＝CD×|y P|＝×4×|y P|＝3，
∴|y P|＝，
∵点P在x轴上方的抛物线上，
∴y P＞0，
∴y P＝，
∵抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4；
∴＝﹣（x﹣1）2+4，
∴x＝1±，
∴P（1+，），或P（1﹣，）．。