分式函数

分式函数

在我们的学习中常见到复杂的分式结构的函数式，通常采取“分离”的方法转化成两种主要类型：（1）一次分式型()()ax b f x ad cb cx d +=

≠+；

（2）倒数结构型()b

f x ax x

=+。下面画出两种类型函数的示意图，以便从中看出函数的性质。

一、一次分式型()()ax b

f x ad cb cx d +=

≠+ 图象是以直线,d a x y c c =-=（恰为系数之比）为渐近线的双曲线，对称中心(,)d a

c c

-，通

常用代点法确定两支双曲线的位置。例如：21

35

x y x -=+的图象如图所示：

二、倒数结构型()b

f x ax x

=+

（1）0a >且0b <时，示意图如下：

此时()f x 为奇函数，分段递增，

当0(0)x x ><或时，y R ∈

（2）0,0a b >>时，示意图如下：

可看成以直线y ax =与y 轴为渐近线的双曲线，

两个顶点A 、B 可由不等式中的均值定理确定， 此时()f x 的单调性、奇偶性、定义域与值域、 对称性可从图中看出结论。

注意：当0,0a b <>时或0,0a b <<时，可转化为上述两种。

y O

23 23y = 53-

1

5

- x y

b a

--

b a

-

O x

y ax = b

a

O x

y B 2ab

三、例题精选

（一）选择题

1.已知函数()1

a x f x x a -=--，1

()f x -的图象的对称中心为M (,3)m ，则a 等于（ ）

A.2

B.3

C.2-

D.4-

解：由一次分式性质知()f x 对称中心为(1,1)a +-，∴1

()f x -的对称中心为(1,1)a -+，与

M (,3)m 对比知2a =

2.若函数2

p p

y x x =-+在(1,)+∞上单调递增，则实数p 的取值范围是（ ） A.(,1]-∞- B.[1,)-+∞ C.(,1]-∞ D.[1,)+∞

解：若0p ≥，则p

y x x

=-在(0,)+∞上递增，符合题意，排除A 、C 、D （当0p <时，

p

y x x

-=+在(,)p -+∞上递增，只须1p -≤） 3.已知,x y 都在(2,2)-内，且1xy =-，则函数22

49

49u x y =+--的最小值是（ ） A.85 B.2411 C.127 D.125

解：易得1y x =-且11(2,)(,2)22x ∈--，∴2

1(,4)4

x ∈

422242

22499724351211449937453729437(9)x x u x y x x x x

-+=+===++=---+-⨯-+≥ （注意到21(,4)4x ∈，2

249[12,37)x x

+∈）

（二）填空题

4.函数1()f x x x =+，若1[,3]2x ∈，则y ∈___________；若12

[,]33x ∈，则y ∈________. 解：作出1y x x =+的图象，易得答案为101310

[2,],[,]363.

5.43

()5

x f x x +-=-的值域是____________.

解：243()(4)943

x f x x x +-==

+-++ （54x x ≠-且≥）

易得43[3,6)(6,)x ++∈+∞，

∴1

11()(0,)

(,]663

f x ∈ 6.若数列{}n a 的通项公式为2004

2005

n n a n -=

-，

则数列的最大项为第_____项，最小项是第____项.

y

1

O 44 x

2005

45

解：作出()f x =22

44200545<<，知44a 最小，45a 最大.

7.若方程sin sin 294380x x

a a a ⋅+⋅+-=有解，则a 的取值范围是__________.

解：令sin 3x t =，则1[,3]3

t ∈，方程可转化为：2

2480at at a ++-=……①

（方法一）记2

()248f t at at a =++-，则原问题转化为()0f x =在1[,3]3

内有解（一解

或两解），留意到()f t 的对称轴11[,3]3t =-∉，∴()0f t =在1

[,3]3

内不可能有两根，

∴()0f t =在1[,3]3有一根只须1

()(3)03

f f ⋅≤，

即24(8)(18128)093a a a a a a ++-⋅++-≤

∴23(8)(318)09a a -⋅-≤，∴8723123

a ≤≤

（方法二）①化为2288

2412(1)1

a t t t ==+++-

∵1[,3]3t ∈，∴2

232(1)1[,31]9t +-∈，∴872[,]3123

a ∈

（三）解答题 8.

判断函数()f x =

在区间33

[,]22

-上是否存在最值？若存在，求出最大

（小）值；若不存在，请说明理由.

解：当3(0,]2

x ∈

时，()f x =

()f x 是增函数 又()f x 显然为奇函数，(0)0f =且()f x 在0x =处连续，

∴()f x 在33

[,]22

-上是增函数，

∴max 33()()257f x f ==+

，min 33()()257

f x f =-=--

注意：本题可用单调性定义或导数法去求解，但计算量很大，容易出错.

9.已知,*x y R ∈，21x y +=，求

11

x y +的最小值. 解：（方法一）：21x y +=，得12

x

y -=，(0,1)x ∈，

∴22

111211

1(11)11

x x x y x x x x x x +++=+==---+-++-

1

32

3[(1)]1

x x =

=+-++

+（当且仅当2

11

x x +=

+

即1x =-时，取“=”）