(优选)时指数型对数型函数模型的应用举例

解：(1)把x=5,y=0.5683,x=5.5,y=0.536 6
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代入函数关系式y=cekx ，得：
0.568 3 ce5k
0.536
6
ce5.5k
k c
0.115 1.01
y 1.01e0.115x (105 Pa)
把 x=6.712代入上述函数关系式，得 y 1.01e0.1156.712 ≈0.466 8 (105Pa)
r7 0.027 6 r8 0.022 2 r9 0.018 4
于是, 1951～1959年期间,我国人口的年均增长率为
r (r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 r8 r9 ) 9 0.022 1
令 y0 55 196, 则我国在1950～1959年期间的人
增长模型为 y 55口196e0.022 1t , t N.
分析：(1)根据上表的数据描点画出图象（如下）
O
(2)观察这个图象，发现各点的连线是一条向上弯曲的曲线， 根据这些点的分布情况，我们可以考虑用函数y=a•bx来近似 反映.
例1.按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利 率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x 变化的函数式.如果存入本金1 000元，每期利率2.25%， 试计算5期后的本利和是多少？ 思路分析：复利是计算利率的一个方法，即把前一期 的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息， 设本金为a，每期利率为r，本利和为y ,存期为x, 则复 利函数式为y=a(1+r)x.
利国利民。
所以,如果按上表的增长趋势,那么大约在1950年后的第39年
(即1989年)我国的人口就已达到13亿.由此可以看到,如果不
实行计划生育,而是让人口自然增长,今天我国将面临难以承受
的人口压力.
科学研究表明：在海拔x(km)处的大气压强是y(105Pa)， y与x之间的函数关系式是y=cekx （c,k为常量）在海拔 5 (km)处的大气压强为0.568 3 (105Pa) ，在海拔 5.5 (km)处的大气压强为0.536 6 (105Pa)， （1）问海拔6.712 (km)处的大气压强约为多少？ （精确到0.000 1) （2）海拔为h米处的大气压强为0.506 6(105Pa)， 求该处的海拔h.
答：6.712(km)高空的大气压强为0.4668(105Pa).
(2)由1.01·e-0.115x=0.506 6
0.115x ln 0.506 6 1.01
解得x≈6(km)
答:该处的海拔约为6 km.
例3 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表
身高 (cm) 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
解：1期后本利和为： y1 a a r a(1 r)
2期后本利和为：y2 a(1 r)2
……
x期后，本利和为：yx a(1 r)x
将a=1 000元，r=2.25%，x=5代入上式：
y5 1 000(1 2.25%)5 1 0001.02255
由计算器算得：y≈1 117.68（元）
根据表格中的数据作出散点图,并作出函数的图象.
验证其准 确性
由图可以看出,所得模型 y 55 196e0.022 1t , t N
与1950～1959年的实际人口数据基本吻合.
（2）将y=130 000代入 y 55 196e0.022 1t , t N.
由计算器可得 t 38.76.
计划生育，
（2）如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿?
解:（1）设1951～1959年的人口增长率分别为
r1, r2 , r3, r4 , r5, r6, r7 , r8, r9.
由 55 196(1 r1) 56 300
可得1951的人口增长率为r1 0.020 0 同理可得，r2 0.0210 r3 0.022 9 r4 0.025 0 r5 0.019 7 r6 0.022 3
下表是1950～1959年我国的人口数据资料：
年份
1950
1951
1952
1953
1954
1955
1956
1957
1958
1959
人数／ 万人 55 196 56 300 57 482 58 796 60 266 61 456 62 828 64 563 65 994 67 207
（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率 （精确到0.000 1），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的 具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；
例2. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人 口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据. 早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus, 1766-1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：
y y0ert
其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数， r表示人口的年平均增长率.
体重 (kg) 6.13 7.90 9.99 12.1515.02 17.50 20.92 26.86 31.1138.85 47.25 55.05
⑴根据上表中各组对应的数据，能否建立恰当的函数模型， 使它能比较近似地反映这个地区未成年男性身高y kg与身 高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式． ⑵若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖， 低于0.8倍为偏瘦，那么这一地区一名身高175 cm，体重 为78 kg的在校男生的体重是否正常？
（优选）时指数型对数型函数模 型的应用举例
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想一想： 函数模型应用的两个方面 (1)利用已知函数模型解决问题； (2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释 有关现象，对某些发展趋势进行预测．
指数函数、对数函数的应用是高考的一个重点内容，常与 增长率相结合进行考查．在实际问题中，有关人口增长、银行 利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型表示，通常可 以表示为y＝N·(1＋p)x(其中N为原来的基础数，p为增长率，x 为时间)的形式．另外，指数方程常利用对数进行计算，指数、 对数在很多问题中可转化应用．