调和函数及其在物理学中的应用

调和函数及其在物理学中的一些应用

设)(z f 是个解析函数，iy x z +=，令)(Im ),(),(Re ),(z f y x v z f y x u ==，

则称),(y x u 和),(y x v 是互为共轭函数.

由于u 和v 的偏导数满足柯西—黎曼方程

y v x u ∂∂=∂∂， x

v y u ∂∂-=∂∂， 若u 和v 的二阶导数都存在，且关于x 和y 的二阶混合偏导数是可交换的，对柯西—黎曼方程求导数，即得

22222y u x u y x v ∂∂-=∂∂=∂∂∂， 22222y

v x v y x u ∂∂-=∂∂-=∂∂∂ 因此，u 和v 都满足二维的拉普拉斯(Laplace)方程.

022222

≡∂∂+∂∂≡∇y x ϕϕϕ. 我们称满足拉普拉斯方程的函数为调和函数. 以后，我们会知道，解析函数)(z f 的实部),(y x u 和虚部),(y x v 都是调和函数. 这里我们自然要问：给定调和函数),(y x u 或 ),(y x v ，我们能否找到一个解析函数)(z f ，使得所给的),(y x u 或 ),(y x v 恰是)(z f 的实部或虚部？答案是可能的. 若给定的函数),(y x u 或 ),(y x v 是满足拉普拉斯方程的初等函数的一个简单组合，则这样的解析函数)(z f 实存在的. 这时用下述米尔—汤姆松(Milne-Tomson)方法找是非常方便的.

由于

)(21

z z x +=，)(21z z i

y -=，

)2,2()2,2()(i

z z z z iv i z z z z u z f -++-+=， 我们可将这等式看成是两个独立变量z 和z 的形式恒等式，置z z =，有

)(z f =)0,()0,(z iv z u +.

根据柯西—黎曼方程，y x x x iu u iv u z f -=+=)('，因此，若将x u 和y u 分别记为()y x ,1ϕ和()y x ,2ϕ，则我们有

=)('z f ()y x ,1ϕ+()y x ,2ϕ)0,()0,(21z i z ϕϕ-=.

将上式积分之，我们有

c dz z i z z f +-=⎰)}0,()0,({)(21ϕϕ， （1—36） 其中c 是个任意常数.

类似地，若),(y x u 是给定的，令y v y x =),(1ψ，x v y x =),(2ψ，我们能

证明：

c dz z i z z f ++=⎰)}0,()0,({)(21ψψ, （1—37）

其中c 是个任意常数.

例如，设)sin cos (),(y y y x e y x u x -=,则

)cos sin cos (1y y y x x e x u x +-=∂∂=ϕ，()y y y y x e y

u x cos sin sin 2---=∂∂=ϕ. 因此

=)('z f ()1)0,()0,(21+=-z e z i z z ϕϕ，

故

c ze c dz z e z f z z ++++=⎰)1()(.

下面我们将讨论可用调和函数描述的一些物理现象.

一、定状态的热传导方程问题

我们知道，热通过物体的传导是能量被转移. 在物体内每一点处热能流动的时间比率能用向量来表示. 在一般情况下，这个向量的长度和方向不随点的位置而变化，而且还随时间而改变. 我们仅限于讨论稳定状态问题，即着热流响亮与时间无关. 这样，在物体内的热传导强度就由时间坐标的向量函数给出. 这样的函数通称为向量场.

在现在情况下，这个向量场成为热流密度场，记为Q.

由于它与复变理论有紧密地联系，我们这里只讨论二维热流问题，这就是说，这向量场中的向量都平行于某一个平面∏，并且在垂直于∏的任何一条直线上所有的点处，这个场中的向量（就大小与方向来说）都是相等的. 显然，在所有的平行于∏的平面内，这个向量场的情形都完全相同，因此，这个向量场可以由位于平面∏内的向量所构成的一个平面向量场来完全表示出来. 说到平面内的一条曲线，是意味着一个柱面，而一个区域是意味着一个柱体. 我们把平面∏看成复平面.

现在我们来讨论二维未定热流问题，其边界去面如图1.5所示. 这平板的上下界面被假定是完全绝缘的，没有热量被这绝缘表面所吸收或散发，这平板侧面界面的某部分曲面余热原湘莲（它发出热能），区域的曲面是绝缘的. 热能不可能流进人和绝缘的曲面. 这样，热能密度向量奖杯假定是与任何绝缘边界向切的. 由于假定热源和热沟的性质与坐标轴ξ是无关的，ξ垂直于xy平面，所以，平板内的向量场Q仅依赖于变量x和y. 平板上、下街面的绝缘性保证Q只有沿x轴

和y 轴的分量，就是说，Q 有分量),(y x Q x 和),(y x Q y . 于是Q 便可表示成下述复热流密度形式：

==),(y x q q ),(y x Q x i +),(y x Q y . （1—38）

其中，),(y x Q x 和),(y x Q y 也都是复数iy x z += 的函数. 由此可见，二维热能稳定热传导问题只与复数iy x z +=有关.

由于通过任何曲线的热能量f 是单位时间内通过该曲线的热能的流量，则通过微分弧长ds 的微分热流量df 为

ds Q df n =， （1—39）

其中，n Q 是Q 在ds 的外法线方向上的分量；积分

ds Q f C n ⎰= （1—40）

表示向量场Q 经过曲线C 的热流量，其中ds 是曲线C 的弧长的微分. 如果用dx 和dy 表示沿曲线C 的微分，则idy dx ds S dz +==0，其中0S 表示切于曲线C 的单位向量. 若用0n 表示垂直于曲线C 的单位向量，则

idx dy ds iS ds n -=-=00，于是，dx y x Q dy y x Q ds Q y x n ),(),(-=，所以，

（1—40）是可以写成

dx y x Q dy y x Q f y C

x ),(),(-=⎰. （1—41） 热流量的面密度，记经过曲线C 的热流量对这闭曲线所围面积A 的比值，当区域A 收缩成点z 时所取的极限值，称为向量场在点z 的散度：

ds Q A

divQ C n z C ⎰→=1lim . （1—42） 但是，根据格林(Green)定理，有

dxdy y

Q x Q ds Q y A x C n )(∂∂+∂∂=⎰⎰⎰. （1—43） 显然