基于分形的结构损伤识别方法研究
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分形这个名词是 M andelbrot在 20世纪 70年代 为了表征复杂图形和复杂过程首先将拉丁文 Fractus 转化后引入自然科学领域的 ,它的原意是不规则的 、 支离破碎的物体 。在分形这个名词使用之前的一个 世纪 ,一些数学家就研究过不少奇异的 、不光滑的几 何曲线 。 1872 年 , W eier2strass提 出了 一种 处处 连 续 、处 处 不 可 微 的 W eierstrass 型 函 数 。 1883 年 , Cantor提 出 了 Cantor 集 。 1904 年 , Koch 提 出 了
收稿日期 : 2007205208 作者简介 :冉志红 (1978 - ) ,男 ,四川南充人 ,博士 ,研究方向为既有 桥梁的损伤评估 。 E - ma il: zhihong_ran@163. com
Koch曲线 。 结构损伤识别的过程是一个强非线性的过程 ,
对于复杂的结构系统 ,更是很难找出一一对应的线 性关系 。混沌理论是研究自然界非线性过程的内在 随机性 ,而分形理论则揭示了非线性系统的有序与 无序的统一 ,确定性与随机性的统一 。作为非线性 科学重要组成部分的混沌与分形理论 ,两者密切联 系 。混沌事件是在不同的时间标度下表现出的无规 律自相似变化模式 ,而分形是在空间标度下表现出 来的自相似性 。无论是混沌还是分形 ,从它们自相 似的结构来看 ,都不是随机无序的 ,而是在一定程度 上的有序 。
2∪2～3。还有许多自然的噪声曲线本身很粗糙 ,其
β= 1,被称作 1 / f噪声 。下面 ,来推导式 ( 3 )并得出
β与全域标度指数 H的关系 。
先将时间 t变换为 t′= bt,根据自仿射性 , < | x
( t′) | > = bH < | x ( t) | > ,即时间扩大 b倍后 ,位移
A. Carp interi[ 1 ]用分形几何的理论来测量破损 材料的微裂纹 ,用以度量其无序程度 。Vadim V. Sil2 berschm idt[ 2 ]用多重分性的理论研究结构疲劳裂纹 , 并指出随着荷载循环次数的增加 ,多重分形谱的分 布区间减小的规律 。 Pengwan Chen[ 3 ]研究了低速冲 击下结构破坏的分形特性 。我国也有许多学者研究 了结构不同的损伤部位和损伤程度下 ,其动力响应 曲线的分维数均有明显的不同 ,据此可以识别结构 的损伤位置及大小 [ 426 ] 。
本文选用小波包分解来对时程信号进行分频 段 。小波包 (wavelet packet)概念是由 M. V. W icker2 hauser, R. R. Coifman等人在小波变换的基础上进一
© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
第
34卷 第 2008年 12
6期 月
四川建筑科学研究 Sichuan Building Science
基于分形的结构损伤识别方法研究
63
冉志红 ,李 乔
(西南交通大学土木工程学院 ,四川 成都 610031)
摘 要 :分形在结构损伤识别中的应用还处于理论研究阶段 ,还有许多基本问题亟待解决 。主要有两个值得深入探讨的问 题 :如何从理论上证明分形应用于结构损伤识别的合理性 、敏感性和噪声鲁棒性 ;如何在理论分析的基础上研究可行的 、有效 的大型结构损伤预警参数 。总结了目前分形在结构损伤识别中的研究现状 ,分析了结构动力分频段分形动力特征 ,提出了广 义维数保证准则 。最后 ,展望了分形在结构损伤识别中的应用前景 。 关键词 :结构 ;损伤识别 ;分形 中图分类号 : TU312. 3 文献标识码 : A 文章编号 : 1008 - 1933 (2008) 06 - 063 - 05
图 2 下弦节点 8位移时程的功率谱分析 F ig. 2 The PSD result of 8# nodeπs tim e h istory
从图 2可以看出 ,功率谱对数曲线可以按频段 分成 3个区域 :低频段 ;中频段 ;高频噪声段 。低频 断没有任何分形的自相似特性 ,高频噪声段的斜率 可以近似为 0,只有中频段具有近似的线性关系 ,可 以看作分形频段 。本文就是据此将结构振动的时程 曲线分频段处理 ,去掉低频段 (可以用一般的谱分 析确定其自振频率和振型 、阻尼等结构特征参数 ) 和高频噪声段 (有利于去除噪声影响 ) ,这就是结构 的分频段动力特征 。由于结构的时程数据是分频段 的动力特性 ,不是全频段的 ,应该将时程数据按不同 频段进行处理 。有些文献不加区别地直接将时程数 据进行分维数计算 ,这是没有理论依据的 。 1. 3 动力时程数据的分频段方法
图 3 小波包分频段示意 F ig. 3 The frequency band sketch of wavelet packets
对于同一种小波基函数 ,小波包分解可以看成
是小波分解的全空间形式 。对于实际的分频段来
说 ,显然小波包分解更便于计算 。基于这个考虑 ,本
文选用小波包分解的同一层各分量作为分频段的依
0 引 言
1913年 , Perrin对变换无穷的布朗运动轨迹进 行了深入研究 ,明确指出布朗运动不具有导数 。自 然界的许多事物 ,如连绵起伏的山峦轮廓线 、四通八 达的江海河川 、蜿蜒曲折的海岸线等 ,也具有不光滑 性和不规则性 。1915年 , Hausdorff引入 Hausdorff维 数的概念 ,这类统计自相似性图形和曲线的 Haus2 dorff维数一般都不是整数 ,而是一个分数值 ,这就 是分形的雏形 。
来在时域内以时间 t为变量的函数 x ( t)变换成以频
率 f为变量的函数 X ( f, T) :
∫ X ( f, T) = T x ( t) e- 2πi ft d t
(1)
0
这里的 T是在 x ( t)内延伸的区间 。由于振幅
的平方正比于功率 ,定义单位时间内的功率谱密度
S ( f) ( Power Spectral Density)为
判断一个曲线是否具有分形特征 ,除了上述计
算分形曲线的功率谱判断外 ,还可以用 R /S 分析 [ 8 ]
来进行判断 ,限于篇幅 ,不再赘述 。本文以一桁架结
图 1 桁架结构简图 F ig. 1 The sketch of truss structure
本文用 ANSYS模拟计算结构的动力时程曲线 , 采用单点激励的方法在节点上施加一个脉冲的力荷 载 ,阻尼比取为 0101。计算得到下弦中间节点 8的 位移响应时程曲线后 ,对其进行功率谱分析 (图 2) 。
Structure damage iden tif ica tion research ba sed on fracta l techn ique
RAN Zhihong, L I Q iao
( School of Civil Engineering, Southwest J iaotong University, Chengdu 610031, China) Abstract: The app lication of fractal technique to structure damage identification was in theory research phase, and some essence p roblem s desiderate to solve. Two worth the whistle p roblem s: how to p rove the rationality and sensitiveness and stabilization of the app lication of fractal technique to structure damage identification; how to ascertain the feasible and effective alarm parameter of a large2 scale structure. A review of structure damage identification based on fractal technique was summarized. Frequency band fractal dynam ic characteristic of structural dynam ic is researched. General dimension guarantee criterion ( GDAC) was discussed. Key words: structure; damage identification; fractal technique
目前 ,人们对结构的分形特性的认识还不是很
© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
64
四川建筑科学研究
第 34卷
深入 ,对分形维数与损伤机理之间的关系还有待进 一步研究 。鉴于此 ,本文从结构动力分形特性研究 出发 ,介绍了多重分形和广义维数 ,并在此基础上提 出了广义维数保证准则 。用一个桁架结构 ,验证了 广义维数保证准则指标对结构损伤指示的敏感性 。 最后 ,提出了基于分行的结构损伤识别方法存在的 问题和解决策略 ,展望了分形在损伤识别中的应用 前景 。
S ( f) = X ( f, T) 2 / T
(2)
在 x ( t)属于分形的条件下 ,可以得到 S ( f)的下
列幂函数 :
S ( f)∝ f-β
(3)
它表示 f 越大 ,功率谱密度越小 。β为一固定
常数 ,它与全域标度指数 H具有对应关系 。
研究表明 ,可以用 β对信号进行分类 。白噪声
的 β= 0;布朗运动的 β = 2;分数布朗运动的 β = 1～
绝对值的平均值扩大 bH 倍 。相应地 , X ( f, T)变为
B ( f, T) =B ( f / b, bT) / bH + 1
(4)
由此得到
S ( f) = B ( f / b, bT) 2 / ( Tb2 (H + 1) )
= B ( f / b, bT) 2 / ( bTb2H + 1 )
= S ( f / b) b2H + 1
(5)
即频率标度缩小 b倍后 ,功率谱密度扩大 b2H + 1
倍 ,因此有 β= 2H + 1。这说明功率谱密度具有自仿
射性 ,也说明功率谱密度是频率的幂函数 。对于一
般工程问题有 [ 7 ] : H ∈[ - 3, 3 ]。
1. 2 结构分频段分形动力特征
据 。按照图 3 - 16的频段规律 ,可以计算第 k层第 m 个节点的频段为
F ∈
mf 2k + 1
(m + 1) f 2k + 1
m
= 0, 1, …, 2k
-
1
(6)
对于本文问题Baidu Nhomakorabea该选择正交性较好的小波基函
数 ,并 且要 求正 则性较 好 , 选 择 Daubechies小 波 。 Daubechies小波是根据消失矩来分类的 ,尺度函数
构为例进行分形特征的研究 ,桁架结构的基本参数 如下 。
结构简图如图 1所示 ,其中 H = 5 m , L = 2 m ,各 个杆件的截面尺寸均为 0101 m ×0101 m ,材料均为 Q235。
1 结构分频段分形动力特征
1. 1 分形的功率谱分析
对自仿射分形序列 x ( t)进行傅立叶变换 ,把原
2008 No16
冉志红 ,等 :基于分形的结构损伤识别方法研究
65
步提出来的 ,并且从数学上作了比较严密的推导 。 从工程技术上看 ,小波包可以看成是函数空间逐级 正交剖分的扩展 。假设原始信号的总频段是 0～f /2 ( f为采样频率 ) ,则小波包分解后的各个层数的信 号所占有的频段如图 3 所示 ( h0 为低频段信号 ; h1 为高频段信号 ) 。
收稿日期 : 2007205208 作者简介 :冉志红 (1978 - ) ,男 ,四川南充人 ,博士 ,研究方向为既有 桥梁的损伤评估 。 E - ma il: zhihong_ran@163. com
Koch曲线 。 结构损伤识别的过程是一个强非线性的过程 ,
对于复杂的结构系统 ,更是很难找出一一对应的线 性关系 。混沌理论是研究自然界非线性过程的内在 随机性 ,而分形理论则揭示了非线性系统的有序与 无序的统一 ,确定性与随机性的统一 。作为非线性 科学重要组成部分的混沌与分形理论 ,两者密切联 系 。混沌事件是在不同的时间标度下表现出的无规 律自相似变化模式 ,而分形是在空间标度下表现出 来的自相似性 。无论是混沌还是分形 ,从它们自相 似的结构来看 ,都不是随机无序的 ,而是在一定程度 上的有序 。
2∪2～3。还有许多自然的噪声曲线本身很粗糙 ,其
β= 1,被称作 1 / f噪声 。下面 ,来推导式 ( 3 )并得出
β与全域标度指数 H的关系 。
先将时间 t变换为 t′= bt,根据自仿射性 , < | x
( t′) | > = bH < | x ( t) | > ,即时间扩大 b倍后 ,位移
A. Carp interi[ 1 ]用分形几何的理论来测量破损 材料的微裂纹 ,用以度量其无序程度 。Vadim V. Sil2 berschm idt[ 2 ]用多重分性的理论研究结构疲劳裂纹 , 并指出随着荷载循环次数的增加 ,多重分形谱的分 布区间减小的规律 。 Pengwan Chen[ 3 ]研究了低速冲 击下结构破坏的分形特性 。我国也有许多学者研究 了结构不同的损伤部位和损伤程度下 ,其动力响应 曲线的分维数均有明显的不同 ,据此可以识别结构 的损伤位置及大小 [ 426 ] 。
本文选用小波包分解来对时程信号进行分频 段 。小波包 (wavelet packet)概念是由 M. V. W icker2 hauser, R. R. Coifman等人在小波变换的基础上进一
© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
第
34卷 第 2008年 12
6期 月
四川建筑科学研究 Sichuan Building Science
基于分形的结构损伤识别方法研究
63
冉志红 ,李 乔
(西南交通大学土木工程学院 ,四川 成都 610031)
摘 要 :分形在结构损伤识别中的应用还处于理论研究阶段 ,还有许多基本问题亟待解决 。主要有两个值得深入探讨的问 题 :如何从理论上证明分形应用于结构损伤识别的合理性 、敏感性和噪声鲁棒性 ;如何在理论分析的基础上研究可行的 、有效 的大型结构损伤预警参数 。总结了目前分形在结构损伤识别中的研究现状 ,分析了结构动力分频段分形动力特征 ,提出了广 义维数保证准则 。最后 ,展望了分形在结构损伤识别中的应用前景 。 关键词 :结构 ;损伤识别 ;分形 中图分类号 : TU312. 3 文献标识码 : A 文章编号 : 1008 - 1933 (2008) 06 - 063 - 05
图 2 下弦节点 8位移时程的功率谱分析 F ig. 2 The PSD result of 8# nodeπs tim e h istory
从图 2可以看出 ,功率谱对数曲线可以按频段 分成 3个区域 :低频段 ;中频段 ;高频噪声段 。低频 断没有任何分形的自相似特性 ,高频噪声段的斜率 可以近似为 0,只有中频段具有近似的线性关系 ,可 以看作分形频段 。本文就是据此将结构振动的时程 曲线分频段处理 ,去掉低频段 (可以用一般的谱分 析确定其自振频率和振型 、阻尼等结构特征参数 ) 和高频噪声段 (有利于去除噪声影响 ) ,这就是结构 的分频段动力特征 。由于结构的时程数据是分频段 的动力特性 ,不是全频段的 ,应该将时程数据按不同 频段进行处理 。有些文献不加区别地直接将时程数 据进行分维数计算 ,这是没有理论依据的 。 1. 3 动力时程数据的分频段方法
图 3 小波包分频段示意 F ig. 3 The frequency band sketch of wavelet packets
对于同一种小波基函数 ,小波包分解可以看成
是小波分解的全空间形式 。对于实际的分频段来
说 ,显然小波包分解更便于计算 。基于这个考虑 ,本
文选用小波包分解的同一层各分量作为分频段的依
0 引 言
1913年 , Perrin对变换无穷的布朗运动轨迹进 行了深入研究 ,明确指出布朗运动不具有导数 。自 然界的许多事物 ,如连绵起伏的山峦轮廓线 、四通八 达的江海河川 、蜿蜒曲折的海岸线等 ,也具有不光滑 性和不规则性 。1915年 , Hausdorff引入 Hausdorff维 数的概念 ,这类统计自相似性图形和曲线的 Haus2 dorff维数一般都不是整数 ,而是一个分数值 ,这就 是分形的雏形 。
来在时域内以时间 t为变量的函数 x ( t)变换成以频
率 f为变量的函数 X ( f, T) :
∫ X ( f, T) = T x ( t) e- 2πi ft d t
(1)
0
这里的 T是在 x ( t)内延伸的区间 。由于振幅
的平方正比于功率 ,定义单位时间内的功率谱密度
S ( f) ( Power Spectral Density)为
判断一个曲线是否具有分形特征 ,除了上述计
算分形曲线的功率谱判断外 ,还可以用 R /S 分析 [ 8 ]
来进行判断 ,限于篇幅 ,不再赘述 。本文以一桁架结
图 1 桁架结构简图 F ig. 1 The sketch of truss structure
本文用 ANSYS模拟计算结构的动力时程曲线 , 采用单点激励的方法在节点上施加一个脉冲的力荷 载 ,阻尼比取为 0101。计算得到下弦中间节点 8的 位移响应时程曲线后 ,对其进行功率谱分析 (图 2) 。
Structure damage iden tif ica tion research ba sed on fracta l techn ique
RAN Zhihong, L I Q iao
( School of Civil Engineering, Southwest J iaotong University, Chengdu 610031, China) Abstract: The app lication of fractal technique to structure damage identification was in theory research phase, and some essence p roblem s desiderate to solve. Two worth the whistle p roblem s: how to p rove the rationality and sensitiveness and stabilization of the app lication of fractal technique to structure damage identification; how to ascertain the feasible and effective alarm parameter of a large2 scale structure. A review of structure damage identification based on fractal technique was summarized. Frequency band fractal dynam ic characteristic of structural dynam ic is researched. General dimension guarantee criterion ( GDAC) was discussed. Key words: structure; damage identification; fractal technique
目前 ,人们对结构的分形特性的认识还不是很
© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
64
四川建筑科学研究
第 34卷
深入 ,对分形维数与损伤机理之间的关系还有待进 一步研究 。鉴于此 ,本文从结构动力分形特性研究 出发 ,介绍了多重分形和广义维数 ,并在此基础上提 出了广义维数保证准则 。用一个桁架结构 ,验证了 广义维数保证准则指标对结构损伤指示的敏感性 。 最后 ,提出了基于分行的结构损伤识别方法存在的 问题和解决策略 ,展望了分形在损伤识别中的应用 前景 。
S ( f) = X ( f, T) 2 / T
(2)
在 x ( t)属于分形的条件下 ,可以得到 S ( f)的下
列幂函数 :
S ( f)∝ f-β
(3)
它表示 f 越大 ,功率谱密度越小 。β为一固定
常数 ,它与全域标度指数 H具有对应关系 。
研究表明 ,可以用 β对信号进行分类 。白噪声
的 β= 0;布朗运动的 β = 2;分数布朗运动的 β = 1～
绝对值的平均值扩大 bH 倍 。相应地 , X ( f, T)变为
B ( f, T) =B ( f / b, bT) / bH + 1
(4)
由此得到
S ( f) = B ( f / b, bT) 2 / ( Tb2 (H + 1) )
= B ( f / b, bT) 2 / ( bTb2H + 1 )
= S ( f / b) b2H + 1
(5)
即频率标度缩小 b倍后 ,功率谱密度扩大 b2H + 1
倍 ,因此有 β= 2H + 1。这说明功率谱密度具有自仿
射性 ,也说明功率谱密度是频率的幂函数 。对于一
般工程问题有 [ 7 ] : H ∈[ - 3, 3 ]。
1. 2 结构分频段分形动力特征
据 。按照图 3 - 16的频段规律 ,可以计算第 k层第 m 个节点的频段为
F ∈
mf 2k + 1
(m + 1) f 2k + 1
m
= 0, 1, …, 2k
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(6)
对于本文问题Baidu Nhomakorabea该选择正交性较好的小波基函
数 ,并 且要 求正 则性较 好 , 选 择 Daubechies小 波 。 Daubechies小波是根据消失矩来分类的 ,尺度函数
构为例进行分形特征的研究 ,桁架结构的基本参数 如下 。
结构简图如图 1所示 ,其中 H = 5 m , L = 2 m ,各 个杆件的截面尺寸均为 0101 m ×0101 m ,材料均为 Q235。
1 结构分频段分形动力特征
1. 1 分形的功率谱分析
对自仿射分形序列 x ( t)进行傅立叶变换 ,把原
2008 No16
冉志红 ,等 :基于分形的结构损伤识别方法研究
65
步提出来的 ,并且从数学上作了比较严密的推导 。 从工程技术上看 ,小波包可以看成是函数空间逐级 正交剖分的扩展 。假设原始信号的总频段是 0～f /2 ( f为采样频率 ) ,则小波包分解后的各个层数的信 号所占有的频段如图 3 所示 ( h0 为低频段信号 ; h1 为高频段信号 ) 。