物理 物理学中的极值问题与极端法

物理学中的极值问题与极端法
【高考展望】
物理学中的临界和极值问题牵涉到一定条件下寻求最佳结果或讨论其物理过程范围的问题，此类问题通常难度较大技巧性强，所涉及的内容往往与运动学、动力学、电磁学密切相关，综合性强。

在高考命题中经常以压轴题的形式出现，临界和极值问题是每年高考必考的内容之一。

【知识升华】
物理极值问题，就是求某物理量在某过程中的极大值或极小值。

物理极值问题是物理学中的一个重要内容，涉及的知识面广，综合性强。

在科学领域中，数学因为其众所周知的准确而成为研究者们最广泛用于交流的语言。

如果在解决这些问题时能与数学知识灵活地整合，运用适合的方法，将会拓展解决物理问题的思路，提高运用数学知识解决物理问题的能力。

所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．某种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态称为临界状态。

至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。

临界问题往往是和极值问题联系在一起的。

【方法点拨】
求解极值问题的方法可分为物理方法和数学方法．物理方法包括：（1）利用临界条件求极值；（2）利用问题的边界条件求极值；（3）利用矢量图求极值；（4）用图像法求极值。

数学方法包括：（1）用三角函数求极值；（2）用二次方程的判别式求极值；（3）用不等式的性质求极值；（4）利用二次函数极值公式求极值。

一般而言，物理方法直观、形象，对构建模型及动态分析等能力要求较高，而用数学方法求极值思路严谨，对数学能力要求较高。

多数极值问题，并不直截了当地把极值或临界值作为题设条件给出，而是隐含在题目中，要求学生在对物理概念、规律全面理解的基础上，仔细审题，深入细致地分析问题，将隐含的题设条件——极值挖掘出来，把极值问题变成解题的中间环节。

【典型例题】
类型一、利用二次函数极值公式（或配方法）求极值
二次函数2
y ax bx c =++有如下知识：
（1）若0a >、2b
x a =-时，y 有极小值2min 44ac b y a -=；
（2）若0a <、2b
x a
=-时，y 有极大值2max 44ac b y a -=。

例1、A 、B 两车停在同一点，某时刻A 车以2m/s 2的加速度匀加速开出，3s 后B 车同
向以3m/s 2的加速度开出。

问：B 车追上A 车之前，在启动后多长时间两车相距最远，距离是多少？
【思路点拨】速度相等是追及问题的临界点，速度相等两车相距最远。

这里利用二次函数极值公式求最大距离，分别写出两车的位移公式，相减即为所求（A 车在前，A 车的位移减B 车的位移）。

【答案】27米
【解析】设A 启动t 秒两车相距最远， A 车的位移：212A x at =
，B 车的位移：21
(3)2
B x a t =-
两车间距离为22211
(3)0.5913.522
A B A B x x x a t a t t t ∆=-=--=-+- 由数学知识可知，当9
92(0.5)
t s s =-
=⨯-时，
两车间有最大距离：2211
(3)2722
A B A B x x x a t a t m ∆=-=
--= 【总结升华】在追及问题中，常常要求最远距离或最小距离，常用的方式有物理方法和数学
方法，应用物理方法时，应分析物体的具体运动情况，两物体运动速度相等时，两物体间有相对距离的极大值和极小值。

应用数学的方法时，应先列出函数表达式，再求表达式的极大值或极小值。

举一反三
【变式1】一辆汽车在十字路口等待绿灯，当绿灯亮时，汽车以3m/s 2的加速度开始行驶。

恰在这时，一辆自行车以6m/s 的速度同向匀速驶来，从后边超过汽车，试求汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？ 【答案】2秒；6米
【解析】设汽车开始运动时开始计时，t 时刻汽车和自行车的位移分别为：
22113
22
x at t == 26x vt t ==
汽车追上自行车之前，t 时刻两车的距离为： 2
21362
x x x t t ∆=-=-
由二次函数求极值的公式知：
当 6
23
2()
2
t s -==-时，x ∆有最大值2max 6634()2x m -∆=
=⨯- 【变式2】如图所示的电路中，电源的电动势E=12V ，内阻r=0.5Ω，外阻R 1=2Ω，R 2=3Ω，
滑动变阻器R 3＝5Ω．求滑动变阻器的滑动头P 滑到什么位置，电路中的伏特计的示数有最大值？最大值是多少？
【答案】R 3的中点2.5Ω处；10V ．
【解析】设aP 间电阻为x ，外电路总电阻为R ， 电阻1R x +与电阻23()R R x +-并联，则
10
)
8)(2())((321321x x R R R x R R x R R -+=++-++=
，
6.1
6.0
1.0
10
16
62
2
+
+
-
=
+
+
-
=x
x
x
x
R
电压表示数最大，就是外电路电阻最大，即求
max
R
当
a
b
x
2
-
=
0.6
3
2(0.1)
=-=
-
时，
外电路电阻最大值为
2
max
4(0.1) 1.60.6
2.5
4(0.1)
R
⨯-⨯-
==Ω
-
．
电路中的最小电流为
min
max
12
4
2.50.5
E
I A A
R r
===
++
伏特计的最大示数为
max min
1240.510
U E I r V
=-=-⨯=
即变阻器的滑动头P滑到R3的中点2.5Ω处，伏特计有最大值，最大值为10V．
类型二、利用极限思维方法求极值
有一类问题具有这样的特点，如果从题中给出的条件出发，需经过较复杂的计算才能得到结果的一般形式，并且条件似乎不足，使得结果难以确定，但若我们采用极限思维的方法，将其变化过程引向极端的情况，就能把比较隐蔽的条件或临界现象暴露出来，从而有助于结论的迅速取得。

例2、如图所示，细线的一端系一质量为m的小球，另一端固定在倾角为θ的光滑斜面体顶端，细线与斜面平行。

在斜面体以加速度a水平向右做匀加速直线运动的过程中，小球始终静止在斜面上，小球受到细线的拉力T和斜面的支持力为F N分别为（重力加速度为g)）（）
A．T＝m（g sinθ＋a cosθ）F N＝m（g cosθ－a sinθ）
B．T＝m（g cosθ＋a sinθ）F N＝m（g sinθ－a cosθ）
C．T＝m（a cosθ－g sinθ）F N＝m（g cosθ＋a sinθ）
D．T＝m（a sinθ－g cosθ）F N＝m（g sinθ＋a cosθ）
【思路点拨】用极限思维方法求解时，如果选项为三角函数表达式，一般先设0
θ=时（即水平），sin0
θ=，cos1
θ=，进行分析，排除错误选项，再设90
θ=o（竖直）时，进行分析，即可得出正确选项。

【答案】A
【解析】解法一：用极限思维方法求解。

当0θ=时（即水平），sin 0θ=，cos 1θ=， 对选项A ，T ma =，N F mg =，符合题意； 对选项B ，T mg =，N F ma =，不符合题意，B 错； 对选项C ，T ma =，N F mg =，符合题意；
对选项D ，T mg =-，N F ma =，不符合题意，D 错。

再分析AC ，当90θ=o
时，C 中T mg =-，N F ma =，这是不可能的，C 错。

故选项A 正确。

解法二：对小球在受力分析如图所示，建立坐标系，利用分解加速度的方法要简单一些。

在x 轴方向上： sin cos T mg ma θθ-= 在y 轴方向上：cos sin N F mg ma θθ-=- 解得：sin cos T mg ma θθ=+
cos sin N F mg ma θθ=-
所以选项A 正确。

【总结升华】利用极限思维方法求解，并不是对所有的三角函数表达式都适用。

对于条件似乎不足，使得结果难以确定的问题，极限思维方法就显示出它特有的优势（如下题）。

举一反三
【变式1】如图所示，在光滑的水平面上有以质量为M 、倾角为θ的光滑斜面体，斜面上有一质量为m 的物块沿斜面下滑。

关于物块下滑过程中对斜面压力大小的解答，有如下四个表达式．要判断这四个表达式是否合理，你可以不必进行复杂的计算，而是根据所学的物理知识和物理方法进行分析，从而判断解的合理性或正确性。

根据你的判断，下述表达式中可能正确的是（ ）
A.
2sin sin Mmg M m θθ- B. 2sin sin Mmg M m θθ+ C. 2cos sin Mmg M m θθ- D. 2cos sin Mmg M m θ
θ
+
【答案】D
【解析】当0θ=时，sin 0θ=，cos 1θ=，AB 选项，压力为零， C 、D 选项，压力等于重力，则A 、B 均错，C 、D 可能对；当90θ=o
时，C 、D 选项压力都为零，不能判断； 当090θ<<o
时，压力等于cos mg θ，压力小于重力， C 选项分母小于M ，压力大于cos mg θ，C 错；
D 选项分母大于M ，压力小于cos mg θ，故只有D 选项正确。

【变式2】图示为一个内、外半径分别为R 1和R 2的圆环状均匀带电平面，其单位面积带电量为σ。

取环面中心O 为原点，以垂直于环面的轴线为x 轴。

设轴上任意点P 到O 点的的距离为x ，P 点电场强度的大小为E 。

下面给出E 的四个表达式（式中k 为静电力常量），其中只有一个是合理的。

你可能不会求解此处的场强E ，但是你可以通过一定的物理分析，对下列表达式的合理性做出判断。

根据你的判断，E 的合理表达式应为（ ） A ．122
22
21
2
2(
E k x x R x R πσ=++
B ．2
22
21
2
2(E k x x R x R πσ=++
C ．122
22
21
2
2(E k x x R x R πσ=++
D ．2
22
21
2
2(E k x x R
x R
πσ=++
【答案】B
【解析】场强的单位为N/C ，k 为静电力常量，单位为Nm 2/C 2，σ为单位面积的带电量，单位为C/m 2，则2πk σ表达式的单位即为N/C ，故各表达式中其它部分应无单位，故可知 A 、C 肯定错误；当x =0时，此时要求的场强为O 点的场强，由对称性可知E O =0，对于C 项而言，x =0时E 为一定值，故C 项错误。

当x →∞时E→0，而D 项中E→定值4πk σ，故D 项错误；所以正确选项只能为B ；故选B 。

类型三、利用三角函数求极值
设三角函数cos sin y αμα=+可作如下变换： 令tan θμ=，则有：2
sin 1θμ
=
+， 2
cos 1θμ
=
+于是有：2
1)y μαθ=+-
当αθ=时，y
有极大值2max 1y μ=+ 解物理题时往往遇到的形式是：
1
cos sin αμα
+
通常习惯处理方法是：令1
tan μβ
=
则
11sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin sin β
βαμααββαααβ==
+++ sin sin()
β
αβ=
+
例3、如图所示，一质量m ＝0.4kg 的小物块，以0v ＝2m/s 的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F 作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t ＝2s 的时间物块由A 点运动到B 点，A 、B 之间的距离L ＝10m 。

已知斜面倾角θ＝30o ，物块与斜面之间的动摩擦因数=μ3
3，重力加速度g 取10 m/s 2。

（1）求物块加速度的大小及到达B 点时速度的大小。

（2）拉力F 与斜面的夹角多大时，拉力F 最小？拉力F 的最小值是多少？
【思路点拨】（1）根据运动学求解；（2）设拉力F 与斜面的夹角为α，作受力图进行正交分解，根据牛顿第二定律列出方程：沿斜面、垂直于斜面，利用滑动摩擦力与正压力的关系，进行代数运算，写出拉力F 的数学表达式，再利用三角函数求极值的方法求出拉力F 的最小值。

【答案】（1）3m/s 2 8m/s （2）30°
N 5
3
13 【解析】（1）设物块加速度的大小为a ，到达B 点时速度的大小为v ， 由运动学公式得2
02
1at t v L +
= ① 0v v at =+ ② 联立①②式，代入数据得 a ＝3m/s 2 ③ v ＝8m/s ④
（2）设物块所受支持力为F N ，所受摩擦力为f ，拉力与斜面间的夹角为α，受力分析如
图所示，
由牛顿第二定律得 cos sin F mg f ma αθ--= ⑤
sin cos 0N F F mg αθ+-= ⑥
又 N f F μ= ⑦ 联立⑤⑥⑦式得(sin cos )cos sin mg ma
F θμθαμα++=
+ ⑧
由数学知识，令1tan μβ
=
，得60β=o
，则 1
1sin 60cos 60cos sin cos sin 60cos 60sin cos sin sin 60αμα
αααα
=
=+++o
o o o o
32sin(60)
α=+o ⑨ 由⑧⑨式可知对应F 最小的夹角α＝30° ⑩ 联立③⑧⑩式，代入数据得F 的最小值为
min 133
5
F N =
⑪ 【总结升华】对于这类求解极值问题，利用三角函数求解是很有效的方法，也是解题的关键。

但我们只要根据物理方法解出数学表达式以后，就会发现可以利用三角函数求出极值。

举一反三
【变式】一质量为m 的木块放在水平面上，以一个大小为F 的拉力拉着它在水平地面上运动，F ＜mg 。

已知木块与地面间的动摩擦因数为μ，拉力F 沿什么方向拉物体时，物体的加速度最大，此最大值为多少？ 【答案】2max 1F
a g m
μμ=
+ 【解析】木块运动中受到如图所示的四个力的作用
设拉力F 与水平方向成
α角，由牛顿第二定律有：
cos F f ma α-= ① sin F N mg α+= ②
并且f N μ= ③ 由①②③式可解得(cos sin )
F a g m
αμαμ+=
-
令tan θμ=，则有：2
sin 1θμ
=+， 2
cos 1θμ
=
+
于是有：
22cos sin 1(cos cos sin sin )1cos()αμαμαθαθμαθ+=++=+-
加速度a 便可写成：
21cos()F
a g m
μαθμ=
+-- 显然当αθ=，即拉力与水平面夹角arctan αμ=时，木块运动的加速度最大， 加速度最大值为：2max 1F
a g m
μμ=
+-. 类型四、利用图像法求极值
要理解图像中的“点”、“线”、“斜率”、“截距”、“面积”的物理意义。

通过分析物理过程遵循的物理规律，找到变量之间的函数关系，做出其图像，由图像可求得极值。

矢量是物理中常用的数学工具，矢量既有大小又有方向，合成与分解时遵循“平行四边形定则”。

使用矢量求极值问题时，要注意分析反映矢量间关系的物理规律，实际上所表现的应该是这些矢量间大小关系和方向关系融合而形成的某种几何关系，做出矢量图，最后根据几何关系、三角函数关系求解。

例4、一质量为m 的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数=μ3
3
，如图所示，物体做匀速直线运动．求拉力F 的最小值和方向角θ．
【思路点拨】本题可以用上面介绍的“类型三、利用三角函数求极值”方法求解，这里用图
像法求极值。

物体做匀速直线运动，仍然是平衡问题。

应将四力平衡转化为三力平衡，即将支持力与摩擦力合成为一个力R ，由于物体处于平衡状态，R 、F 、G 的合力必为0，三个力构成一个封闭三角形，当F 垂直于R 时，F 最小。

【答案】
1
2
mg ，30°
【解析】物体受力如图所示。

物体做匀速直线运动，仍然是平衡问题，但这是四力平衡，我们通常处理的是三力平衡，如果将某两个力合成为一个力，就是三力平衡问题了。

应将哪两个力合成呢？根据摩擦力与正压力的关系f N μ=，μ已知，所以将摩擦力与支持力合成，如图甲，支持力N 与合力R 的夹角为β。

由几何关系tan f
N
βμ=
=，可见，N 变化会引起f 变化、R 变化，但R 的方向是不变的，由于物体处于平衡状态，R 、F 、mg 的合力必为0，三个力构成一个封闭三角形，如图乙，由图可知，当F 垂直于R 时，F 最小。

此时，3
arctan arctan
30θβμ====o ， 所以拉力F 的最小值min 1
sin 2
F mg mg β==
. 【总结升华】解题的关键是根据摩擦力与正压力的关系f N μ=，将摩擦力与支持力合成为一个力，即将四力平衡转化为三力平衡，三力的合力必为0，三个力构成一个封闭三角形，当F 垂直于R 时，F 最小。

举一反三
【变式1】从车站开出的汽车作匀加速运动，它开出一段时间后，突然发现有乘客未上车，于是立即制动做匀减速运动，结果汽车从开动到停下来共用时20s ，前进了50m ，求这过程中汽车达到的最大速度。

【答案】5m/s
【解析】设最大速度为m v ，即加速阶段的末速度为m v ，画出其速度时间图像如图所示， 图线与t 轴围成的面积等于位移。

位移11
205022
m m x t v v =
⋅⋅=⨯⨯= 所以最大速度5/m v m s =
【变式2】某物体从静止开始沿直线运动，当停止运动时，位移为L ，若运动中加速度大小
只能是a 或是零，那么此过程的最大速度是多大？最短时间为多少？ 【答案】aL ；2
L a
【解析】根据题意，只有满足如图所示的v t -图像OAt 2所围的面积等于位移的值，才有最大速度和最短时间。

从图像可知，在L 一定时，
即23OAt OBCt S S L ∆==，max A B v v v =>，2min 3t t t =< 所以max 121()v at a t t ==-，212t t = 解得max 21
2v at =
，max 22v t a
= 又因为2
max max 21
2v L v t a
==
所以max v aL =min 2L
t t a
==类型五、利用不等式求极值
利用不等式求极值可以归纳为以下三种情况： 1、根据判别式法求极值：
对于一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠，若在实属范围内有解，则其判别式
240b ac ∆=-≥； 一元二次不等式20(0)ax bx c a ++≥>，若x 取任何实数时均成立，
则其判别式2
40b ac ∆=-≤。

2、根据均值不等式求极值：
（1）2a b ab +≥，a b =时，最小值为2ab ；
（2）对于两个大于零的变量a 、b ，若其和a b +为一定值p ，则当a b =时，其积ab 取
得极大值2
4
p ；
（3）对于三个大于零的变量a 、b 、c ，若其和a b c ++为一定值q ，则当a b c ==时，
其积abc 取得极大值3
27
q ．
例5、如图所示，一平直的传送带以速度2/v m s =做匀速运动，传送带把A 处的工件运输到B 处。

A 、B 相距L=10m 。

从A 处把工件无初速地放到传送带上，经过时间t=6s ，能传送到B 处。

欲用最短的时间把工件从A 处传送到B 处，求传送带的运行速度至少多大？最短时间是多少？
【思路点拨】（1）若要把工件以最短时间传送到B ，则应使工件始终加速直至B 处，求出最小运行速度；（2）根据运动学知识创造一个关于速度v （含有时间t ）的一元二次方程，利用判别式求解最短时间。

【答案】（1）25/m s ；（2）25s 【解析】对工件受力分析如图
工件可能一直加速运动，也可能先加速后匀速运动。

（1）设经过时间t 1后两者共速， 对工件：12L x x =+ ① 112
v
x t =
② 21()x v t t =- ③
解得12t s =，即两秒后共速。

由公式1v at = ④ 解得2
1/a m s =
若要把工件以最短时间传送到B ，则应使工件始终加速直至B 处， 工件加速度仍为a ，设传送带最小速度为v ' 由公式2
2v aL '=
传送带的运行速度至少为2211025/v aL m s '==⨯⨯=
（2）设至少用t 秒送到。

对工件：12L x x =+ ⑤ 2
12v ax = ⑥
2()v x v t a =- ⑦
解⑤⑥⑦得 2
11002
v vt -+= ⑧为关于速度v 的一元二次方程
有解的条件：判别式240b ac ∆=-≥，即2
200t ∆=-≥ 解得25t s ≥
【总结升华】由22
02v v ax -=或者2
012
x v t at =+
创造一个一元二次方程，利用判别式求解 最短时间。

例6、（2015 新课标Ⅰ卷）一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。

水平台面的长和宽分别为L 1、L 2，中间球网高度为h 。

发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h 。

不计空气的作用，重力加速度大小为g 。

若乒乓球的发射速率v 在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v 的最大取值范围是（ ）
A. 1
266v L g h L g h ＜＜ B. 2
2112(4)46L L L g g v h h +＜
C. 2
2112(4)26261L L L g v g h h +＜ D. 2
2112(4612)4
L L L g g h h
v +＜＜
【答案】D
【解析】发射机无论向哪个方向水平发射，乒乓球都是平抛运动，竖直高度决定了运动时间
236h h
t g g
⨯=
=
水平方向匀速直线运动，水平位移最小即沿中线方向水平发射恰好过球网，此时从发射点
到球网，下降高度为3h -h =2h ，水平位移大小为L 1/2，可得运动时间 224h h
t g g
⨯=
=
对应的最小初速度 1
24L g v h
=
水平位移最大即斜向对方台面的两个角发射，根据几何关系此时的位移大小为
2
212142
L L + 所以平抛的初速度
2
2112422461L g v g L L h h
⨯⨯+≤≤ 对照选项可知D 对。

举一反三
【变式】分别用判别式法、均值不等式求解上面例1变式2。

如图所示的电路中，电源的电动势E=12V ，内阻r=0.5Ω，外阻R 1=2Ω，R 2=3Ω，滑动变阻器R 3＝5Ω．求滑动变阻器的滑动头P 滑到什么位置，电路中的伏特计的示数有最大值？最大值是多少？
【答案】R 3的中点2.5Ω处；10V ．
【解析】设aP 间电阻为x ，外电路总电阻为R ， 电阻1R x +与电阻23()R R x +-并联，则
10
)
8)(2())((321321x x R R R x R R x R R -+=++-++=
，
6.16.01.010
16
622++-=++-=
x x x x R 用判别式法求最大电阻：
将上式整理得2
616100x x R -++-=
判别式2
4364(1)(1610)0b ac R ∆=-=---≥ 解得 2.5R ≤Ω，即max 2.5R =Ω 用均值不等式求最大电阻： 上面求得10
)
8)(2())((321321x x R R R x R R x R R -+=++-++=
设2a x =+；8b x =-，
当a b =时，即28x x +=-， 即3x =Ω时， Ω=-+=
5.210
)
38)(32(max R ．
电压表示数最大，就是外电路电阻最大，即求max R 电路中的最小电流为min max 12
42.50.5
E I A A R r
=
=
=++
伏特计的最大示数为max min 1240.510U E I r V =-=-⨯=
即变阻器的滑动头P 滑到R 3的中点2.5Ω处，伏特计有最大值，最大值为10V ．
类型六、利用问题的边界条件求极值
以带电粒子在有界磁场中的运动问题为例：
（1）依据切线的性质确定圆心和半径：从已给的圆弧上找两条不平行的切线和对应的切点，过切点做切线的垂线，两条垂线的交点为圆心，圆心与切点的连线为半径。

（2）依据垂径定理（垂直于弦的直径平分该弦，并平分弦所对的弧）和相交弦定理（如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项）来确定半径等。

例7、（2015 江苏卷）一台质谱仪的工作原理如图所示，电荷量均为+q 、质量不同的离子飘入电压为0U 的加速电场，其初速度几乎为零，这些离子经过加速后通过狭缝O 沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B 的匀强磁场，最后打在底片上，已知放置底片区域已知放置底片的区域MN =L ，且OM =L 。

某次测量发现MN 中左侧
2
3
区域MQ 损坏，检测不到离子，但右侧
1
3
区域QN 仍能正常检测到离子. 在适当调节加速电压后，原本打在MQ 的离子即可在QN 检测到。

（1）求原本打在MN 中点P 的离子质量m ；
（2）为使原本打在P 的离子能打在QN 区域，求加速电压U 的调节范围；
（3）为了在QN 区域将原本打在MQ 区域的所有离子检测完整，求需要调节U 的最少次数。

（取lg2=0.301，lg3=0.477，lg5=0.699）
【答案】（1）22
932qB L U （2）0010016819U U U ≤≤
（3）3次 【解答】（1）离子在电场中加速2
02
1mv qU =
在磁场中做匀速圆周运动r v m qvB 2=，解得q
mU B r 0
21
=
代入L r 43
0=，解得0
22329U L qB m =
（2）由（1）得，=U 2
2
0916L r U ，
离子打在Q 点L r 6
5
=，解得811000U U =；
离子打在N 点L r =，解得9
160
U U =
， 则电压的范围
9
16811000
0U U U ≤≤ （3）由（1）可知，r ∝U
由题意知，第一次调节电压到1U ，使原本打到Q 点的离子打到N 点，
016
5U U L L
=
， 此时，设原本半径为1r 的打在1Q 的离子打在Q 上，则0
1165U U r L =， 解得L L r 36
25)65
(21=
= 第二次调节电压到2U ，使原本打到1Q 点的离子打到N 点，
22)6
5(U U L L =
，
此时，设原本半径为2r 的打在2Q 的离子打在Q 上，则0
2265U U r L =， 解得L L r 216
125
)65
(32=
= 同理，第n 次调节电压，有L r n n 1)6
5(+=,
检测完整，有L
r
n2
1
≤，解得8.2
1
)
5
6
lg(
2
lg
≈
-
≥
n，
最少次数为3次。

举一反三
【变式】如图所示是显像管中电子束运动的示意图，设加速电场两极间的电势差为U，匀强磁场区域的宽度为L，要使电子束从磁场飞出时，在图中所示不超过120°范围内发生偏转（即上下各偏转不超过60°），求磁感应强度B的变化范围（设磁场方向垂直于纸面向里时，磁感应强度为正值）？
【答案】
e
mU
L2
3
1
-B
≤≤
e
mU
L2
3
1
【解析】根据题意，电子向上偏转时最大偏转角为60°，
则电子在磁场中做圆周运动的最小半径
2
3
60
sin0
L
L
R=
=
电子在电场中加速有2
2
1
mv
eU=，
m
eU
v
2
=
电子在洛仑兹力作用下，作匀速圆周运动，
R
v
m
Bev
2
=
时，
当
3
2L
R=磁感应强度的最大值
e
mU
L
B
2
3
1
m ax
=
所以磁感应强度的变化范围是：
e
mU
L2
3
1
-B
≤≤
e
mU
L2
3
1
．
【巩固练习】
一、选择题
1、（2015 江苏卷）一人乘电梯上楼，在竖直上升过程中加速度a随时间t变化的图线如图所示，以竖直向上为a的正方向，则人对地板的压力
A．t=2s时最大B．t=2s时最小C．t=8.5s时最大D．t=8.5s时最小
2、（2015 四川卷）在同一位置以相同的速率把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出，不计空气阻力，则落在同一水平地面时的速度大小（）
A．一样大B．水平抛的最大C．斜向上抛的最大D．斜向下抛的最大
3、(2015 湖南岳阳联考)将两个质量均为m的小球a、b用细线相连后，再用细线悬挂于O
点，如图所示．用力F拉小球b，使两个小球都处于静止状态，且细线Oa与竖直方向的夹角保持θ＝30°，则F的最小值为()
A. 3
3
mg
B.
3
2
mg
C．mg D.
2
mg
4、如图所示，质量为M的小车置于光滑的水平面上，有一质量为m、速度为
v的小物块从水平方向射入小车光滑轨道上，假定小物块一直不离开轨道，则在轨道上上升的最大高度为（）
A.
2
2()
mv
M m g
+
B.
2
2()
Mv
M m g
+
C.
2
2
Mv
mg
D.
2
2
mv
Mg
5、如图所示，一辆四分之一圆弧小车停在粗糙水平地面上，质量为m的小球从静止开始由
车顶无摩擦滑下，若小车始终保持静止状态，当小球运动到半径与竖直方向夹角为θ时，关
于夹角θ的大小和地面对小车的最大摩擦力，正确的是（ ）
A. 30º，2mg
B. 45º，2mg
C. 45º，1.5mg
D. 60º，1.5mg
6、一条宽为L 的河流，水流速度为u ，船在静水划行速度为v ，若v u <，要使它到达对岸时向下游行驶的距离最小，则它的航行方向与水流速度方向的夹角为（ ）
A. arcsin
v u B. arcsin u v C. arccos v u D. arccos u v
7、一条宽为L 的河流，水流速度为u ，船在静水划行速度为v ，若v u <，要使它到达对岸
时向下游行驶的距离最小，则最小距离为（ ）
A.
v L u B. u
L v
C. 2
2
u v
- D.
2
2
u v
-
8、一列车以速度1v 向前行驶，司机突然发现在同一轨道上前方距车头S 处有另一辆列车正在沿着相同方向以较小的速度2v 做匀速运动，于是他立即使列车以加速度a 做匀减速运动，要使两列车不相撞，a 必须满足什么条件是（ ） A. 121()a v v S ≥
- B. 121
()2a v v S ≥- C. 2
121()a v v S ≥- D. 2121()2a v v S
≥-
9、如图所示的电路中，R 1=2Ω，R 2=4Ω，R 3=6Ω，当滑片P 由a 向b 的移动过程中， A 、B 两端总电阻的最大值为（ ）
A. 3 Ω
B. 4 Ω
C. 5 Ω
D. 2 Ω
10、给房屋设计屋顶时，把屋顶设计成斜面，设跨度为L ，如图所示，把雨水沿着屋顶滑下的运动理想化为小球沿光滑斜面滑下的情形，为了要使雨水能尽快地滑下并从屋檐落下，即雨水从屋顶到屋檐的时间最短，则时间最短为（ ）
A. L
g
B.
2L
g
C. 2
L
g
D.
3L
g
二、解答题
11、如图所示，质量为m的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数为
3μ=，
物体做匀速直线运动。

求牵引力F的最小值和方向角θ。

12、如图所示，一个质量为m的小物块以初速度
v=10m/s沿光滑地面滑行，然后沿光滑曲面上升到顶部水平的高台上，并由高台上飞出．当高台的高度h为多大时，小物块飞行的水平距离s最大？这个距离是多少？（g取10m/s2）
13、如图所示，光滑轨道竖直放置，半圆部分半径为R，在水平轨道上停着一个质量为
M=0.99kg的木块，一颗质量为m=0.01kg的子弹，以
v=400m/s的水平速度射入木块中，然后一起运动到轨道最高点水平抛出，试分析：当圆半径R多大时，平抛的水平位移是最大？且最大值为多少？
14、如图所示，已知定值电阻R1，电源内阻r，滑动变阻器的最大阻值为R（R > R1+r），当
滑动变阻器连入电路的电阻
x
R多大时，在变阻器上消耗的功率最大？
15、如图所示，宽为L的金属导轨置于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向竖直向下．电源电动势为E，内阻为r，不计其它电阻和一切摩擦，求开关K闭合后，金属棒PQ速度多大时，安培力的功率最大？最大值是多少？
16、如图所示，顶角为2θ的光滑圆锥，置于磁感应强度大小为B，方向竖直向下的匀强磁场中，现有一个质量为m，带电量为+q的小球，沿圆锥面在水平面作匀速圆周运动，求小球作圆周运动的最小轨道半径。

17、如图所示为矩形的水平光滑导电轨道a bcd，a b边和cd边的电阻均为5R0，a d边和
bc边长均为L，a d边电阻为4R0，bc边电阻为2R0，整个轨道处于与轨道平面垂直的匀强
磁场中，磁感强度为B。

轨道上放有一根电阻为R0的金属杆mn，现让金属杆mn在平行轨道平面的未知拉力F作用下，从轨道右端以速率v匀速向左端滑动，设滑动中金属杆mn始终与a b、cd两边垂直，且与轨道接触良好。

a b和cd边电阻分布均匀，求滑动中拉力F的最小牵引功率。

18、一个质量为m的电子与一个静止的质量为M的原子发生正碰，碰后原子获得一定速度，并有一定的能量E被贮存在这个原子内部。

求电子必须具有的最小初动能是多少？。