逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量
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－1
0 ， 1
2x＋3z＝1， 2y＋3w＝0， 所以 5x＋6z＝0， 5y＋6w＝1，
x＝－2， y＝1， 解得z＝5， 3 w＝－2. 3
1
－2 － 故所求的逆矩阵 A 1＝ 5 －2 3 3
课 前 ·双 基 落 实
.
课后· 三维演练
n n * t λ α ＋ t λ 1 1 2 2 β (n∈N )． ___________
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逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量
结束
[小题体验] 1．矩阵
1 M＝ －2
6 的特征值为__________． －6
1 A ＝ 0
0 矩阵 B，使得 BA＝AB＝E 成立，故 不可逆． 0 2．如果向量 α 是属于 λ 的特征向量，将它乘非零实数 t 后所得 的新向量 tα 与向量 α 共线，故 tα 也是属于 λ 的特征向量， 因此，一个特征值对应多个特征向量，显然，只要有了特征 值的一个特征向量，就可以表示出属于这个特征值的共线的 所有特征向量了．
逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量
结束
第二节
逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量
1．逆变换与逆矩阵 (1)对于二阶矩阵 A，B，若有 AB＝BA＝E，则称 A 是可逆 的，B 称为 A 的逆矩阵． (2)若二阶矩阵 A，B 均存在逆矩阵，则 AB 也存在逆矩阵， 且(AB)－1＝B－1A－1. (3)利用行列式解二元一次方程组．
λ－a f(λ)＝ －c a A＝ c
b 的特征值，α 为 λ 的特征向量，求 λ d －b 2 ＝ λ －(a＋ λ－d
λ－ax－by＝0， 的值代入二元一次方程组 －cx＋λ－dy＝0，
x0 x0 得到一组非零解 ，于是非零向量 y 即为矩阵 y 0 0
Байду номын сангаас
2a＋6＝2λ， 故 12＝3λ
答案：1
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逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量
结束
a 1．不是每个二阶矩阵都可逆，只有当 c
b 中 ad－bc≠0 时， d
才可逆，如当
1 A＝ 0
0 ，因为 1×0－0×0＝0，找不到二阶 0
a A＝ c
λα ，那么 λ 称为 A 的一个特征值，而___ α 称 α，使得 Aα＝____
为 A 的属于特征值 λ 的一个特征向量．
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逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量
结束
4．特征多项式的定义 设
a A＝ c
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逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量
结束
2．逆矩阵的求法 b 一般地，对于二阶矩阵 ，当 ad－bc≠0 时，矩阵 d －b d ad－bc ad－bc －1 A 可逆，且它的逆矩阵 A ＝ . －c a 3.特征值与特征向量的定义 ad－bc ad－bc 设 A 是一个二阶矩阵，如果对于实数 λ，存在一个非零向量
b 是一个二阶矩阵，λ∈R，我们把行列式 f(λ) d －b 2 λ －(a＋d)λ＋ad－bc 称为 A 的特征 ＝ λ－d
λ－a ＝ －c
多项式．
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逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量
结束
5．特征值与特征向量的计算 设 λ 是二阶矩阵 与 α 的步骤为： 第一步：令矩阵 A 的特征多项式 d)λ＋ad－bc＝0，求出 λ 的值． 第二步：将 λ
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逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量
λ－1 f(λ)＝ 2
解析：矩阵 M 的特征多项式为
－6 ＝(λ＋2)(λ λ＋6
＋3)，令 f(λ)＝0，得 M 的特征值为 λ1＝－2，λ2＝－3. 答案：－2 或－3
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结束
2 2．设 3是矩阵
a M＝ 3
2 的一个特征向量，则实数 a 的值为 2
________．
2 解析：设 3是矩阵 a 则 3
M 属于特征值 λ 的一个特征向量，
2 2 2 ＝ λ 3 3， 2 λ＝4， 解得 a＝1.
A 的属于特征
值 λ 的一个特征向量．
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结束
6．Anα(n∈N*)的简单表示 (1)设二阶矩阵
a A＝ c
b ，α 是矩阵 A 的属于特征值 λ 的任 d
意一个特征向量，则 Anα＝____ λnα (n∈N*)． (2)设 λ1，λ2 是二阶矩阵 A 的两个不同特征值， α，β 是矩阵 A 的分别属于特征值 λ1，λ2 的特征向量，对于平面上任意一个 非零向量 γ，设 γ＝t1α＋t2β(其中 t1，t2 为实数)，则 Anγ＝
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结束
[小题纠偏] 2 3 1．矩阵 A＝ 5 6的逆矩阵为____________．
x y ， 解析：法一：设矩阵 A 的逆矩阵 A ＝ z w 2x＋3z 2y＋3w 1 2 3 x y 1 0 ＝ ，即 ＝ 则 5 x ＋ 6 z 5 y ＋ 6 w 5 6 z w 0 1 0
0 ， 1
2x＋3z＝1， 2y＋3w＝0， 所以 5x＋6z＝0， 5y＋6w＝1，
x＝－2， y＝1， 解得z＝5， 3 w＝－2. 3
1
－2 － 故所求的逆矩阵 A 1＝ 5 －2 3 3
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[小题体验] 1．矩阵
1 M＝ －2
6 的特征值为__________． －6
1 A ＝ 0
0 矩阵 B，使得 BA＝AB＝E 成立，故 不可逆． 0 2．如果向量 α 是属于 λ 的特征向量，将它乘非零实数 t 后所得 的新向量 tα 与向量 α 共线，故 tα 也是属于 λ 的特征向量， 因此，一个特征值对应多个特征向量，显然，只要有了特征 值的一个特征向量，就可以表示出属于这个特征值的共线的 所有特征向量了．
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第二节
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1．逆变换与逆矩阵 (1)对于二阶矩阵 A，B，若有 AB＝BA＝E，则称 A 是可逆 的，B 称为 A 的逆矩阵． (2)若二阶矩阵 A，B 均存在逆矩阵，则 AB 也存在逆矩阵， 且(AB)－1＝B－1A－1. (3)利用行列式解二元一次方程组．
λ－a f(λ)＝ －c a A＝ c
b 的特征值，α 为 λ 的特征向量，求 λ d －b 2 ＝ λ －(a＋ λ－d
λ－ax－by＝0， 的值代入二元一次方程组 －cx＋λ－dy＝0，
x0 x0 得到一组非零解 ，于是非零向量 y 即为矩阵 y 0 0
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a 1．不是每个二阶矩阵都可逆，只有当 c
b 中 ad－bc≠0 时， d
才可逆，如当
1 A＝ 0
0 ，因为 1×0－0×0＝0，找不到二阶 0
a A＝ c
λα ，那么 λ 称为 A 的一个特征值，而___ α 称 α，使得 Aα＝____
为 A 的属于特征值 λ 的一个特征向量．
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4．特征多项式的定义 设
a A＝ c
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2．逆矩阵的求法 b 一般地，对于二阶矩阵 ，当 ad－bc≠0 时，矩阵 d －b d ad－bc ad－bc －1 A 可逆，且它的逆矩阵 A ＝ . －c a 3.特征值与特征向量的定义 ad－bc ad－bc 设 A 是一个二阶矩阵，如果对于实数 λ，存在一个非零向量
b 是一个二阶矩阵，λ∈R，我们把行列式 f(λ) d －b 2 λ －(a＋d)λ＋ad－bc 称为 A 的特征 ＝ λ－d
λ－a ＝ －c
多项式．
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5．特征值与特征向量的计算 设 λ 是二阶矩阵 与 α 的步骤为： 第一步：令矩阵 A 的特征多项式 d)λ＋ad－bc＝0，求出 λ 的值． 第二步：将 λ
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λ－1 f(λ)＝ 2
解析：矩阵 M 的特征多项式为
－6 ＝(λ＋2)(λ λ＋6
＋3)，令 f(λ)＝0，得 M 的特征值为 λ1＝－2，λ2＝－3. 答案：－2 或－3
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2 2．设 3是矩阵
a M＝ 3
2 的一个特征向量，则实数 a 的值为 2
________．
2 解析：设 3是矩阵 a 则 3
M 属于特征值 λ 的一个特征向量，
2 2 2 ＝ λ 3 3， 2 λ＝4， 解得 a＝1.
A 的属于特征
值 λ 的一个特征向量．
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结束
6．Anα(n∈N*)的简单表示 (1)设二阶矩阵
a A＝ c
b ，α 是矩阵 A 的属于特征值 λ 的任 d
意一个特征向量，则 Anα＝____ λnα (n∈N*)． (2)设 λ1，λ2 是二阶矩阵 A 的两个不同特征值， α，β 是矩阵 A 的分别属于特征值 λ1，λ2 的特征向量，对于平面上任意一个 非零向量 γ，设 γ＝t1α＋t2β(其中 t1，t2 为实数)，则 Anγ＝
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[小题纠偏] 2 3 1．矩阵 A＝ 5 6的逆矩阵为____________．
x y ， 解析：法一：设矩阵 A 的逆矩阵 A ＝ z w 2x＋3z 2y＋3w 1 2 3 x y 1 0 ＝ ，即 ＝ 则 5 x ＋ 6 z 5 y ＋ 6 w 5 6 z w 0 1 0