维伊辛模型的蒙特卡罗数值模拟

毕业论文

题目：二维伊辛模型的蒙特卡罗数值模拟

二〇一一年五月

目录

摘要........................................................... .. (1)

Abstract............................................. .. (2)

第一章引

言 (3)

第二章伊辛模型 (4)

2.1 伊辛模型的意义 (4)

2.2 伊辛模型的历史与发展 (4)

2.3 二维伊辛模型的基本结构 (5)

第三章蒙特卡罗方法.............................................

(6)

3.1 蒙特卡罗方法的产生与发

展 (6)

3.2 蒙特卡罗方法的基本思想 (6)

3.3 文中采用蒙特卡罗方法时用到的的基本理论 (7)

第四章模拟的理论和过程 (8)

4.1 计算理论........................................................ . (8)

4.2 模拟过程....................................................... .. (9)

第五章数据分析和讨论 (10)

参考文献....................................................... . (14)

附录....................................................... (15)

致谢....................................................... (19)

二维伊辛模型的蒙特卡罗数值模拟

摘要：本文主要介绍应用蒙特卡罗方法对二维伊辛模型进行数值模拟的基本思路和方法，然后具体应用Fortran语言进行数值模拟的过程。文中首先介绍了伊辛模型对解决相变问题的意义及其历史与发展，然后介绍了蒙特卡罗方法的产生与发展及其基本内容和思想，最后具体应用计算机Fortran语言用蒙特卡罗方法对二维伊辛模型的相关物理量进行数值模拟的方法和过程，并对所得数据进行分析和讨论。

关键字：二维伊辛模型；蒙特卡罗方法；哈密顿量；磁化强度；Fortran语言

The Simulation of Monte Carlo for the Two dimensional Ising

model

Abstract：This paper describes the Monte Carlo method to simulate two dimensional Ising model of the basic ideas and methods, and then

specific applications Fortran language simulation process. The

paper first describes the Ising model to solve the problem of

phase change the meaning and history and development, and then

introduced the Monte Carlo method and its basic contents and

development of production and ideas, and finally specific

applications the computer language Fortran and Monte Carlo

method to simulate the related physical of the two dimensional

Ising model of method and process, and the data were analyzed

and discussed.

Keywords：the Two Dimensional Ising model; Monte Carlo Method; Hamiltonian;

Fortran language

第一章引言

统计物理学中，物质相变方面的研究是一个重要的领域，物质经过相变，要出现新的结构和物性，而得到物质的相变过程是非常重要且意义深远的，伊辛模型就是试图去解决这些问题的一个重要模型。然而，应用蒙特卡罗方法去作用于伊辛模型，又是一个重要的思想，并且确实可以模拟一些过程，得到一些重要结论。

本文主要是以蒙特卡罗方法为基础，应用计算机程序来模拟二维伊辛的一些基本物理量，并结合理论，对所得数据进行分析，完成最基础的学习研究。

伊辛模型和蒙特卡罗方法都是非常重要而且被广泛使用的，这里，通过对二维伊辛模型的蒙特卡罗数值模拟，可以了解甚至解决热力学统计物理中，相变领域的一些问题，它可以简化这些问题的处理方法，并求出精确地解，从而可以对现在得到广泛关注的三维伊辛模型的精确求解的理论打下基础进而可以对其进行思考，如果有可能，可以更深入理解二维伊辛模型的精确求解，并去了解三维伊辛模型的相关理论。

第二章伊辛模型

伊辛模型是描述物质相变的一种模型。物质经过相变，要出现新的结构和物性。发生相变的系统一般是在分子之间有较强相互作用的系统，又称合作系统。它是一个简单且被广泛使用的物理模型，下面就对从伊辛模型的意义及其历史与发展两方面对其做简要的介绍，并且简单介绍二维伊辛模型的基本结构。

2.1伊辛模型的意义

“伊辛 (Ising)模型是一个最简单且可以提供非常丰富的物理内容的模[1],它可以被用来帮助我们发现物理世界的原则。它不仅可以用来描述晶体的磁性,还可以用来描述非常广泛的现象,如合金中的有序—无序转变、液氦到超流态的转变、液体的冻结和蒸发、晶格气体、玻璃物质的性质、森林火灾、城市交通、蛋白质分子进入它们的活性形式的折叠等。科学家对伊辛模型的广泛兴趣还源于它是描述相互作用的粒子 (或自旋 )最简单的模型。它可以用来测试研究相互作用的粒子在多体系统 (特别是理解在临界点及其附近的合作现象和临界行为)任何近似方法的理想工具。”[2]

以上这段文字正是对伊辛模型的意义的最好诠释，而且三维伊辛模型的意义更为重大，它能解决更为广泛的问题，最为重要的应用是它能很好地显示连续相变过程,特别是在相变的临界温度附近的临界现象。对伊辛模型的研究，使其成为成熟的模型，对于许多领域都有重大意义。

2.2伊辛模型的历史与发展

统计物理学通过对配分函数求导得系统的热力学函数，从而确定系统的全部平衡性质。但是在相变点某些热力学量会发生突变或者出现无穷尖峰，那么从单一的配分函数表达式能否同时描述各种相和相的转变呢？

回答这个疑难的一个方法是建立包含系统最本质特征的简化模型，严格导出其在相变点的宏观特性。从20世纪30年代中叶开始，经过半个世纪以来对统计模型的大量研究，已形成统计物理学的一个专门领域，建立了很多模型，伊辛模型就是其中的一个模型。

经过数位科学家的研究和探讨，伊辛模型经过几十年的发展，有了很大的突破，现在，一维，二维伊辛模型理论已经比较成熟，科学家已经得他们在一些条件下的精确解，但是二维伊辛模型在其他一些条件下还有得到精确解，比如具有次紧邻相互作用的二维伊辛模型和磁场下的伊辛模型至今没有精确解，而且三维伊辛模型也没有得到精确解，