2、空间问题的有限元法

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由平面问题转为空间问题，给有限元分析带来两个主要
难题：
1、空间离散化不太直观，人工离散很容易出错。 2、未知量的数量剧增，对计算机的存储和计算时间要 求较高。
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解决问题： 1、编程建模 2、采用高精度单元
由于通用软件有很好的前后处理功能，因此空间问题基本上都靠软件来解决。
或： f N
e
（由结点位移表示的单元内位移）
N1 N 0 0
0 N1 0
0 0 N1
N2 0 0
0 N2 0
0 0 N2
N3 0 0
0 N3 0
0 0 N3
N4 0 0
0 N4 0
0 0 N4
形函数矩阵
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1. 基本变量 单元内任一点位移:
u { f } v w 单元内任一点应变:
{ } x y z xy yz zx
单元内任一点应力:
T
{ } x y xy yz zx z 车辆工程技教研室
T
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其中：
A1
A1c r cr A1c r A2br A2 d r 0
A1d r A1d r dr 0 A2 cr A2br
(r 1,2,3,4)

1
,
1 2 A2 , 21
E 1 A3 361 1 2
设单元内任一点的位移为坐标的 线性函数:
u ( x, y, z ) 1 2 x 3 y 4 z v( x, y, z ) 5 6 x 7 y 8 z w( x, y, z ) x y z 9 10 11 12
1
ELEMENTS
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一、空间问题常用单元 二、常应变四面体单元
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一、空间问题常用单元
1. 按形状分： 四面体单元（三棱锥） 五面体单元（三棱柱）
六面体单元（立方体）
2. 按位移函数阶次分 线性单元：四结点四面体，六结点五面体、八结点六面体等 二阶单元：十结点四面体，二十结点六面体等 三阶单元：二十结点四面体，三十二结点六面体等
{ } [ B]{ }e
[ B ] 矩阵中含有变量r,z,因此，不是常数矩阵，三角形环形单元也不
是常应变单元。
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根据弹性力学理论，空间 轴对称问题的弹性方程： z r D zr 其中，弹性矩阵为：
式中:
x2 ai 1 a1 (1) i 1 x3 x4
y2 y3 y4
z2 z3 z4
1 y2 bi 1 b1 (1) i 1 1 y3 1 y4 x2 d i 1 d1 (1) i 1 x3 车辆工程技教研室 x4
z2 z3 z4 y2 1 y3 1 y4 1
二、常应变四面体单元
3. 单元几何方程： 由结点位移求单元内应变
u x v x y y w z z u v xy yz y x v w zx z y w u x z
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（r , , z )
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三、空间轴对称问题的有限元法
则，三角形单元的节点位移为：

e
[ i
j m ]T [ui vi u j v j um vm ]T
与平面问题三角形单元相仿，取位移模式：
u a1 a2 z a3r v a4 a5 z a6 r
带入节点位移后，可解出 a1 ~ a6 ，用形函数表达：
u Ni ui N j u j N mum v Ni vi N j v j N mvm
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三、空间轴对称问题的有限元法
f N
e
INi
IN j
i IN m j m
（四个方程、四个未知量）
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解方程组得 1 ~ 6 后，可将u的表达整理成：
1 u [a1 b1 x c1 y d1 z u1 a2 b2 x c2 y d 2 z u2 6V a3 b3 x c3 y d 3 z u3 a4 b4 x c4 y d 4 z u4 ]
i 1,2,3,4
z
P
形函数
则: u N1u1 N2u2 N3u3 N4u4 同样的过程可得到:
4
v N1v1 N2v2 N3v3 N4v4 w N1w1 N2 w2 N3w3 N4 w4
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1 y
0
3
2
x
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则单元位移模式可写成：
二、常应变四面体单元
1. 基本变量
ui 结点位移: { i } vi w i
1 2 单元结 e { } 点位移: 3 4
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二、常应变四面体单元
2. 单元位移插值函数：
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轴对称问题的单元刚度矩阵
[k ]e [ B ]T D B dV [ B ]T D B rdrdzd
V V
三角形环形单元的积分可简化为三角形截面上的积分：
[k ] 2 B D B rdrdz
{R}e [ N ]T {G}dV
Ve
S
等效结点荷载
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三、空间轴对称问题的有限元法
空间轴对称问题，采用圆柱坐标系 （r , , z） ，根据轴对称问题的特点， 任一对称面为rz面，没有 方向的位 移。物体上任一点的位移、应变、 应力均与 角无关，轴对称问题可 （r , z） 以把三维问题转化为以 为自变 量的二维问题。 图3-4代表三角形环形单元，用在 rz 平面上的三角形 ijm表示。轴向位移 为 w，沿半径方向的位移为 v 。
第三章 空间问题有限单元法
实际工程中，对于那些形体复杂，三个方向尺寸同量级
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的结构，必须按空间（三维）问题求解。
空间问题的有限单元法中的位移仍然只有平动位移，所以仍
属于C0连续问题，因此构造单元并不难。将平面问题有限元
法“稍加变动”并“加以推广”便可用于空间问题。
1
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1 ~ 12 即为广义坐标
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二、常应变四面体单元
2. 单元位移插值函数：
将结点坐标代入u(x,y,z)，得结点x方向位移:
u1 1 2 x1 3 y1 4 z1 u 2 1 2 x2 3 y 2 4 z 2 u3 1 2 x3 3 y3 4 z3 u 4 1 2 x4 3 y 4 4 z 4

1
0 0 0 1 2 21
0 0 0 0 1 2 21

1 1
称
0 0 0 0 1 2 21 0
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br Ab 1 r 6 A3 A1b r S r DBr V A2 cr 0 A2 d r
将位移表达式代入，得：
B
其中：
e
B B1
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B2
B3
B4
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N r x 0 0 Br N r y 0 N r z
0 N r y 0 Nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱr x N r z 0
e T
其体积力，面力的表达式：
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u N1u1 N 2u2 N 3u3 N 4u4 f v N v N v N v N v 11 2 2 3 3 4 4 w N w N w N w N w 2 2 3 3 4 4 1 1
0 0 br 0 0 0 c 0 r N r 1 0 0 dr z (r 1,2,3,4) 0 6V cr br 0 0 d r cr N r d r 0 br y N r [B]中各元素为常数，则{}也为常量 x — 常应变单元
x2 1 z 2 ci 1 c1 (1) i 1 x3 1 z3 x4 1 z 4
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1 x1 1 1 x2 V 6 1 x3 1 x4
令: N i
y1 y2 y3 y4
z1 z2 z3 z4
按1、2、3、4的顺序变换下标， 可得其它系数
1 ai bi x ci y di z 6V
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二、常应变四面体单元
4. 单元物理方程： 由结点位移求单元内应力
D D B
令: [S ] [ D][B] [S1
e
S2
S3
S4 ]
— 应力矩阵
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其中：
1 1 1 D E 1 1 1 2 对
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一、空间问题常用单元
3. 形函数构造方法： 1）广义坐标法：仅用在常应变单元 2）试凑法：在自然坐标下直接写出形函数 四面体单元的自然坐标是体积坐标
4. 构造曲面单元
等参元：利用规则单元作母元，通过等参变换构造 曲面单元
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二、常应变四面体单元
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二、常应变四面体单元
5. 单元基本方程：
利用变分原理建立单元平衡方程：
[k ] [ ] {R} 0
e e e
其中：
[k ]e B D B dV B D B V
T T Ve
单元刚度矩阵
T T [ N ] { P } ds [ N ] {P}
其中，
1 Ni (ai bi r ci z ) (i i, j, m) 2A
该式与平面问题的有限元问题中的形函数 形式一样，系数相同，只是将平面问题的 坐标轴x,y换成 r，z
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u x x v y y u xy r u v y x