再会一次函数之最短路径问题 说课
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● ●
A
●
P
l
l
●
A′
AP+BP最短 原理：两点之间线段最短
学习任务二
变式一：如图，已知平面直角坐标系中，A、 B 两点的坐标分别为A (2,—3） B (4,—1），若点P是x 轴 上的一个动点，则当P点坐 标为 时， AP+BP的值最小
y
任务要求： 自主独立完成
x
●
●
B
A
最短路径问题
如图，已知平面直角坐标系中，A、B 两点的坐标分 别为A (2,—3）B (4,—1），若点P是x 轴上的一个动点， 则当P点坐标为 时，AP+BP的值最小
3、直线y=x和直线y=
坐标为 (2,2)
任务要求： 自主独立完成
的交点
学习任务一
小明家住在B地，小明带着牛在A地吃完草后 到小溪m中饮水，然后再回家，请问小明带 着牛到小溪m的什么地方喝水能使所走的路 径最短？
A●
P
B●
m
原理：两点之间线段最短
学习任务一
如图，已知平面直角坐标系中，A、B 两 点的坐标分别为A (2,—3）B (4, 1），若点P 是x 轴上的一个动点， y 则当P点坐标为 时， (4，1） 解：B 点关于x轴的对称点B（ ， 1 ） AP+BP 的值 最小 1 4 令直线y AB kx b, 则 B
O E
任务目标
• 1、能用一次函数的知识解决最短 路径问题，体会数形结合思想。 • 2、能够从复杂问题中抽象出“最 短路径”的基本数学模型。 • 3、提高数学建模能力，感受数学 学习乐趣。
再会一次函数之 最短路径问题
——天津市东堤头中学 李蕊
知识储备任务
1、点M (4,-1)关于x轴对称点的坐标 为 (4,1) ，关于y轴对称点的坐标为 (-4,-1) . 2、直线y=kx+b过点A（2，-3）和点 y=2x-7 B(4,1),则这条直线解析式为： . 7 它与x轴交点坐标为 ( 2 ,0) ，与y轴 交点坐标为 (0,-7)
A （ 2 ， 3） A 点关于x轴的对称点B（ 解：B ， 1 ） 11 4
● A1
令直线y AB kx b, 则 AB 1
1
kb1 2k+b=3 4 解 得kk=-2,b=7 2, b 7 4k+b=-1 k b 3 2 7 -2x+7 y AB 2 x 7, 令y 0得x A1 B 2 7 7 则P ( , 0)， p 2 2
教材分析
本节课是在学习了基本事实：“两点之间线段最短 ”和轴对称的性质、一次函数的相关知识后，引导 学生探究如何综合运用知识解决最短路径问题。它 既是轴对称知识运用的延续，又培养学生用函数的 思想来解决结合问题，提升数形结合思想。培养学 生自主探究，学会思考，在知识与能力转化上起到 桥梁作用．对于本节课的内容，人教版教材没有独 立编排，只是随着学生数学学习的不断推进，逐步 添加了部分题目来逐步渗透，这也使大部分学生忽 视了这一知识点。设计整合了一些以三角形、四边 形为背景的最短路径问题，让学生直面数学模型， 体会数学的本质，有利于学生系统的学习知识。
1
y
P
o
● ●B
x
●A
最Fra Baidu bibliotek路径问题
如图，已知平面直角坐标系中，A、B 两点的坐标分 别为A (2,—3）B (4,—1），若点P是x 轴上的一个动点， 则当P点坐标为 时，AP+BP的值最小
解：B 点关于x轴的对称点B（ ， 1 ） 1 4 令直线y AB1 kx b, 则 4k b 1 解 得k 2, b 7 2k b 3 7 y AB1 2 x 7, 令y 0得x 2 7 7 则P ( , 0)， p 2 2
o
y
● B1
P
● ●B
x
●A
任务演练
变式二：（10年天津中考 25 ） 在平面直角坐标系中，矩形 OACB的顶点O在坐标原点， OA 3， OB 4 ， 顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上， y D为边OB的中点. C B (1)若E为边OA上的一个动点， 当△CDE的周长最小时， D 求点E的坐标；
课标分析
因此，数学建模是初中数学的重要任务之一，它是培 养学生应用数学的意识和能力的有效途径和强有力的 教学手段。但从教学的反馈信息看，初中学生的数学 建模能力普遍很弱，这与课堂教学中忽视对学生数学 建模能力的培养不无关系。要想提高学生的建模能力 ，我们就要在课堂教学中引导学生从生活经验和已有 的知识出发，从社会热点问题出发，让学生直接接触 数学建模，培养学生抽象能力以及运用数学知识能力 。现实生活中问题是很复杂的，有些问题表面看来毫 无相同之处，但抽象为数学模型，本质都是相同的， 这些问题都可以用类似的方法解决。本节课的教学中 注重模型归类，多题一模，训练学生归纳能力，培养 学生数学建模能力。
任务要求： 自主独立完成
1
●
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A(2，-3）
x
4k b 1 解 得k 2, b 7 2k b 3 7 y AB1 2 x 7, 令y 0得x 2 7 7 则P ( , 0)， p 2 2
P
学习任务二
小明家搬到了小溪对面的B处，他带着牛在A 处吃完草后先到小溪喝水，再回家，请问这 次小明带着牛到小溪l的什么地方喝水能使所 走路径最短？ B B A
再会一次函数之 最短路径问题
课标分析 2011版《数学课程标准》指出：“模型思想的建立是
学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。” 随着现代信息技术的飞速发展，极大地推进了应用数 学与数学应用的发展，使得数学几乎渗透到每一个科 学领域及人们生活的方方面面。为了适应科学技术发 展的需要和培养高质量、高层次科技人才，数学建模 已经在大学教育中逐步开展，国内外越来越多的大学 正在进行数学建模课程的教学和参加开放性的数学建 模竞赛，将数学建模教学和竞赛作为高等院校的教学 改革和培养高层次的科技人才的个重要方面，数学建 模难度大、涉及面广，数学建模的教学本身是一个不 断探索、不断创新、不断完善和提高的过程。新课标 强调从生产、生活等实际问题出发，引导学生运用数 学知识，去解决实际问题，培养应用意识与能力。
A
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A′
AP+BP最短 原理：两点之间线段最短
学习任务二
变式一：如图，已知平面直角坐标系中，A、 B 两点的坐标分别为A (2,—3） B (4,—1），若点P是x 轴 上的一个动点，则当P点坐 标为 时， AP+BP的值最小
y
任务要求： 自主独立完成
x
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B
A
最短路径问题
如图，已知平面直角坐标系中，A、B 两点的坐标分 别为A (2,—3）B (4,—1），若点P是x 轴上的一个动点， 则当P点坐标为 时，AP+BP的值最小
3、直线y=x和直线y=
坐标为 (2,2)
任务要求： 自主独立完成
的交点
学习任务一
小明家住在B地，小明带着牛在A地吃完草后 到小溪m中饮水，然后再回家，请问小明带 着牛到小溪m的什么地方喝水能使所走的路 径最短？
A●
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B●
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原理：两点之间线段最短
学习任务一
如图，已知平面直角坐标系中，A、B 两 点的坐标分别为A (2,—3）B (4, 1），若点P 是x 轴上的一个动点， y 则当P点坐标为 时， (4，1） 解：B 点关于x轴的对称点B（ ， 1 ） AP+BP 的值 最小 1 4 令直线y AB kx b, 则 B
O E
任务目标
• 1、能用一次函数的知识解决最短 路径问题，体会数形结合思想。 • 2、能够从复杂问题中抽象出“最 短路径”的基本数学模型。 • 3、提高数学建模能力，感受数学 学习乐趣。
再会一次函数之 最短路径问题
——天津市东堤头中学 李蕊
知识储备任务
1、点M (4,-1)关于x轴对称点的坐标 为 (4,1) ，关于y轴对称点的坐标为 (-4,-1) . 2、直线y=kx+b过点A（2，-3）和点 y=2x-7 B(4,1),则这条直线解析式为： . 7 它与x轴交点坐标为 ( 2 ,0) ，与y轴 交点坐标为 (0,-7)
A （ 2 ， 3） A 点关于x轴的对称点B（ 解：B ， 1 ） 11 4
● A1
令直线y AB kx b, 则 AB 1
1
kb1 2k+b=3 4 解 得kk=-2,b=7 2, b 7 4k+b=-1 k b 3 2 7 -2x+7 y AB 2 x 7, 令y 0得x A1 B 2 7 7 则P ( , 0)， p 2 2
教材分析
本节课是在学习了基本事实：“两点之间线段最短 ”和轴对称的性质、一次函数的相关知识后，引导 学生探究如何综合运用知识解决最短路径问题。它 既是轴对称知识运用的延续，又培养学生用函数的 思想来解决结合问题，提升数形结合思想。培养学 生自主探究，学会思考，在知识与能力转化上起到 桥梁作用．对于本节课的内容，人教版教材没有独 立编排，只是随着学生数学学习的不断推进，逐步 添加了部分题目来逐步渗透，这也使大部分学生忽 视了这一知识点。设计整合了一些以三角形、四边 形为背景的最短路径问题，让学生直面数学模型， 体会数学的本质，有利于学生系统的学习知识。
1
y
P
o
● ●B
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●A
最Fra Baidu bibliotek路径问题
如图，已知平面直角坐标系中，A、B 两点的坐标分 别为A (2,—3）B (4,—1），若点P是x 轴上的一个动点， 则当P点坐标为 时，AP+BP的值最小
解：B 点关于x轴的对称点B（ ， 1 ） 1 4 令直线y AB1 kx b, 则 4k b 1 解 得k 2, b 7 2k b 3 7 y AB1 2 x 7, 令y 0得x 2 7 7 则P ( , 0)， p 2 2
o
y
● B1
P
● ●B
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●A
任务演练
变式二：（10年天津中考 25 ） 在平面直角坐标系中，矩形 OACB的顶点O在坐标原点， OA 3， OB 4 ， 顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上， y D为边OB的中点. C B (1)若E为边OA上的一个动点， 当△CDE的周长最小时， D 求点E的坐标；
课标分析
因此，数学建模是初中数学的重要任务之一，它是培 养学生应用数学的意识和能力的有效途径和强有力的 教学手段。但从教学的反馈信息看，初中学生的数学 建模能力普遍很弱，这与课堂教学中忽视对学生数学 建模能力的培养不无关系。要想提高学生的建模能力 ，我们就要在课堂教学中引导学生从生活经验和已有 的知识出发，从社会热点问题出发，让学生直接接触 数学建模，培养学生抽象能力以及运用数学知识能力 。现实生活中问题是很复杂的，有些问题表面看来毫 无相同之处，但抽象为数学模型，本质都是相同的， 这些问题都可以用类似的方法解决。本节课的教学中 注重模型归类，多题一模，训练学生归纳能力，培养 学生数学建模能力。
任务要求： 自主独立完成
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A(2，-3）
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4k b 1 解 得k 2, b 7 2k b 3 7 y AB1 2 x 7, 令y 0得x 2 7 7 则P ( , 0)， p 2 2
P
学习任务二
小明家搬到了小溪对面的B处，他带着牛在A 处吃完草后先到小溪喝水，再回家，请问这 次小明带着牛到小溪l的什么地方喝水能使所 走路径最短？ B B A
再会一次函数之 最短路径问题
课标分析 2011版《数学课程标准》指出：“模型思想的建立是
学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。” 随着现代信息技术的飞速发展，极大地推进了应用数 学与数学应用的发展，使得数学几乎渗透到每一个科 学领域及人们生活的方方面面。为了适应科学技术发 展的需要和培养高质量、高层次科技人才，数学建模 已经在大学教育中逐步开展，国内外越来越多的大学 正在进行数学建模课程的教学和参加开放性的数学建 模竞赛，将数学建模教学和竞赛作为高等院校的教学 改革和培养高层次的科技人才的个重要方面，数学建 模难度大、涉及面广，数学建模的教学本身是一个不 断探索、不断创新、不断完善和提高的过程。新课标 强调从生产、生活等实际问题出发，引导学生运用数 学知识，去解决实际问题，培养应用意识与能力。