6.1 一维泊松方程的解析积分解法

特例：当 f ( r ) = 0 时，方程退化为拉普拉斯方程
1 d du (r ) = 0 r dr dr
得
1 u = ∫ c1d r + c2 = c1 ln r + c2 r
（6-1-8）
例 题： 如图 6-1-4 同轴电缆绝缘层内外半径分别为 R1 和 R2 ，绝缘材料漏电导率
γ = 1E − 5 ，内外导体之间加电压 1V ，求电流分布。
（6-1-6）
将偏微分改为全微分
d du f (r ) (r ) = − r dr dr a
两边积分一次
r
du f (r) = −∫ rdr + c1 dr a u = ∫ [−
再积分一次，得
图 6-1-3 圆柱坐标系 r 向变化
1 f (r) c rdr + 1 ]dr + c2 ∫ r a r
（6-1-7）
−a
整理
1 d du (sin θ ) = f ( r , θ) r sin θ dθ dθ
2
（6-1-16）
d du r 2 sin θ (sin θ ) = − f ( r , θ) dθ dθ a
两边积分一次
du r 2 sin θ sin θ = −∫ f (θ )dθ + c1 dθ a
显然要使 u 的表达式中只含自变量 θ ，则应满足 f (r ,θ ) = 方程两边再积分一次，得
g ( θ) 。 2 r
（6-1-17）
u = ∫ [−
1 sin θ c g (θ )dθ + 1 ]dθ + c 2 ∫ sin θ a sin θ
特例：当 g ( θ) = 0 时，方程退化为拉普拉斯方程
∇ 2u =
1 ∂ ∂u 1 ∂ 2u ∂ 2u (r ) + 2 + r ∂r ∂r r ∂α 2 ∂z 2
（6-1-5）
(1) 一维自变量为 r 如图 6-1-3, 在圆柱坐标系中，若 u 只 与坐标 r 有关，不随 α 、 z 变化，则一维泊 松方程为
−a
1 ∂ ∂u (r ) = f (r) r ∂r ∂r
ρ0 + c2 6ε 0 ρ0 3ε 0
电位移矢量连续： c3 = −
因此： c2 =
ρ0 ρ ρ + 0 = 0 3ε0 6ε0 2ε0 ρ0 2 ρ0 r + 6ε 0 2 ε0
代入电位公式：
r ≤ 1 ， u (r ) = −
r ≥ 1 ， u (r ) =
ρ0 3ε 0r
验证：
r ≤ 1 ， u (1− ) = −
(2) 一维自变量为 α 如图 6-1-5, 在圆柱坐标系中，若 u 只与 坐标 α 有关，不随 r 、 z 变化，则一维泊松方 程为
−a
1 d 2u = f (r , α ) r 2 dα 2
（6-1-9）
两边积分一次
du r2 =− dα a
∫ f (r , α)dα + c
1
显然要使 u 的表达式中只含自变量 α ， 则
6.1
一维泊松方程的解析积分解法
静电场的电位、 恒定电场电位和恒定磁场的矢量磁位都满足泊松方程。 用一般函数形式 表示为
− a∇ 2 u = f
(6-1-1)
当位函数 u 在坐标系中只随一个坐标变化时， 问题可以用一维模型表示。 当右端项 f 函 数表达式不复杂时，一维泊松方程一般可以用解析积分方法求解。根据问题的性质，选择合 适的坐标系。三种常用坐标系中解析积分方法叙述如下： 1. 直角坐标系 如图 6-1-1, 在直角坐标系中，若 u 只与坐 标 x 有关，不随 y 、 z 变化，则一维泊松方程为
两边积分一次
r2
du r2 = −∫ f ( r )dr + c1 dr a
再积分一次得
u = ∫ [−
1 r2
r2 c ∫ a f (r )dr + r 12 ]dr + c2
（6-1-14）
特例：当 f ( r ) = 0 时，方程退化为拉普 拉斯方程
−
得
a d 2 du r =0 r 2 dr dr
电阻： R =
U θ I b R2 = ，电导 G = = ln I b ln R2 U θ R1 R1
3. 球坐标系 在圆柱坐标系中，拉普拉斯算子表示为
1 ∂ 2 ∂u 1 ∂ ∂u 1 ∂2u ∇ u= 2 (sin θ ) + 2 r + r ∂r ∂பைடு நூலகம் r 2 sin θ ∂θ ∂θ r sin 2 θ ∂α 2
c2 =
所以
ln R2 ln R2 − ln R1
u=
1 ln R2 ln r + ln R1 − ln R2 ln R2 − ln R1 du γ 1 er = ( ) er dr ln R2 − ln R1 r 2 πγ ln R2 − ln R1
电流密度
J = − γ ∇u = − γ
检验：电导 G =
2
（6-1-12）
(1) 一维自变量为 r 如图 6-1-7, 为 在球坐标系中，若 u 只与坐标 r 有关，不随 α 、 θ 变化，则一维泊松方程
−
a ∂ 2 ∂u r = f (r ) r 2 ∂r ∂r
（6-1-13）
换成常微分
d 2 du r2 r = − f (r ) dr a dr
解：
1 u = ∫ c1d r + c2 = c1 ln r + c2 r
代入边界条件：
1 = c1 lnR 1 + c 2 ， 0 = c1 ln R2 + c2
前式减后式，
c1 (ln R1 − ln R2 ) = 1 ，
c1 = 1 ln R1 − ln R2
代入后式 图 6-1-4 例题图
电场强度：
E = − ∇u = −
验证： (a)
d 2u 2 d 2u 2 = − ， ρ = − ε = ε0 = 2E − 12 0 2 2 dx 8.85 dx 8.85
1 (1 − x ) x ， u (0) = 0 ， u (1) = 0 。 8.85
（b） u =
2. 柱坐标系 在圆柱坐标系中，拉普拉斯算子表示为
c3 + c4 r
图 6-1-8 例题图
（ 2） r ≥ 1 ， u = −
边界条件： u (∞ ) = 0 代入得， c4 = 0
r ≥1 ， u = −
c3 c ， ∇u = 3 e 2 r r r
r ≤ 1 ， ∇u = ( −
ρ0 c r+ 1 )e r 2 3 ε0 r
球心电场为零： c1 = 0 电位连续： −c3 = −
45o 100 = c1 ln tan + c2 2 135o 0 = c1 ln tan + c2 2
整理得：
−0.8814c1 + c2 = 100 0.8814c1 + c2 = 0
c1 = − 50 = −56.73 ， c2 = 50 0.8814
2
u = ∫ [−
1 g (α )dα + c1]dα + c2 a∫
（6-1-20）
图 6-1-11 球坐标系 α 向变化
特例：当 g ( α) = 0 时，方程退化为拉普拉斯方程
−a
得
1 d 2u =0 r 2 sin 2 θ dα2
u = ∫ c1dα + c2 = c1α + c2
（6-1-21）
得 c2 = 1 c1 = −
1 u = − α +1 θ
电流密度
c2 1 =− θ θ
J = − γ ∇u = −
验证：电流
γ du 1 eα = eα r dα θr
R2
1
图 6-1-6 例题图
I = b∫R J geα dr = b∫R
1
R2
R b R 1 1 dr = b ln r 2 = ln 2 θr θ R1 θ R1
−a
两边积分一次
d 2u = f ( x) dx 2
（6-1-2）
du f (x) = −∫ dx + c1 dx a
再积分一次，得
f (x) u = ∫ [− ∫ dx + c1 ]dx + c2 a
图 6-1-1 直角坐标系 （6-1-3）
解中的二个待定常数由边界条件确定。 特例：当 f ( x ) = 0 时，方程退化为拉普拉斯方程
u=∫
图 6-1-7 球坐标系 r 向变化
c1 c d r + c2 = − 1 + c2 2 r r
（6-1-15）
例题： 如图 6-1-8，设在球坐标系中，当 r ≤ 1 时，电荷体密度为 ρ = ρ0 ，当 r > 1 时，电荷 体密度为 ρ = 0 设无限远处电位为零，求空间的电位和电场强度。 解： （ 1） r ≤ 1 ，
−a
得
d 2u =0 dx 2
u = ∫ c1d x + c2 = c1x + c2
（6-1-4）
例题 ： 如图 6-1-2， 真空中静电场在 x = 0 处， ϕ = 0 ；x = 1 处， ϕ = 0 ；体电荷密度 ρ( x ) = 2E − 12 ( C/m 3 )，求电位和电 场强度。 解：
d 2u r 2 sin2 θ = − f (r ,θ ,α ) dα 2 a
两边积分一次
du r 2 sin2 θ =− ∫ f (r ,θ ,α)dα + c1 dα a
显然要使 u 的表达式中只含自变量
α ，则应满足 f ( r ,θ, α ) =
方程两边再积分一次，得
g (α ) 。 2 r sin θ
−a
得
1 d du (sin θ ) = 0 r sin θ dθ dθ
2
u=∫
c1 θ dθ + c2 = c1 ln tan + c2 sin θ 2
（6-1-18）
例题： 如图 6-1-10， 若无源区域 θ 区间为 (45o ,135o ) ， 电位只与 θ 有关， 且从 100V 变为 0V， 求电位分布。 解：代入电位表达式
u = ∫ [ −∫ =−
f (x) 2E − 12 2 dx + c1]dx + c2 = − x + c1 x + c2 a 2ε 0
图 6-1-2 例题图
1 2 x + c1 x + c2 8.85
1 8.85
代入边界条件，得 c2 = 0 ， c1 = −
因此得问题的解，电位：
u=−
1 2 1 1 x + x= (1 − x ) x 8.85 8.85 8.85 du 2 1 1 ex = ( x− )e x = (2 x − 1)e x dx 8.85 8.85 8.85
g ( α) 应满足 f (r , α ) = 。 2 r
再积分一次，得
图 6-1-5 圆柱坐标系 α 向变化
1 u = ∫ [ ∫ − g (α )dα + c1]dα + c2 a
特例：当 g ( α) = 0 时，方程退化为拉普拉斯方程
（6-1-10）
−a
得
1 d 2u =0 r 2 dα 2
1 u = ∫ [− 2 r u = ∫ [−
r2 c ∫ a f (r )dr + r 12 ]dr + c2
1 ρ0 c dr + 1 ]dr + c2 2 ∫ r a r2 1 ρ c = ∫ [− 2 0 r3 + 1 ]dr + c2 3r ε 0 r2 ρ c = ∫ [− 0 r + 1 ]dr + c2 3ε 0 r2 =− ρ0 2 c1 r − + c2 6ε0 r
例题：如图 6-1-12，若无源区域 α 区间 (0, π) ，电位只与 α 有关，且从 100V 变为 0V，求电 位分布。 解：代入表达式
100 = c2 ， 0 = c1π + c2
解得： c1 =
u=−
100 α + 100 π
100 ， c2 = 100 π
ρ0 ρ ρ + 0 = 0 6ε 0 2ε0 3ε0
r ≥ 1 ， u (1+ ) =
电场强度：
ρ0 3 ε0
−∇ u =
ρ0 r er 3ε 0 ρ0 e 2 r 3 ε0 r
−∇ u =
(2) 一维自变量为 θ 如图 6-1-9, 在球坐标系中，若 u 只与 坐标 θ 有关，不随 r 、 α 变化，则一维泊松 方程为 图 6-1-9 球坐标系 θ 向变化
u = −56.73ln tan
θ + 50 2
图 6-1-10 例题图
(3) 一维自变量为 α 如图 6-1-11 为 在球坐标系中，若 u 只与坐标 α 有关，不随 r 、 θ 变化，则一维泊松方程
−a
整理
1 d 2u = f ( r ,θ ,α ) r 2 sin 2 θ dα2
（6-1-19）
u = ∫ c1dα + c2 = c1α + c2
（6-1-11）
例题： 如图 6-1-6， 扇形薄导电片内外半径分别为 R1 和 R2 ， 厚度为 h ， 电流沿圆周方向， 两电极之间夹角为 θ ，加电压 1V 。求电流分布。
u = ∫ c1dα + c2 = c1α + c2
1 = c2 ， 0 = θc1 + c2