第四章抽样误差与假设检验

二、抽 样 误 差
Mean=155.426 Std=0.966
二、抽 样 误 差
样本均数的分布特点：
• 各样本均数不一定等于总体均数 • 样本均数间存在差异
• 样本均数的分布为中间多，两边少，围绕总体 均数上下波动，左右基本对称。
• 样本均数的变异较之原变量的变异大大减小。
二、抽 样 误 差
3.σ未知且n较小时，按t分布计算总 体均数的可信区间
双侧 1 可信区间为：
X t 2， SX
思考
总体均数可信区间与 参考值范围的区别和联系？
第三节 t 分布
X ~ N,(标,准正2 )态分布与U统计量
U X ~ N (0,1) n
实际研究中未知，用样本的标准差S作为
的一个近似值(估计值)代替，得到变换后的 统计量并记为
抽样误差（Sampling error）
• 由抽样引起的样本统计量与总体参数间（或 各统计量之间）的差异
• 抽样误差不可避免 • 抽样误差有一定的规律性
三、标准误
中心极限定理：源自文库
若个体资料 X服i 从正态总体 N (，,则2样) 本均数 也服从正X j态分布：
X j ~ N(, X 2)
个体资料 Xi 服从偏态分布，当样本量n较大时， 样本均数 近似X服j 从正态分布：
t X
Sn
第三节t分布
英国统计学家W. S. Gosset(1908)设 X ~ N (, 2 )
，称统计量t的分布规律为t分布，自由度为v：
t X ， n 1
S/ n
每个自由度v对应一个分布，因此t分布是一簇分布
第三节 t分布
三条t分布密度曲线
v=∞
v=5
v=1
t分布的图形特征
一、可信区间的有关概念
可信区间估计的优劣：
准确度：即可信度1，愈接近1愈好，如99% 的可信度比95%的可信度要好；
精密度：即区间的宽度，区间愈窄愈好。当样 本含量为定值时，上述两者互相矛盾。
在可信度确定的情况下，增加样本含量可减小 区间宽度。
二、总体均数可信区间的计算
计算方法：
σ已知，按u分布。 σ未知，但n足够大，按u分布。 σ未知，且n较小，按t分布。
第四章 抽样误差与假设检验
第一节 均数的抽样误差与标准误
一、抽 样 研 究
按照随机化原则 采用正确的抽样方法 从总体中抽取有代表性的一部分
组成样本 用样本信息推断总体特征的研究
统计推断
二、抽 样 误 差
已知k市初中女生身高总体均数 为155.4cm， 标准差为 为5.3cm的正态分布，从总体中随 机抽样。样本大小为30
估计总体均数可信区间时，可能估计错误，错 误概率为 ；
估计正确的概率为(1)，
可信区间的上下界为可信限：
较小的称为下限（lower limit，L） 较大的称为上限（upper limit，U）
一、可信区间的有关概念
可信区间的含义：
95%可信区间表示该区间总含总体均数 μ的 概率为95%； 若作100次抽样算得100个可信区间，平均有 95个可信区间包含μ，有5个可信区间不包含 μ，即估计错误。
本 例 n = 2 0 0 , X ＝ 4 . 9 5 ，S = 0 . 5 7 , 双 侧 ＝ Z0.05/2 1.96，
本资料的 n 较大，所以有：
(4.95 1.96 0.57 ，4.95 1.96 0.57 ) (4.87, 5.03)
200
200
该 地 正 常 成 年 男 性 红 细 胞 数 的 总 体 均 数 的 95％ 可 信 区 间 为 4.87 ×1012/L～ 5.03×1012/L。
分布特征 n t分布曲线是单峰的 n 关于t = 0对称
t分布与正态分布的关系 • 自由度v较小时，t分布与标准正态分布相差较 大，并且t分布曲线的尾部面积大于标准正态分 布曲线的尾部面积 • 当自由度 时，t分布逼近于标准正态分布。
, 2
n=30 X1, S1 X2, S2
X j , S3 Xn, Sn
… ….
二、抽 样 误 差
若从正态总体 N (155抽.4,样5.3得2) 到1000个样本，将1000个
样本均数看成新变量，构成新的分布：
组段
频数
频率（%） 累计频率（%）
152.9-
9
0.90
0.90
153.5-
34
3.40
注意区别：
SX
SX n
S 和S X
和 X
第二节 总体均数的估计
参数的估计
点估计：将样本统计量作为 总体参数的估计
区间估计：按预先给定的概率确定 一个包含未知总体参数的范围，称 为参数的可信区间或置信区间 (confidence interval,CI)
一、可信区间的有关概念
可信度：
事先给定的概率(1)称为置信度或可信度 ，常 取95％ 或99％ ；
1.σ已知时,总体均数双侧可信区间为:
X U 2 X
=
X
U
2
n
2.σ未知但n较大时，按u分布计算总体 均数的可信区间
X U 2SX
=
X
U
2
S n
例 4-3 根 据 例 4-1 资 料 ，估 计 该 地 正 常 成 年 男 子 红 细 胞 数 的 总 体 均 数 的 95%可 信 区 间 。
4.30
154.1-
94
9.40
13.70
154.7-
191
19.10
32.80
155.3-
255
25.50
58.30
155.9-
216
21.60
79.90
156.5-
116
11.60
91.50
157.1-
63
6.30
97.80
157.7-
20
2.00
99.80
158.3-158.9
2
0.20
100.00
X j ~ N(, X 2)
三、标准误
样本均数的标准差 X ，称为样本均数的标准误 (standard error of mean)，简称标准误（SE) 。
标准误意义：反映样本均数抽样误差的大小，SE越 大，均数的抽样误差越大，说明样本均数与总体均
数间的变异越大。
三、标准误
标准误的大小：
x
n
n一定时，标准误与标准差呈正比； 标准差一定，标准误与n的平方根成反比 增加样本含量可减少抽样误差
三、标准误
标准误主要用途：
衡量抽样误差大小，SE越小，样本均数可信度 越高
结合标准正态分布和t分布曲线下的面积规律， 估计总体均数的置信区间
应用于假设检验
三、标准误
由于实际 X 往往未知，需要用样本 来S估X 计 ，样 X本均数标准误的估计式：