巧用定积分的概念求和式极限的方法技巧

巧用定积分的概念求和式极限的方法技巧

石国学 / 山东铝业职业学院基础部

【摘 要】在数学分析、高等数学教科书中，经常会遇到一类无限多项和式极限

÷÷øöççèæ+++¥®n n n n n n L 211lim 的求解难度大，结构复杂、抽象不易理解的问题。本文通过

几个实例介绍如何运用定积分定义求和式极限的方法和技巧，使求和式极限问题简单化。

【关键词】定积分概念；和式极限；极限 一、定积分的概念

设函数()x f y =在[]b a ,上有界，1.在[]b a ,中任意插入1-n 个分点，

b x x x x x x x a n n i i =<<<<<<<<=--11210L L ，把区间[]b a ,分成n 个小区间，其

长度为()

n i x x x i i i ,,2,11

L =-=D -；2.在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点

()i i i i x x <<-x x 1，作积，()()n i x f i

i ,,2,1L =D x ；3.求和式()å=D n

i i i x f 1

x (1)

记 {}n x x x D D D =,,,max 21L l 当0®l ()¥®n 时和式（1）趋向于确定的极限值I 即 ()()i

n

i i

n x f I D =å=¥®®1

lim

x l 。

我们就称这个极限值I 为函数()x f 在区间[]b a ,上的定积分，记作

()()()i

n

i i

n b

a

x f x f D =åò=¥®®1

lim x l ，区间的划分与i

x 的选取是否适当将决定能否用定义求出定积

分。定积分是用和式极限定义的，所以用定积分可以求一类特殊类型的和式极限。

二、定理

如果函数()x f 在[]1,0上连续，则函数()x f 在[]1,0上可积。

且有

()åò=¥

®÷øöçèæ=n

k n n n k f x f 1

1

1

lim (2)

()åò

-=¥

®÷øöçèæ=1

01

1

lim n k n n

n k f x f (3)

说明：当遇到一个和式满足如下条件时，

a) 每项都含有

n 1（n

1

作为公因子提出）。 b) (1)式中每项都是一个函数形式时，也就是每一项形式相同。

第一项含有

n 1，第二项n 2，...， (2)式中第二项含n 1，第二项含n 2

，…， 设法第一项添加并变出含n

（往往不明显）

。 无论(2)式或(3)式第i 项都必须含有n

i

，其余的不能含多余的n ，这样的和式极限就是一个 [0,1]上的一个定积分，

n

i

就是积分中()x f 的x ，所谓的规律就是，通过求出定积分的值就可求出和式极限的值。

三、利用定积分概念求和式极限的实例分析

实例1.求极限÷÷ø

ö

çç

èæ+++¥®n n n n n n n n 12111lim L

. 解:

n

n

n n n n n 12111+

++L ÷÷ø

öççèæ+++=

n n n n n L 211 (4)

(4)式的和是函数()x x f =

，在区间[]1,0上的一个积分和，这是把[]1,0n 等份，i x 取

为û

ù

ê

ëé-n i n i ,1的右端点（即()n

i

f n i i i =

=x x ,构成的积分和，因为()x x f =在[]1,0上可积，由定积分的定义有

÷÷ø

öççèæ+++¥®n n n n n n n n 12111lim L úúûù

êêëé÷÷øöççèæ+++=¥®n n n n n n L 211lim 3

2321

023=úûùêëé=x 实例2.求2

213lim

k n n

k n

k n -å=¥

®. 解: åå==÷÷ø

ö

ççè

æ÷

øöçèæ-=-n

k n k n k n k n k n n k 12

2

21311Q 2

213lim k n n

k n

k n -\å

=¥

® å=¥

®÷÷ø

ö

ççèæ÷øö

çèæ-=n

k n n k n k n 12

11lim dx x x ò-=1

21

()

3113

1

1

2

32=úûùêëé--=x 实例3. 求÷÷ø

ö

ççèæ++++++¥®222241

1614

1lim n n n n n L

.

分析：此题先提出

n 1，然后可变为÷÷ø

ö

ççèæ++++++¥®222241

16141lim n n n n n L

然后让第一项出现

n 1，第二项出现n

2

，…。 只要分子、分母同除以2

n 即可

解: ÷÷ø

ö

ççèæ++++++¥®222241

16141lim n n n n n L

å=¥®÷

ø

ö

çèæ+=n

i n n i n 1

2

4111lim

dx x

x

ò+=1

2

411

()

()

52ln 2

1

1ln 2

111212

2

102+=

++=+=

òt

t dt t . 注:以上三题中的数列通项为n 项之和。可直接化为积分和

å

=÷ø

ö

çèæn

k n k f 0

的形式，从而把和式极限转化为定积分()ò1

dx x f ，且被积函数的原函数容易求出，应用牛顿—莱布尼兹公式

直接求出结果。

实例4. 求n

n n n n n 112111lim úû

ùêëé÷øöçèæ+÷øöçèæ+÷øöçèæ+

¥

®L . 解:原式þ

ýüîíì÷øöçè

æ

+

=å=¥

®n k n n k n 11ln 1exp lim þ

ýüîíì÷øöçè

æ

+

=å=¥®n n k n

k n 11lim exp 1