第二讲 方阵问题(一)
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第二讲方阵问题(一)
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在我们的日常生活中常遇到一些有关正方形的问题,如:运动会上大型团体操表演队的正方形队列,解放军的方形仪仗队,正方形棋盘上摆棋子等有趣的数学问题,我们称为方阵问题。方阵可以分为实心方阵(图①)和空心方阵(图②、③)。
①②③
方阵问题的基本特点是:方阵中,内一层总比外一层的一边少个物体;内一层物体的总个数一定比外一层物体总个数少。
解答方阵问题的关键是:判断此方阵是实心方阵还是空心方阵。
1、方阵问题每边数与每层数之间的数量关系为:
每层数=(每边数-1)×4 、每边数=每层数÷4+1 .
2、实心方阵的数量关系为:总数=外层每边数×外层每边数=(外层每边数)2
3、空心方阵的数量关系为:总数=(外层每边数-层数)×层数×4
或总数=实心方阵总数-中间空心方阵总数
最内层每边数=外层每边数-2×(层数-1)
最外层每边数=总数÷4÷层数+层数
【例1】一个实心方阵,最外一层每边12人。
(1)那么整个方阵一共有。
(2)最外面一层共有。
(3)从外向内数,第二层每边有人,一共有人。
(4)如果考虑最外面三层,那么这三层共有人。
(5)如果将方阵外面增加一层,那么一共增加人。
随堂练习1用64枚棋子摆成一个实心方阵。
(1)每边有枚棋子。
(2)最外层有枚棋子。
(3)从外向内数,第二层每边有枚棋子,第二层共有枚棋子。
【例2】有一块空地在进行种树绿化,打算把树种成实心方阵的样子,方阵最外面一周有60棵树,问这个方阵最外层每边有多少棵树?这块空地一共需要多少棵树?
随堂练习2三年级学生排成一个实心方阵,最外一层的人数为36人,问:方阵最外层每边有多少人?这个方阵共有三年级学生多少人
【例3】小刚在用棋子摆好的实心方阵上又添了17枚棋子,它的横竖各增加了一排,成了大一点的实心方阵。求原来实心方阵有多少枚棋子?
随堂练习3 军训的学生进行队列表演,排成了一个5行5列的正方形队形,如果去掉一行一列,要去掉多少人?
【例4】有一个正方形的稻田,四个角上都放1个稻草人,如果每边放5个,四边一共放多少个稻草人? 解析:可以按每边5个计算,四个角各多1次;可以按每边4个计算,恰好分4组;可以按每边3个计算,四
个角各少算1次。这样可以有多少种方法求出放稻草人的个数。(先圈一圈)
解法一:
解法二:
解法三:
随堂练习4
(1)有围棋子若干,恰好可以排成每边10颗的正方形,棋子总数有多少?
【例5】大家要用盆花在空地上摆出一个空心方阵花坛,最外面的一层每边摆12盆花,共3层,一共要用多少盆花?
随堂练习5
(1)四年级学生排成一个中空方阵,最外层人数共52人,最内层人数共20人,四年级学生共有多少人?
【例6】用64枚棋子摆成一个两层中空方阵,如果想在外面再增加一层,问:需要增加多少枚棋子?
随堂练习6 由120人排成一个3层的中空方阵,这个方阵的最外层有多少人?
(1) (2) (3)
2018.7.4 课外练习
1.一个由学生组成的体操方阵,最外层每边有12人,最外层一共有多少人?
2.一个正方形实心方阵,最外层有84人。这个方阵共有多少人?
3.一个四层的中空方阵,最里面一层有28人,最外面一层有多少人?
4.由220人排成一个5层的中空方阵。这个方阵的最外层有多少人?
5.希望小学四(3)班同学进行队列表演,排成一个7行7列的正方形方阵,如果去掉一行一列要减少多少人?