第二讲 方阵问题(一)

第二讲方阵问题（一）

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在我们的日常生活中常遇到一些有关正方形的问题，如：运动会上大型团体操表演队的正方形队列，解放军的方形仪仗队，正方形棋盘上摆棋子等有趣的数学问题，我们称为方阵问题。方阵可以分为实心方阵（图①）和空心方阵（图②、③）。

①②③

方阵问题的基本特点是：方阵中，内一层总比外一层的一边少个物体；内一层物体的总个数一定比外一层物体总个数少。

解答方阵问题的关键是：判断此方阵是实心方阵还是空心方阵。

1、方阵问题每边数与每层数之间的数量关系为：

每层数＝（每边数－1）×4 、每边数＝每层数÷4＋1 .

2、实心方阵的数量关系为：总数＝外层每边数×外层每边数＝（外层每边数）2

3、空心方阵的数量关系为：总数＝（外层每边数－层数）×层数×4

或总数＝实心方阵总数－中间空心方阵总数

最内层每边数＝外层每边数－2×（层数－1）

最外层每边数＝总数÷4÷层数＋层数

【例1】一个实心方阵，最外一层每边12人。

（1）那么整个方阵一共有。

（2）最外面一层共有。

（3）从外向内数，第二层每边有人，一共有人。

（4）如果考虑最外面三层，那么这三层共有人。

（5）如果将方阵外面增加一层，那么一共增加人。

随堂练习1用64枚棋子摆成一个实心方阵。

（1）每边有枚棋子。

（2）最外层有枚棋子。

（3）从外向内数，第二层每边有枚棋子，第二层共有枚棋子。

【例2】有一块空地在进行种树绿化，打算把树种成实心方阵的样子，方阵最外面一周有60棵树，问这个方阵最外层每边有多少棵树？这块空地一共需要多少棵树？

随堂练习2三年级学生排成一个实心方阵，最外一层的人数为36人，问：方阵最外层每边有多少人？这个方阵共有三年级学生多少人

【例3】小刚在用棋子摆好的实心方阵上又添了17枚棋子，它的横竖各增加了一排，成了大一点的实心方阵。求原来实心方阵有多少枚棋子？

随堂练习3 军训的学生进行队列表演，排成了一个5行5列的正方形队形，如果去掉一行一列，要去掉多少人？

【例4】有一个正方形的稻田，四个角上都放1个稻草人，如果每边放5个，四边一共放多少个稻草人？ 解析：可以按每边5个计算，四个角各多1次；可以按每边4个计算，恰好分4组；可以按每边3个计算，四

个角各少算1次。这样可以有多少种方法求出放稻草人的个数。（先圈一圈）

解法一：

解法二：

解法三：

随堂练习4

（1）有围棋子若干，恰好可以排成每边10颗的正方形，棋子总数有多少？

【例5】大家要用盆花在空地上摆出一个空心方阵花坛，最外面的一层每边摆12盆花，共3层，一共要用多少盆花？

随堂练习5

（1）四年级学生排成一个中空方阵，最外层人数共52人，最内层人数共20人，四年级学生共有多少人？

【例6】用64枚棋子摆成一个两层中空方阵，如果想在外面再增加一层，问：需要增加多少枚棋子？

随堂练习6 由120人排成一个3层的中空方阵，这个方阵的最外层有多少人？

（1） （2） （3）

2018.7.4 课外练习

1．一个由学生组成的体操方阵，最外层每边有12人，最外层一共有多少人？

2．一个正方形实心方阵，最外层有84人。这个方阵共有多少人？

3．一个四层的中空方阵，最里面一层有28人，最外面一层有多少人？

4．由220人排成一个5层的中空方阵。这个方阵的最外层有多少人？

5．希望小学四（3）班同学进行队列表演，排成一个7行7列的正方形方阵，如果去掉一行一列要减少多少人？