基于小波变换的图像处理

基于小波变换的数字图像处理

摘要：本文先介绍了小波分析的基本理论，为图像处理模型的构建奠定了基础，在此基础上提出了小波分析在图像压缩，图像去噪，图像融合，图像增强等图像处理方面的应用,最后在MATLAB环境下进行仿真，验证了小波变化在图像处理方面的优势。

关键词：小波分析；图像压缩；图像去噪；图像融合；图像增强

引言

数字图像处理是利用计算机对科学研究和生产中出现的数字化可视化图像

信息进行处理，作为信息技术的一个重要领域受到了高度广泛的重视。数字化图像处理的今天，人们为图像建立数学模型并对图像特征给出各种描述，设计算子，优化处理等。迄今为止，研究数字图像处理应用中数学问题的理论越来越多，包括概率统计、调和分析、线性系统和偏微分方程等。

小波分析，作为一种新的数学分析工具，是泛函分析、傅立叶分析、样条分析、调和分析以及数值分析理论的完美结合，所以小波分析具有良好性质和实际应用背景，被广泛应用于计算机视觉、图像处理以及目标检测等领域，并在理论和方法上取得了重大进展，小波分析在图像处理及其相关领域所发挥的作用也越来越大。在传统的傅立叶分析中，信号完全是在频域展开的，不包含任何时频的信息，其丢弃的时域信息可能对某些应用同样非常重要，所以人们对傅立叶分析进行了推广，提出了很多能表征时域和频域信息的信号分析方法，如短时傅立叶变换，Gabor变换，时频分析，小波变换等。但短时傅立叶分析只能在一个分辨率上进行，所以对很多应用来说不够精确，存在很大的缺陷。而小波分析则克服了短时傅立叶变换在单分辨率上的缺陷，在时域和频域都有表征信号局部信息的能力，时间窗和频率窗都可以根据信号的具体形态动态调整。

本文介绍了小波变换的基本理论，并介绍了一些常用的小波函数，然后研究了小波分析在图像处理中的应用，包括图像压缩，图像去噪，图像融合，图像增强等,本文重点在图像去噪，最后用Matlab进行了仿真[1]。

1小波分析理论

小波分析的思想最早出现在1910年Haar 提出了小波规范正交基。1981年，Stromberg 对Haar 系进行了改造，为小波分析奠定了基础。1986年Meyer 和Lemarie 提出了多尺度分析的思想。后来信号分析专家Mallat 提出了多分辨分析的概念，给出了构造正交小波基的一般方法，并以多分辨分析为基础提出了著名的快速小波算法——Mallat 算法。Mallat 算法的提出标志着小波理论获得突破性进展，从此，小波分析从理论研究走向了应用研究。通过小波分析，可以将各种交织在一起的由不同频率组成的混合信号分解成不同频率的块信号，能够有效地解决诸如数值分析、信号分析、图像处理、量子理论、地震勘探、语音识别、计算机视觉、CT 成像、机械故障诊断等问题。

1.1 小波及小波变换

小波的核心作用是用小波及其伸缩和平移来表示函数和信号，不但具有局部化时频分析能力，而且时间分辨率和频率分辨率均可以调整。

定义：设 )()(2R L t ∈ψ,其傅立叶变换为)(ˆωψ，当)(ˆωψ满足允许条件（完全重构条件或恒等分辨条件）

⎰=R

d C ωωωψ

ψ2

)(ˆ< ∞ 时，我们称)(t ψ为一个基本小波或母小波。将母函数)(t ψ经伸缩和平移后得

)(

1)(,a

b

t a

t b a -=

ψψ 0;,≠∈a R b a 称其为一个小波序列。其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。对于任意的函数

)()(2R L t f ∈的连续小波变换为

dt a

b

t t f a

f b a W R

b a f )(

)(,),(2

/1,->==<⎰

-ψψ 其重构公式（逆变换）为 ⎰⎰∞

∞-∞

∞--=

d a d b a

b t b a W a C t f f

)(),(11)(2ψψ

把连续小波变换中的尺度参数a 和平移参数b 进行离散化：j a a 0=，

00b ka b j =，其中Z j ∈,为了方便起见，总是假设a 0>0，则得到离散小波函数

)()()(002/00

002/0

,kb t a a a b ka t a t j j j

j j k j -=-=---ψψψ 相应的离散小波变换

dt kb t a t f a t f b a W j

R

a b a f )()()(,),(002/0,->==<--⎰

ψψ 其重构公式为

)(,)()()()(,),(,,,002/0,t f t dtf kb t a t f a t f b a W b a Z

b a b a a

R

a b a f ψψψψ∑⎰

∈--><

=->==<

由于基小波)(t ψ生成的小波)(,t b a ψ在小波变换中对被分析的信号起着观测窗的作用，所以)(t ψ还应该满足一般函数的约束条件

⎰

∞

∞

-dt t )(ψ〈∞

故)(ˆωψ

是一个连续函数。这意味着，为了满足完全重构条件式, )(ˆωψ在原点必须等于0，即

0)()0(ˆ==⎰∞

∞

-dt t ψψ

为了使信号重构的实现在数值上是稳定的，除完全重构条件外，还要求小波

)(t ψ的傅立叶变化满足下面的稳定性条件： ∑∞

∞--≤≤B A j 2

)2(ˆωψ

式中0〈A ≤B 〈∞。

1.2常用小波基介绍[3]

(1)Haar 小波

Haar 于1990年提出一种正交函数系,定义如下：

⎪⎩

⎪

⎨⎧-=011

H

ψ 其它12/12/10<≤≤≤x x 这是一种最简单的正交小波，即

0)()(=-⎰

∞

∞

-dx n x t ψψ ,2,1±±=n …

(2)Daubechies （dbN ）小波系

该小波是Daubechies 从两尺度方程系数{}k h 出发设计出来的离散正交小波。一般简写为dbN ，N 是小波的阶数。小波ψ和尺度函数中的支撑区为2N-1。ϕ的消失矩为N 。除N ＝1外(Haar 小波)，dbN 不具对称性(即非线性相位)，没有显式表达式(除N ＝1外)。但{}k h 的传递函数的模的平方有显式表达式。假设