2016高考数学全国1卷导数压轴题《极值点偏移问题》.

例: 已知函数 f ( x) x e
x
x1 x2 2 (2)若 x1 x2 , f ( x1 ) f ( x2 ) , 求证： (1 x ) x 1 (1 x)e 解: 令 F ( x) f (1 x) f (1 x) (1 x)e
则 F '( x) x[e
f ( x0 x) 与 f ( x0 x) 大小，从而确定
x1 与 2x0 x2 大小.
极值点居中
极值点偏移
例: 已知函数 f ( x) x e
x
(1) 求函数 f ( x) 的单调区间和极值
x1 x2 2 (2)若 x1 x2 , f ( x1 ) f ( x2 ) , 求证：
解: (1) f '( x) e x (e ) (1 x)e
x 1
e
(1 x )
F '( x) 0 ], 当 x 0 时，
F ( x)在 0， + 上单调递增，又F (0) 0 F ( x) 0
f (1 x) f (1 x), 不妨设 x1 1 x2 , 令 1 x x 2
f ( x2 ) f (2 x2 ) f ( x1 ) f (2 x2 )
f ( x1 ) f ( x2 )
不妨设
x1 1 x2 ,
只需证 f ( x1 ) Baidu Nhomakorabea f (2 x2 )
只需证 f ( x2 ) f (2 x2 )
原始型差函数
x1, 2 x2 ,1
构造
对称型差函数
F ( x) f ( x) f (2 x)
F ( x) f (1 x) f (1 x)
x 1 f '( x) 0,
x x x
x 1 f '( x) 0
1 f ( x)极大值 =f (1) e
f ( x) 在(,1)单调递增， 在 (1, )单调递减
又 x 1 f '( x) 0,
要证 x1 x2 2
只需证 x1 2 x2
x1 1, 2 x2 1, 而 f ( x) 在 (,1)上单调递增
x1 2 x2 ,
x1 x2 2
极值点偏移问题的求解步骤
1. 构造函数 F ( x) f ( x0 x) f ( x0 x) ； 2. 求导判断函数 F ( x) 单调性； 3. 根据 F (0) 0判断 f ( x0 x), f ( x0 x) 大小； 4. 结合 f ( x1 ) f ( x2 ) 及 f ( x) 单调性，判断