第三章(1)连续信号的傅里叶级数分解

0 T
, ,
mn mn
二、信号分解为正交函数
设有n个函数 1 (t ) , 2 (t ) , ...., n (t ) 在区间 (t1 , t 2 ) 构成 一个正交函数空间。将任一函数 f (t )用这 线性组合来近似，可表示为：
n 个正交函数的
f (t ) C1 1 ( t ) C 2 2 ( t ) ...... C n n ( t ) C j j ( t )
3.1 信号分解为正交函数
信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的
概念相似。
y
A C1v x C2v y
C 2v y
A
vx , v y
为各相应方向的正交单位矢量。
C1v x
x
它们组成一个二维正交矢量集。 矢量正交分解的概念可以推广到信号空间，在信号空 间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信 号空间中的任意信号均可表示成它们的线性组合。
j 1
n
根据最小均方误差原则，可推出：
Ci

t2
t1
f ( t ) i ( t )dtt2 t1来自 i 2 ( t )dt
t2 2 t1
1 Ki

t2
t1
f ( t ) i ( t )dt
式中： K
i
i (t )dt
如果分解的项数越多则误差愈小。即
n
，均
方误差 2 0 ，即 f ( t ) 在区间 (t1 , t 2 )内分解为无穷多项 之和。
一、正交函数集
（1）正交函数 在 [t1 , t 2 ] 区间上定义的非零实函数
1 ( t )和 2 ( t )
若满足条件

t2
t1
1 (t ) 2 (t )dt 0
则函数 1 ( t ) 与 2 ( t ) 为在区间 [t1 , t 2 ] 的正交函数。
在区间 [t1 , t 2 ] 上的n个函数（非 1 (t ) …… n (t ) ,其中任意两个均满足 零）
, ,
n 0 , 1 , 2 ,...... n 1 , 2 , .....
T 2 2 an T f ( t ) cos(nt )dt T 2 T 2 b 2 nt )dt n T T f ( t ) sin( 2
, ,
n 0 , 1 , 2 ,...... n 1 , 2 , .....
，则称此复函数集为正 交函数集。
复函数集 {e
t0 T
jnt
} (n 0 , 1 , 2 , ....) 在区间
jnt
(t0 , t0 T )
内是完备的正交函数集。

t0
e
jmt
(e
) dt
t0 T
t0
e
j ( m n ) t
dt
2 其中 T 。
a0 an cos(nt ) bn sin(nt ) 2 n1 n 1 2 其中 an , bn 称为傅里叶系数， 。 T
那么,傅里叶系数如何求得呢?
a0 1 2 T

T 2 T 2
f ( t )dt
2 T 2 a nt )dt n T f ( t ) cos( T 2 T b 2 2 f ( t ) sin( n t ) dt T n T 2
an是 由上式可见，
n
a a n的偶函数 ， b b b 是n 的奇函数，
{e
jnt
} (n 0 , 1 , 2 , ....)
一、周期信号的分解
设有一个周期信号 f ( t ) ，它的周期是 T ，角频率
2 2F ，它可分解为： T
a0 f ( t ) a1 cos(t ) a2 cos(2t ) ...... 2 b1 sin( t ) b2 sin( 2t ) .....
2 T
在区间 (t0 , t0 T ) 内组成完备正交函数集。 对于复函数: 若复函数集 i (t ) (i 1 ,
t2
2 , ....., n) 在区间
(t1 , t 2 )
满足
i j 0 t1 i (t ) j (t )dt ki 0 i j
之外不存在函数
(t ) 满足等式 t i (t ) (t )dt 0
t2
1
i 1,2,.......,n
，则称该函数集为完备正交函数集。
1 , cost
, cos2t , ... , cos(mt ) , ... , sint , sin2 t ,..,sin(nt ),...
3.2 傅里叶级数
将周期信号 f (t ) f (t mT ) 在区间 t 0 , t0 T 内展开成完
备正交信号空间中的无穷级数。如果完备的正交函数集 是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的 无穷级数就分别称为“三角形傅里叶级数”或“指数形 傅
里叶级数”，统称为傅里叶级数。 1 , cos t , cos2 t , ... , cos(m t ) , ... t , ... , sin(n t ) ,... sin t , sin2
（2）正交函数集

k i 为常数，则称函数集 (t ).........
1
i j 0, i (t ) j (t )dt t1 ki 0, i j
t2
n
(t )
为区间
[t1 , t 2 ] 内的正交函数集。
（3）完备正交函数集
1 (t )......... n (t ) 如果在正交函数集
第三章
傅里叶变换和系统的频域分析
本章主要内容:
3.1 信号分解为正交函数 3.2 傅里叶级数 3.3 周期信号的频谱 3.4 非周期信号的频谱（傅里叶变换） 3.5 傅里叶变换的性质 3.6 周期信号的傅里叶变换 3.7 LTI连续系统的频域分析 3.8 取样定理 变换域分析的基本思想仍为：将信号分解为基本信号之和 或积分的形式，再求系统对基本信号的响应，从而求出系统对 给定信号的响应（零状态响应）。