《高等数学》第七章 6空间直线及其方程

1,3,10.
4,1,1
131,3,1.
在L1上任取一点(3,0,-6),
则1： ( x 3) 3( y 0) (z 6) 0
即 x 3 y z 9 0,
L1
1
x 3y z 9 0
L:
4
x

y

z

1

. 0
L
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x 3y z 9 0
4 x

y

z

1

. 0
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L
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例7
求直线
2x L1 3x

4y z 0 y90
在平面 : 4x y z 1 内的投影直线L的方程.
解法取二s1：n先12求,s14,11的n方3程1,,31,1,00
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二、线面间的位置关系
1. 两直线的夹角
两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)
设直线 L1 , L2 的方向向量分别为
则两直线夹角 满足
cos s1 s2
s1 s2
L1
s1
L2
s2

m1m2 n1n2 p1 p2
m12 n12 p12 m22 n22 p22
交已知直线的两平面的法向量为
s n1 , s n2 s n1 n2
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i jk
s n1 n2 1 1 1 (4, 1, 3) 2 1 3
故所给直线的对称式方程为 x 1 y
t
4 1
参数式方程为
解题思路: 先找直线上一点; 再找直线的方向向量.
m
n
p
得参数式方程 :
x x0 mt y y0 nt
z z0 pt
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P331-1
例1.用对称式及参数式表示直线
解:先在直线上找一点.
令 x = 1, 解方程组
y z 2 y 3z 6
,得
y

0,
z

2
是直线上一点 .
再求直线的方向向量 s .
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4 点到直线的距离
设直线L,
s

m, n,
p,
z
P0 x0 , y0 , z0 是L外一点,
求P0到L的距离d .
设 P1 x1 , y1 , z1 为L上
任一点，如图
P1 s
o
x
S
s d, 又 S
P1 P0 s ,
于是
P0 x0 , y0 , z0
第六节
第七章
空间直线及其方程
一、空间直线方程 二、线面间的位置关系
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一、空间直线方程
1. 一般式方程 直线可视为两平面交线，因此其一般式方程
A1x B1y C1z D1 0
z
注：(不唯一)
（两平面不平行）
o x
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L 1 y 2
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2. 对称式方程
故先求1.
L1
1
设过直线L1的平面束方程为:
L
2x 4 y z t3x y 9 0

即1 : （2＋3t)x (4 t) y z 9t 0
则 1的法向量
n1

2

3t,

4

t,
1
又 的法向量
n

4,1,1
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的平面束.
L
设直线 L的一般方程为: 1 : A1 x+B1 y+C1 z+D1 =0
2 1
2 : A2 x+B2 y+C2 z+D2 =0
求L的平面束方程.
分析: 构造平面族: （t为任意实数）
A1 x+B1 y+C1 z+D1+ t(A2 x+B2 y+C2 z+D2 )=0 即 (A1 +t A2 )x+(B1 + t B2 )y+(C1 + t C2 )z+(D1 + t D2 )=0 (*)
3＋（－1）＝0 ＝3,
将＝3代 入(*)式 得
： 7 x 7 y 2z 1 0.
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P335-7
例7 求直线
2x 4 y z 0 L1 3x y 9 0
在平面 : 4x y z 1 内的投影直线L的方程.
解: 显然，L是过L1的平面1与的交线,且1⊥ .
x 1 y 2 z 4 2 3 1
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3 直线与平面的交点
设直线L： x x0 y y0 z z0 ,
m
n
p
平 面Π： Ax By Cz D 0
L与Π不 平 行 ， 求L与Π的 交 点 .
解题步骤：
1. 写 出L的 参 数 方 程 ： x x0 mt, y y0 nt, z z0 pt
特别有:
(1) L
s // n
(2) L //
sn
ABC mn p Am BnC p 0
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P333-3
例3. 求过点(1,－2 , 4) 且与平面
垂
直的直线方程.
解: 取已知平面的法向量 n (2, 3, 1)
n
为所求直线的方向向量. 则直线的对称式方程为
直线
L1：x
x1 m1

y
y1 n1

z
z1 p1
,
直线
L2：x
x2 m2

y
y2 n2

z
z2 p2
,
L1 L2
s1 s2 0
L1 // L2
s1 s2 0
夹角公式: cos s1 s2
s1 s2
m1 n1 p1 m2 n2 p2
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1与2不平行且L上点的坐标必满足(*).
2. 过L的任何平面( ∏2除外)都包含在(*)所表示的 平面族内. 事实上,设 M0 ( x0 , y0 , z0 )为L外任一点，可取
t0


A1 x0 A2 x0
B1 y0 B2 y0
C1z0 C2z0

D1 D2
,
则M0满足(*).
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例6 求过直线L

1 2
: :
x 2y z1 0 2x 3y z 0
和点M0(1,2,3)的平面方程.
解 设的方程为： ( M0 2 不是2 )
x 2 y z 1 (2x 3 y z) 0 (*)
将M 0 1,2,3代 入 上 式 ， 得
L
分析: 关键是求得直线上另外 M

一个点 M1. M1在过M且平行
1
M1
于 平面 的一个平面1上,

待求直线又与已知直线相交,
交点既在1上,又在 L上,因此是L与1的交点.
解 过M作平行于 平面 的一个平面1
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1: 6( x 1) 2( y 2) 3(z 3) 0 即1: 6x 2 y 3z 1 0
夹角公式： sin s n
sn
L


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思考与练习
P335 题2, 10
作业 P335 3，4，5，7，9
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练习题
一直线过点 又和直线
且垂直于直线 L1
:
x 1 3

y 2Βιβλιοθήκη z1, 1相交,求此直线方程 .
2. 代入平面Π的方程，求得t的值t0 , 3. 代t0入L的参数方程，即可得交点坐标。
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例4 求过点 M (-1,2,-3), 且平行于平面
: 6x 2 y 3z 1 0, 又与直线
L : x 1 y 1 z 3 , 相交的直线方程.
3
2 5
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参考P332-2 例2. 求以下两直线的夹角 解: 直线 的方向向量为
L2
:

x y20 x 2z 0
i jk
直线 的方向向量为 s2 1 1 0 (2, 2, 1)
二直线夹角 的余弦为
10 2
1 2 (4) (2) 1 (1)
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cos s1 s2
m1m2 n1n2 p1 p2
s1 s2
m12 n12 p12 m22 n22 p22
特别有:
(1) L1 L2
s1 s2 m1m2 n1n2 p1 p2 0
(2) L1 // L2
s1 // s2 m1 n1 p1 m2 n2 p2
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内容小结
1. 空间直线方程
一般式

A1x A2 x

B1 B2
y y

C1z C2 z

D1 D2
0 0
对称式
参数式

x y

x0 y0
m n
t t
z z0 p t
(m2 n2 p2 0)
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2. 线与线的关系
则 1的法向量 又 的法向量
n1

2

3t,

4

t,
1
n

4,1,1
1

n1 n 0
即: 4(2 3t) (4 t) 1 0
解得 t 1,
于是投影平面1：x 3 y z 9 0.
投影直线L的方程为:
L1
1
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分析: 构造平面族: （t为任意实数）
A1 x+B1 y+C1 z+D1+ t(A2 x+B2 y+C2 z+D2 )=0 即 (A1 +t A2 )x+(B1 + t B2 )y+(C1 + t C2 )z+(D1 + t D2 )=0 (*)
则 1.(*)式为过直线L的平面方程.
例如, 当 m n 0, p 0 时, 直线方程为

x y

x0 y0
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1. 一般式方程
A1x B1y C1z D1 0
2. 对称式方程
x x0 y y0 z z0
m
n
p
3. 参数式方程
设 x x0 y y0 z z0 t
则直线与平面夹角 满足
︿ sin cos( s , n )
ns L

sn
Am Bn C p
sn
m2 n2 p2 A2 B2 C2
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︿ sin cos( s , n )
sn
Am Bn C p
sn
m2 n2 p2 A2 B2 C2
求平面 1与已知直线 L的交点
6x 2 y 3z 1 0


x
3
1

y1 2
z3 5
t
L
解得，t 0,M1(1, 1,3), M
s MM1 (2,3,6),

1

M1
x 1 y 2 z 3

2 3 6
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y
L
P1 P0 s
sd
P1 P0 s d . 点到直线的距离公式
s
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例5 求点(5,4,2)到直线 x 1 y 3 z 1
2
3 1
的距离d.
解
P0
5,4,2,
取P1

1,3,1,
s

2,3,1,
则 P1P0 6,1,1,
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3. 面与线间的关系
平面 : Ax B y C z D 0, n (A, B ,C )
直线 L : x x y y z z , s (m, n, p) mn p
L⊥
sn0
mn p ABC
L //
sn0
mAnB pC 0
已知直线上一点 M 0 (x0 , y0 , z0 )和它的方向向量
设直线上的动点为 M (x, y, z)
s
则
M (x, y, z)
故有
x x0 y y0 z z0
m
n
p
M 0 (x0 , y0 , z0 )
此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程) 说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.
cos
12 (4)2 12 22 (2)2 (1)2
从而
4
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2. 直线与平面的夹角
当直线与平面不垂直时, 直线和它在平面上的投影直
线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;
当直线与平面垂直时,规定其夹角
设直线 L 的方向向量为 s (m, n, p) 平面 的法向量为 n (A, B,C )
s
22 32 12
14,

i jk
则
P1P0 s 6
1
1
4, 8, 16
2 3 1

P1P0 s 42 82 162
d
2 6.
s
14
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5 平面束
通过定直线 L的所有平面的集合称为该直线 L