灰色预测模型

x
(0)
(k ) az
(k ) b
为GM(1,1)模型的基本形式。
注意：原始序列 X
(0)
x
(0)
(0)
1 , x
(0)
2 , , x
(0)
n
必是非负的，其中 x
( k ) 0 ， 1, 2, , n k
。
若原始序列 X ( 0 )不是非负的，则需要对 X ( 0 ) 中
■
灰色模型的优点
1、不需要大量的样本。
2、样本不需要有规律性分布。
3、计算工作量小。 4、定量分析结果与定性分析结果不会不一致。 5、可用于近期、短期，和中长期预测。 6、灰色预测精准度高。
2、灰色系统的基本原理
公理1、差异信息原理。“差异”是信息，凡信息必有差 异。 公理2、解的非唯一性原理。信息不完全、不确定的解是 非唯一的。该原理是灰色系统理论解决实际问题所遵循的 基本法则。 公理3、最少信息原理。灰色系统理论的特点是充分开发 利用已占有的“最少信息”。 公理4、认知根据原理。信息是认知的根据。 公理5、新信息优先原理。新信息对认知的作用大于老信 息。 公理6、灰性不灭原理。“信息不完全”是绝对的。
(k ) ax
(1)
(k ) b
为GM(1,1)模型的原始形式。 定义2 设Z
(1 )
(1 )

z 1 , z 2 , , z n ，
(1 ) (1 ) (1 )
其中 z
k

0 .5 x
(1 )
( k ) 0 .5 x
(1)
(1 )
( k 1) ，则称
GM(1,1)的符号含义：
G
M
( 1,
1)
Grey
Model
灰色
模型
1阶方程
1个变量
定义1
X
(1)
设
(1)
X
(0)
x
(0)
1 , x
(1)
(0)
2 , , x
(0)
n ，和

x 1 , x 2 , , x n ，则称
(1)
x
(0)
则其最小二乘估计参数列满足
ˆ P

ˆ ˆ a, b

T

BB
T

1
B Y
T
问题2 关于GM(1,1)模型 x ( 0 ) ( k ) a z (1 ) ( k ) b 的解 如何确定？ 1、利用离散数据序列建立近似的微分方程模型：
dx
(1 )
ax
(1 )
b
(白化方程)
dt
( k 2, 3, , n )
4、
原始数据序列 X
(0)
的预测值：
ˆ (0) b ak ˆ ˆ (0) (1) (1) a ˆ ˆ ˆ x ( k 1) x ( k 1) x ( k ) 1 e x (1) e ˆ a
注意
2、解得其时间响应函数为：
x
(1)
b ak b (0) ( t ) x (1) e a a
3、解得时间响应序列为：
ˆ ˆ (0) b ak b ˆ (1 ) ˆ x ( k 1) x (1) e ˆ ˆ a a
表：某城市近年来交通噪声数据[dB(A)]
序号 5 6 7
年份 1990 1991 1992
Leq 71.4 72.0 71.6
第一步：级比检验，建模可行性分析 1.建立交通噪声平均声级数据时间序列：
X
(0)

x
(0)
1 , x
(0)
2 , , x
(0)
7
(7 1 .1, 7 2 .4, 7 2 .4, 7 2 .1, 7 1 .4, 7 2 .0, 7 1 .6 )
3.揭示潜藏在序列中的递增势态，变不可比为可比序列。
常见的几种灰生成类型：
1. 累加生成算子（AGO） 2. 逆累加生成算子（ IAGO） 3. 均值生成算子（MEAN） 4. 级比生成算子
1. 累加生成算子（AGO）
定义 它是对原序列中的数据依次累加以得到 生成序列。令x ( 0 ) 为原序列
真实值
(0)
预测值
ˆ (k ) x
q (k )
(0)
(k )
x
(0)
相对误差： ( k )
x
(0)
100%
ˆ (k ) x x
(0)
(0)
(k )
100%
(k )
(k )
平均相对误差： ( a v g )
n 1
1
n
(k )
k 2
精度： p 1 ( a vg ) 1 0 0 %
0
建立灰色预测模型的一般步骤
第一步：级比检验，建模可行性分析。
第二步：数据变换处理。 第三步： 用GM(1,1)建模。
第四步：模型检验。
灰色建模实例 北方某城市1986-1992年交通噪声平均声级数据
序号 1 2 3 4 年份 1986 1987 1988 1989 Leq 71.1 72.4 72.4 72.1
X
(0)

x 1 , x 2 , , x n
(0) (0) (0)
我们说 X
(1)
是 X ( 0 ) 的AGO序列，并记为
X
(1)
AGO X
(1 )
(0)
当且仅当
X
(1 )

x
(1 )
1 , x
2 Fra Baidu bibliotek , x
(1 )
n
并满足 x (1 ) ( k )
3、灰数及其运算
只知道大概范围而不知道其确切值的数称为灰 数，通常记为：“”。 例如： 1. 头发的多少才算是秃子。应该是个区间范 围。模糊 2.多少层的楼房算高楼，中高楼，低楼。 3.多么重才算胖子？。
灰数的种类：
a、仅有下界的灰数。 有下界无上界的灰数记为： ∈[a, ∞] b、仅有上界的灰数。 有上界无下界的灰数记为： ∈[-∞ ,b] c、区间灰数 既有上界又有下界的灰数： ∈ [a, b] d、连续灰数与离散灰数 在某一区间内取有限个值的灰数称为离散灰 数，取值连续地充满某一区间的灰数称为连续 灰数。
1.
ˆ x
(0)
( k ) ( k 1, 2 , , n ) 是原始数据序列 x ( 0 ) ( k )
( k 1, 2 , , n ) 的拟合值。
ˆ x
(0)
2.
( k ) ( k n ) 是原始数据序列预测值。
问题3
如何检验GM(1,1)模型的精度？
残差： q ( k ) x
X
(1)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
2. 逆累加生成算子（IAGO）
定义 它是对AGO生成序列中相邻数据依次累 减，又称累减生成。令X ( 0 )为原序列
X
(0)

x
(0)
1 , x
(0)
2 , , x
(0)
(0)
n
T
(0)
(k ) az
(1 )
( k ) b 的参
为参数列，且
(0)
x (2) (0) x (3) Y (0) x (n)
z (2) (1 ) z (3) B (1 ) z (n)
(1 )
1 1 1
4、灰生成技术
灰色序列生成 是一种通过对原始数据的挖掘、整理来寻求数据变化 的现实规律的途径，简称灰生成。
灰生成特点
在保持原序列形式的前提下，改变序列中数据的值与 性质。一切灰色序列都能通过某种生成弱化其随机性， 显现其规律性。 灰生成的作用 1.统一序列的目标性质，为灰决策提供基础。
2.将摆动序列转换为单调增长序列，以利于灰建模。
称 Y 是 X 的IAGO序列，并记为
(0)
Y IA G O X
当且仅当
Y
y (1), y ( 2 ), , y ( n )
y (k ) x
(0)
并 y ( k ) Y 满足
(k ) x
(0)
( k 1)
例2 令原始序列 X ( 0 ) 为
X
(0)
x
(0)

m 1
k
x
(0)
(m )
( k 1, 2 , , n )
例1 摆动序列为： X
(0)
1, 2, 1 .5, 3
通过AGO可以加工成单调增序列：
AGO X
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
(0)
X
(1)
(1, 3, 4 .5, 7 .5)
10 9
X
(0)
8 7 6 5 4 3 2 1 0
2 2
由于所有的 ( k ) [0 .7 7 8 8 0 0 7 8 3,
( k 2 , 3, , 7 ) ，故可以用X
(0)
1 .2 8 4 0 2 5 4 1 7 ]，
作满意的GM(1, 1)
建模。
第二步： 用GM(1,1)建模 1. 对原始数据 X 作一次累加：
(0)
x
(1 )
(k )

m 1
k
x
(0)
( m ) ( k 1, 2 , , 7 )
(1)
(1 )
n
称 Z (1 ) 为X (1) 的MEAN序列，并记为
(1)
M EAN X
当且仅当
Z
(1 )

(1)
z
(1 )
1 , z
(1)
(1 )
2 , , z
(1 )
n
并且每个z
(k ) Z
满足下述关系
z
(1 )
k

1 2
x
(1 )
(k ) x
2. 求级比： ( k )
x
(0)
( k 1) (k )
x
(0)
( 2 ), (3), (7 )
(0.9820, 1.0000, 1.0042, 1.0098, 0.9917, 1.0059)
3.
n 1 n 1 , e 级比判断： ( k ) e
的元素做平移变换，即令 x +( 0 ) ( k )
k 其中 0 ， 1, 2, , n 。
x
(0)
(k )
显然，由此得到的累加生成序列 X (1) 和均 值生成序列 Z (1 ) 都是非负的。
问题1 关于GM(1,1)模型 x 数a和b如何确定？ 若P ( a , b )
灰色预测模型
1、灰色系统介绍
灰色系统是由华中科技大学的邓聚龙教授80 年代初所创立，在短短的三十年里已得到了长足 的发展。
■
灰色系统研究的是“部分信息明确，部分信息 未知”的“小样本，贫信息”不确定性问题，并 依据信息覆盖，通过序列算子的作用探索事物运 动的现实规律。其特点是“少数据建模”，着重 研究“外延明确，内涵不明确”的对象。
1 , x
X
(0)
2, x
(0)
3 , x
(0)
4, x
(0)
5
(1,1,1,1,1)
AGO X
(0)
(1)
(1, 2 , 3, 4 , 5 )
IA G O X
(1)
1, 2 1, 3 2 , 4 3, 5 4
(1,1,1,1,1)
(0) (0) (0)
2 n 1
2
(k ) (e
, e n 1 )
时，序列 X (1) 可做GM(1,1)建模。
5、GM（1，1）模型
灰色理论认为系统的行为现象尽管是朦胧的，数 据是复杂的，但它毕竟是有序的，是有整体功能 的。灰数的生成，就是从杂乱中寻找出规律。同 时，灰色理论建立的是生成数据模型，不是原始 数据模型。 因此，灰色预测的数据是通过生成数据的GM(1,1) 模型所得到的预测值的逆处理结果。
这表明
IA G O X
(1)
IA G O ( A G O X
(0)
) X
(0)
3. 均值生成算子（MEAN）
定义 它是将AGO序列中前后相邻两数取平均数， (1) 以获得生成序列。令 X 为X ( 0 ) 的AGO序列
X
(1 )

x
Z
(1 )
1 , x
(1 )
2 , , x
4. 级比生成算子 定义 设序列X x
(0)
(0)
1 , x
(0)
2 , , x
(0)
n ，则称
(k )
x
(0)
( k 1) (k )
x
(0)
, k 2, 3, , n .
为序列 X
(1)
的级比。 设序列 X
(0)
检验准则 的级比满足


x 1 , x 2 , , x n
(1 )
( k 1)
例3 对于 X
M EAN Z
(1)
(1)
(1, 2, 3, 4, 5) ，有
(1), z
(1)
z
(1)
( 2 ), z
(1)
(3), z
(1)
(4)
0 .5 (1 2 ), 0 .5 ( 2 3), 0 .5 (3 4 ), 0 .5 ( 4 5 ) 1 .5, 2 .5, 3 .5, 4 .5