高等代数 第9章矩阵的标准型 9.5 矩阵的最小多项式

g1 ( x ) cg2 ( x ), c 0
又 g1 ( x ), g2 ( x ) 都是首1多项式, 故
c 1
g1 ( x ) g2 ( x ).
§7.9 最小多项式
2.（引理2）设 g ( x )是矩阵A的最小多项式，则
f ( x ) 以A为根 g ( x ) f ( x ).
则 的最小多项式与A的最小多项式相同,设为 g( x ), 则
g( )(V ) 0.
§7.9 最小多项式
若 g ( x )为P上互素的一次因式的乘积：
g( x ) ( x a1 )( x a2 )...( x as )
则
V V1 V2 ... VS ,
其中 Vi { | V ,( ai E )( ) 0}. （此结论的证明步骤同定理 12） ,VS各自的基合起来就是 把V V的一组基. 1 ,V2 , 在这组基中，每个向量都属于某个 Vi ， 即是 的 特征向量. 所以, 在这组基下的矩阵为对角矩阵.
例1、数量矩阵 kE的最小多项式是一次多项式 x k; 特别地，单位矩阵的最小多项式是 x 1 ； 零矩阵的最小多项式是 x . 反之，若矩阵A的最小多项式是一次多项式，则 A一定是数量矩阵.
1 1 0 例2、求 A 0 1 0 的最小多项式. 0 0 1
§7.9 最小多项式
即 | E A || E B | . 所以，A与B不相似.
§7.9 最小多项式
5.（引理3）设A是一个准对角矩阵
A1 0 A 0 A 2 并设 A1 , A2 的最小多项式分别为 g1 ( x ), g2 ( x ).
则A的最小多项式为 g1 ( x ), g2 ( x )的最小公倍式. 证：记 g( x ) [ g1 ( x ), g2 ( x )]
§7.9 最小多项式
0 ( J aE )k 1 0 1 0
0. 0
6.（定理13） A P nn与对角矩阵相似
A 的最小多项式是P上互素的一次因式的积.
证：由引理3的推广，必要性显然. 只证充分性. 根据矩阵与线性变换之间的对应关系， 设V上线性变换 在某一组基下的矩阵为A，
解：A的特征多项式为
x 1 1 0 f ( x ) | xE A | 0 x 1 0 ( x 1)3 0 0 x 1
又 A E 0,
( A E )2 A2 2 A E
1 2 0 2 2 0 1 0 0 0 1 0 0 2 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 1
如：
1 0 A 0 0
1 1 0 0
0 0 1 0
0 1 0, B 0 0 0 0 2
1 1 0 0
0 0 2 0
0 0 0 2
2 ( x 1) ( x 2), 但A与B不相似. 的最小多项式皆为
| E A | ( x 1)3 ( x 2), | E B | ( x 1)2 ( x 2)2
1 1 x 1
( x n) x n1
又
A 0, A nE 0, A2 0
A( A nE ) 0.
而
A 的最小多项式为 x( x n).
§7.9 最小多项式
§7.9 最小多项式
由最小多项式的定义， r ( x ) 0.
g ( x ) f ( x ).
由此可知： 若 g ( x )是A的最小多项式，则 g ( x )整 除 任何一 个以A为根的多项式，从而整除A的特征多项式. 即
3. 矩阵A的最小多项式是A的特征多项式的一个
因子.
§7.9 最小多项式
则A的最小多项式是为 g1 ( x ) g2 ( x )... gs ( x ).
§7.9 最小多项式
6.（引理4）k 级若当块
a 1 a J 1
1 a
k ( x a ) . 的最小多项式为
k ( x a ) 证：J的特征多项式为
( J aE )k 0.
2 ( x 1) . ∴ A的最小多项式为
§7.9 最小多项式
4. 相似矩阵具有相同的最小多项式. 证：设矩阵A与B相似，g A ( x ), gB ( x )分别为它们的 最小多项式. 由A相似于B，存在可逆矩阵T , 从而 使
B T 1 AT .
g A ( B ) g A (T 1 AT ) T 1 g A ( A)T 0
本节讨论，以矩阵A为根的多项式的中次数最低的
那个与A的对角化之间的关系.
§7.9 最小多项式
一、最小多项式的定义
定义： 设 A P nn , 在数域P上的以A为根的多项
式中，次数最低的首项系数为1的那个多项式，称 为A的最小多项式.
§7.9 最小多项式
二、最小多项式的基本性质
1.（引理1）矩阵A的最小多项式是唯一的. 证：设 g1 ( x ), g2 ( x ) 都是A的最小多项式. 由带余除法，g1 ( x ) 可表成
g1 ( x ) q( x ) g2 ( x ) r ( x )
其中 r ( x ) 0 或 ( r ( x )) ( g2 ( x )).
于是有
§7.9 最小多项式
g1 ( A) q( A) g2 ( A) r ( A) 0
r ( A) 0
由最小多项式的定义， r ( x ) 0, 即， g2 ( x ) g1 ( x ). 同理可得， g1 ( x ) g2 ( x ).
§7.9 最小多项式
而
0 1 0 J aE 1 0
0, 1 0
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0 0 0 0, ( J aE )2 1 0 0 1 0 0
k J 的最小多项式为 ( x a ) .
从而 h( A1 ) 0, h( A2 ) 0.
g1 ( x ) h( x ), g2 ( x ) h( x ).
从而
g ( x ) h( x ).
故 g ( x ) 为A的最小多项式.
§7.9 最小多项式
推广： 若A是一个准对角矩阵
A1 A2 As
从而A相似于对角矩阵.
§7.9 最小多项式
8.
A C nn与对角矩阵相似
A 的最小多项式没有重根.
练习：
1 1 1 1 求矩阵 A 1 1 1 1 的最小多项式 . 1
§7.9 最小多项式
解： 的特征多项式
x 1 1 1 x 1 f ( x ) | E AE | 1 1
g B ( x ) g A ( x ).
g A ( x ) 也以B为根， 从而
同理可得
g A ( x ) g B ( x ).
又 g A ( x ), gB ( x ) 都是首1多项式， g A ( x ) gB ( x ).
§7.9 最小多项式
注：反之不然，即最小多项式相同的矩阵未必相似.
且 Ai 的最小多项式为 gi ( x ), i 1,2,..., s 则A的最小多项式是为 [ g1 ( x ), g2 ( x ),..., gs ( x )].
特别地，若 g1 ( x ), g2 ( x ),..., gs ( x ) 两两互素，即
g1 ( x ), g2 ( x ),..., gs ( x ) 1
证：充分性显然，只证必要性 由带余除法， f ( x ) 可表成
f ( x ) q( x ) g( x ) r ( x ),
其中 r ( x ) 0 或 ( r ( x )) ( g( x )).
于是有
f ( A) q( A) g( A) r ( A) 0
r ( A) 0
引入
nn A P , f ( ) | E A | 由哈密尔顿―凯莱定理，
是A的特征多项式，则 f ( A) 0.
nn A P 因此，对任定一个矩阵 ，总可以找到一个
多项式 f ( x ) P[ x ], 使 f ( A) 0. 此时，也称
多项式 f ( x ) 以A为根.
g( A1 ) 0 0 首先， g( A) g( A2 ) 0
即A为 g ( x ) 的根.
§7.9 最小多项式
所以 g ( x ) 被A的最小多项式整除. 其次，如果 h( A) 0, 则
h( A1 ) 0 h( A) 0 0 h( A2 )