定积分的近似计算 矩形法 教学PPT课件

1 4 0 1 x2
dx
1 10
(
y0
y1
y9 )
3.2400，
1 4 d x 1 ( y y y ) 3.0400．
0 1 x2
10 1 2
10
梯形法
b a
f
(x)d
x
b
a n
(y0
y 1
y) n1
b
n
a( y1
y2
y) n
．
y
y f (x)
Oa
bx
b a
f
(x) d
x
b
a n
利用矩形法( n 10 )计算
14 0 1 x2
d
x．
解 记 x i ， y 4 (i 0,1, 2,,10) ，
i 10
i 1 xi2
xi
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
yi 4.0000 3.9604 3.8462 3.6697 3.4483 3.2 2.9412 2.6846 2.4390 2.2099 2.0000
2
n
i xi
定积分 b f (x) d x ( f (x) 0) 的几何意义 a b f (x)d x A． a
y
y f (x)
Oa
A
bx
b a
f
(x)d
x
b
a n
( y0
y1
yn1 )
b a(y y y ) ．
n
1
2
n
y
y f (x)
左矩形法 右矩形法
矩形法
Oa
bx
例
y0
2
y1
y1 y2 2
yn1 2
yn
ba n
y0
2
yn
y1
y2
y
n1
．
y
y f (x)
梯形法
Oa
bx
例
利用梯形法( n 10 )计算
14 0 1 x2
d
x．
解 记 x i ， y 4 (i 0,1, 2,,10) ，
i 10
i 1 xi2
xi
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
b a
f
(x)d
x
b a 3n
[( y0
yn )
2(
y2 y4
y) n2
4( y1 y3 yn1 )] ．
其中 n 为偶数．
辛普森法
例
利用抛物线法( n 10 )计算
14 0 1 x2
d
x．
解 记 x i ， y 4 (i 0,1, 2,,10) ，
i 10
i 1 xi2
xi
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
矩形法
函数 f (x) 在[a, b] 上的定积分
b a
n
f (x) d x lim 0 i1
f (i )xi ．
x b a
i
n
函数 f (x)在[a,b]上连续时，对[a,b]进行 n 等分
b a
ba f (x) d x lim
n n
n i 1
f (i)
b a n
n i 1
f (i) ．
3.1416．
左矩形法 右矩形法 梯形法 抛物线法
1 4 d x 3.2400 0 1 x2 14
d x 3.0400 0 1 x2 14
0 1 x2 d x 3.1400
14
d x 3.1416 0 1 x2
1 4 d x 3.14159265 0 1 x2
小结 1. 矩形法； 2. 梯形法； 3. 抛物线法(辛普森法)．
yi 4.0000 3.9604 3.8462 3.6697 3.4483 3.2 2.9412 2.6846 2.4390 2.2099 2.0000
1 4 dx 0 1 x2
1 10Βιβλιοθήκη y0y10 2y1 y2
y 9
3.1400．
抛物线法 （辛普森法）
b a
f
(x)d
x
b
a n
( y0
yi 4.0000 3.9604 3.8462 3.6697 3.4483 3.2 2.9412 2.6846 2.4390 2.2099 2.0000
1 4 d x 1 [( y y ) 2( y y y y )
0 1 x2
30 0 10
2
4
6
8
4( y1 y3 y5 y7 y9 )]
函数 f (x)在[a,b]上连续时，对[a,b]进行 n 等分
b
b a
f (x) d x lim
a
n n
n i1
f
(i )
b
a n
n i1
f (i )．
记 yi f (xi ) ，则
b a
f
(x)d
x
b
a n
( y0
y1
yn1)
i xi1
b a(y y y ) ．
n
1
y 1
y) n1
b
n
a( y1
y2
y) n
．
y
y f (x)
左矩形法
y yi1
右矩形法
y yi
Oa
bx
b a
f
(x) d
x
b
a n
y0
2
yn
y1
y2
y
n1
．
y
yi xi
yi1 xi1
(x xi1)
yi1
梯形法
y
y f (x)
Oa
bx
y p xi 2 qi x ri
抛物线法