贝特朗悖论与概率论的公理化_冯变英

率为 1/3
的试验果却使得频率与 概率的 偏差大 到 0. 0077。人们
将 频率 接 近 于概 率 的 含义 描 述 改 变为 P ( | fn (A ) P (A ) | ) 0。这样似乎更合理。但是, 人们 又陷入
了一个难以摆脱的怪圈: 一方面, 概率作为频率 接近的
值客观存在, 另一方面, 频率接近于概率的含义 又要用
抛硬币时正面出现 可能 性大小 进行试 验, 两次不 同的 和不断的扩建的过程中变得越来越光辉灿烂。
试验得到的频率却不相同。这时, 人们的注意到 一般情
由此看来, 悖论 的出现 并不 见得 完全 是坏 事。悖
况下, 随着试验次数的增大, 频率会越来越接近 一个常 论的出现, 使得人们明确了问题, 使得人们进一 步思考
摘 要: 贝特朗悖论是概率论中一个著名的悖论。在概 率论的发展 史上, 贝特朗 悖论起 了揭示 问题促 使人 们思考概率理论体系严密性的作 用。最后 , 前苏联数学家柯尔莫哥洛夫建立了概率论的公理 化体系。概率 论的 公理化以及数学的发展 , 悖论扮演了一个非常特殊的角色。
关键词: 贝特朗悖论; 概率论 ; 公理化 中图分类号: O 211. 2 文献标识码: A 文章编号: 1008- 8008( 2008) 02- 0007- 02
他又属于 给自 己刮 脸的 人 , 他 就 不该 给自 己 刮脸。 1 /4点与 3 /4点之 间, 其 长才 大于 内接正 三角 形边 长
理发师的脸由谁来刮?
(如图 2 )。设交 点落 在直 径上 哪一点 是 等可 能的, 则
还有一些数学结论, 由其正确又推出其错误, 但我们 所求概率为 1 /2
24000
12012
0. 5005
0. 0005
克莱悖论的出现, 使得极限概念由模糊变得清 晰, 由直
Lom anovski i 80640
39699
0. 4923
0. 0077
觉变得严密; 罗素悖论的出现, 使得建立在集合 论基础
频率反应了事件发生的可 能性大小, 但用频 率反 上的数学大厦摇摇 欲坠, 人们在 不断 的做出 努力 来构 应事件发生的可能 性大 小有不 确定的 缺点。同样 是对 建和加固数学大厦, 数学 大厦也 就在 人们的 不断 加固
概率趋于 0 来描 述。人 们不 由 的要 问: 概 率究 竟是 什
么?
3) 弦可以 由中点 唯一 确定。 当弦 的中 点落 在半 径为大圆半径一半的同心圆内时, 其长才合乎要求 (如 图 4)。设中点位于圆内哪一 点是等可 能的, 则所 求概 率为 1 /4。
此问题从三个不同的角度来考虑, 做出三种不同的 答案。这严重违背了常理。这就是贝特朗悖论。
数。人们想到了用 频率越 来越 接近的 值来 反应事 件发 和完善数学基础。悖论在数学的发展史上扮演 了一个
生的可能性大小, 这就有了概率的统计定义。但 概率虽 非常特殊的角色。
然是频率越来越接近的值, 但却不能用 - N 语言来描 参 考 文 献:
述。因为事件发 生的随 机性 使得 频率 fn (A ) 不像 数列 有固定的变化规律, 事件 发生 的随机 性也 不能保 证对
一、悖论
希帕索斯是比毕 达哥拉 斯学 派的成 员。 一 切数
悖论是一逻辑 学术 语, 指那 些会导 致逻 辑矛 盾的 均可表成整数或整数之比 是毕达哥拉斯学派的信仰。
命题。如果承认 这个命 题成立, 就可 推出它 的否 定命 希帕索斯考虑了 一个问 题: 边 长为 1的 正方 形其对 角
题成立; 反之, 如 果承认 这个命 题的 否定命 题成 立, 又 线的长度是多少? 他发现这个数既不能用整数也不能
并没有能从它错误推出其正确。它更像数学上的反证法。
2) 固定弦的 一端到正三角形的一个顶 点, 弦长可
但由于这种结论推出的结果严重违背常理, 历史上把它们 以由弦的另一端点的位置唯一确定。当弦的另 一端点
也叫悖论。希帕索斯悖论就是一个典型的例子。
落在圆弧上 AB之间时, 其长才合乎要求 ( 如图 3 )。设
贝特朗悖论的出现使得人们对什么是概率 的疑惑 放大到了极致。人们明白必须要解决这个问 题。解决 问题的方法就是给 出概 率的严 密的 定义, 再 在此 基础 上推演概率的理论体系, 即将概率论公理化。
四、概率论的公理化及其思考 1900年 H ilbert在数 学 家 大 会上 提 出 了 23 个 20 世纪应该解决的数 学问 题, 建立 概率 的公理 化体 系就 列在其中, 不过 把它列 在数学 物理 类问题 中。这是 因 为当时人们还没有 承认 概率是 一个 分支, 概 率还 没有 严密的数学基础。希尔伯特建议用数学的公理 化方法 推演出全部物 理, 首先 是概率 和力 学。虽然对 物理 能 否全盘公理化许多 人表 示怀疑, 但却 促进了 概率 论的 公理化。 1933 年, 前苏 联 数学 家 柯尔 莫 哥 洛夫 ( Ko l mogorov) 建立了概率论的公理化体系。 公理化体系的建 立, 离 不开集 合论和 测度 论的 发 展, 公理化体系的建立, 沟通了概率论与其它数 学分支 的联系。其中, 悖论 的出现 对公 理化体 系的建 立起 了 不可低估的作用。 在数学的发展史上, 每一次悖论的出现, 都 是数学
可推出这个命题成立。像这样自相矛盾的命题 就是悖 用整数比来表示。这个发现严重违背了人们在 当时的
论。
环境下公认 的 万物 皆数 的 信仰。这 就 是有 名的 希
古今中外有不 少著 名的悖 论, 它们 震撼 了逻 辑和 帕索斯悖论。
数学的基础, 激发人们去求知和思考, 吸引了古 往今来
二、贝特朗悖论
许多思想家和数学家的注意力。罗素悖论就是 一个数
贝特朗 ( Bertrand) 悖论 是概 率论中 的一个 著名 问
学史上非常有名的悖论。
题, 其问题是: 在圆 内任作 一弦, 求其长 超过圆 内接 正
罗素悖论有许 多种 版本, 其 中有个 通俗 易懂 的版 三角形边长的概率 (如图 1)。此问 题可以有三 种不同
[ 1] 黄晶晶, 黄世同. 关于贝特朗悖论的新 思考 [ J]. 昆 明师 范高等专科学校学报. 2004( 4): 13- 15.
> 0能找到一个 N, 在 N 之后满足 | fn (A ) - P | <
。
[ 2] 茆诗松. 概率论与数理统计教程 [M ] . 北京: 高等教 育出 版社. 2004.
可是, 有一天, 这位理发师从镜子里看见自己的 胡子长
了, 他本能地抓起了剃刀, 你们看他能不能给他 自己刮
脸呢? 如果他不给自己刮脸, 他就属于 不给自己刮脸
1) 作一条铅 直的 直径, 再作 垂直 于此 直径的 弦。
的人 , 他就 要 给自 己刮 脸, 而如 果他 给自 己 刮脸 呢? 弦长可以由它与直径的交点唯一确定。当弦交 直径于
收稿日期: 2008- 01- 16 作者简介: 冯变英 ( 1965- )女, 山西万荣人, 运城学院应用数学系副教授, 华东师范大学金融与统计学院 2006级在职研究生。
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弦的另一端落在 圆周上 哪一 点是等 可能的, 则所 求概 0069, 0. 0055, 0. 0021, 0. 0016, 0. 0005, 但 L oman ov skii
本 理发师问题: 在某个城市中有一位理 发师, 他的 的解答 [1] :
广告词是这样写的: 本人的 理发技 艺十 分高超, 誉满
全城。我将为本 城所有 不给自 己刮 脸的人 刮脸, 我也
只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎! 来找他刮
脸的人络 绎不 绝, 自 然 都是 那 些不 给 自己 刮 脸的 人。
例如抛硬币的试验, 我们 看到 了频率 随着 试验次 数增
责任编辑 马太来
大越来 越 接 近 于 0. 5, 频 率 与 0. 5 的 偏 差 分 别 为 0.
8
第 26卷 第 2期 2008年 4月
运城学院学报 Journa l of Y uncheng U n iversity
V o .l 26 N o. 2 Apr. 2008
贝特朗悖论与概率论的公理化
冯变英 , 王 平
( 华东师范大学 金融与 统计学院, 上海 200241; 运城学院 应用数学系, 山西 运城 044000) ( 枣庄学院 数学与信息科学系, 山东 枣庄 277160)
0. 0069 0. 0055 0. 0021
机都与悖论 的出 现 有关, 都 使 得数 学 前进 了 一大 步。 希帕索斯悖论让当时 统治数学 界的 任何量 都可 以用
P e ar so n
12000
6019
0. 5016
0. 0016
整数和整数的比来表 示 化 为泡影, 产生了 无理 数; 贝
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三、概率论发展历程中的疑惑 概率论的 发 展经 历 了一 个 漫长 而 曲折 的 历史 过 程。 300 年 前, 西 方 贵族 在 利 用纸 牌、骰 子 进行 赌 博 时, 遇到了许多无法解决的问题, 例如赌博中断 问题等 等。由于输赢无法预知, 又涉及金钱得失, 人们 试图了 解其中的规律。 梅尔向 朋友 Pasca l请 教了 一些 问题, Pasca l以及当时欧洲一些有声望 的数学 家参加了 有关 讨论, 由此产生了一 些概率论 的基 本概念 ( 频率、概率 等等 )。 频率是研究事件发生可能性大小时的基本 概念之 一。当初, 人们为了研究事件发生可能性大 小的规律, 做了许多的试验。抛硬币的试验便是其中之一 [ 2] 。
试验者
正面出现 正面出现
试验次数
次数
频率
频率与 0. 5 的偏差
理论体系漏洞的暴露, 每一次悖论的出现, 都使 得人们 重新思考和完善数学基础。数学史上三次大的 数学危
Bu ffon D eM ergan
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4040 4092 10000
2048 2048 4977
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