卫星轨道基础-空间定位与导航工程研究所

r r d 1 r r 3 r r 0 r dt 2 r
1 r r E 2 r
或
1 2 v E 2 r
③
������ =
抛物线轨道：������ → ∞, ������ = 0, ������ = 2������ ������
轨道根数的意义
椭圆轨道的几何关系
椭圆轨道的基本关系式
b a 1 e2 r a 1 e2 1 e cos f p a 1 e 2 r a 1 e cos E h p rv cos vt
2 1 v2 r a vr
h 2 p a 1 e2 p a 1 e
2

e 1双曲线轨道
④ 轨道积分的运动方程
r
a 1 e2 1 e cos f
轨道积分的物理含义
轨道长半轴特性
椭圆轨道：������ > 0 抛物线轨道：������ → ∞ 双曲线轨道：������ < 0


r
a b c a c b a b c
2 r r 3
d r dt r
r h
������为积分常矢量

r
r e
轨道积分
① e位于轨道面内, 实际上
只有两个积分常数e和������

r h r h r r h2
E

r
3

2a
p
r 0
④
① ②
2 1 v2 r a
a

2E
轨道特性与能量E的关系
圆轨道：������ = ������, ������ < 0, ������ = 椭圆轨道：������ > 0, ������ < 0, 2������ ������ − ������ ������ ������ ������
卫星轨道基础
王甫红 空间定位与导航工程研究所
3. 二体问题
3.1 二体问题运动方程及其解 3.2 轨道根数与位置矢量和速度矢量之间的关系 3.3 两个时刻的位置矢量和速度矢量的关系 3.4 球坐标表示的运动状态参数
二体问题
定义
二体问题是假设只有两个天体，不考虑其他天 体的干扰，在万有引力作用下如何运动的问题.
轨道根数与位置矢量、速度矢量的关系
主要内容
由位置矢量和速度矢量计算轨道根数 由轨道根数计算位置矢量和速度矢量
由位置矢量和速度矢量计算轨道根数
已知某时刻������的位置矢量������和速度矢量������，计 算轨道根数������
① 根据面积积分，计算i和Ω
yz zy r r h zx xz xy yx
面积积分与开普勒第二定律的关系
开普勒第二定律
椭圆向径在相等时间内扫过的面积
h r 2u 1 A rr t 2
轨道积分
r

r3
r , 与h叉乘
r h
r h r r r r r
3 3

r h =
r
r r r r r r 3
2
拱线为AP，其中 P为近拱点
天体在轨道上的 位置f与其飞行 时间t之间的关系
椭圆轨道的三个近点角
三个近点角
真近点角f 偏近点角E 平近点角M E和M E和f
M n t n

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三个近点角的关系
M E e sin E
1 e2 sin E tan f cos E e
③
双曲线轨道：������ < 0, ������ > 0, 2������ ������ + ������ ������
������ =
习题
已知地球卫星的速度为������ = 10.7654������������/������,距地面高度为 ������ = 1500������������，速度倾角为Θ = 23.173°，求偏心率������和长 半轴������以及轨道形状
• 抛物线 • 双曲线
e 1 a, i, , ,
a, e, i, , ,
习题
1. 某人造地球卫星的近地点地心距为6740km，远地点地 心距为60000km。求当高度为500km时的真近点角。 2. 某人造地球卫星近地点轨道高度为400km，偏心率为0.6， 求轨道周期，远地点的地心距，近地点和远地点的速度。 当高度为3622km时的速度，真近点角和速度倾角。 3. 某人造地球卫星轨道，真近点角126°时的高度为 1545km，真近点角58°时的高度为852km，求轨道的 偏心率，近地点高度和长半轴。
开普勒 方程
椭圆轨道根数
共有六个独立的积分常数，称为轨 道根数������
面积积分得到积分常数������, Ω 轨道积分得到积分常数������, ω 活力积分得到积分常数������ 过近拱点时间的积分得到������，常用 ������, ������代替 表示轨道的大小和形状：������, ������ 表示轨道面的空间指向：Ω, ������ 表示轨道面内近拱点的指向：ω 表示过近拱点的时间：������
z P
Q rP
·
·
O x
y
二体问题的运动方程
• 建立任一空间坐标系Oxyz，P和Q分别是两个天 体 • rP 是天体P的位置矢量 • rQ 是天体Q的位置矢量
O x z P
Q rP
·
·
y
• r rQ rP 是天体Q相对于天 体P的位置矢量
• mP和 mQ 分别为P和Q的质量
天体P受天体Q的引力：

a3
T 2
a3
2 n
特殊椭圆轨道的根数
近圆轨道(������ → 0)
a, i , h e cos k e sin L M
零倾角轨道(������ → 0 ������������ 180°)
a p sin i cos q sin i sin h e cos k e sin L M
或
a p tan i sin 2 q tan i cos 2 h e sin k e sin L M
h和k共同表示轨 道的形状和近拱 点的位置； P和q共同表示轨 道面的方向
抛物线和双曲线轨道根数
GmP r 3 r r
d 2x 3x 2 dt r
d 2y 3y 2 dt r
⇒
d 2z 3z 2 dt r
r x 2 y 2 z2
这是一组联立的二阶非线性常微分方程，通解 是包含6个相互独立的积分常数的6个积分。
二体问题的运动方程求解
由牛顿提出二体问题的解 决方法，证明了Kepler行 星运动定律的有效性
轨道坐标系



② 定义f为在轨道面内从 ������到������之间的夹角
h 2 (r e r ) r 1 e cos f
a
a
h / r 1 e cos f
2
c ae
N
������
轨道积分的物理含义
h2 / r 1 e cos f
① 轨道积分以极坐标形式给出圆锥曲线方程 ② e为圆锥曲线的偏心率 e 0,圆轨道 0 e 1, 椭圆轨道 ③ p为圆锥曲线的半通径 e 1, 抛物线轨道 a为圆锥曲线的长半轴
⇒
又r rQ - rP , rQ rP可得
⇒
mp mQ d 2r d 2 2 (rQ - rp ) -G r 2 3 dt dt r
二体问题的运动方程
r G mp mQ r
3
r =0
这是严格的二体问题的运动方程。在二体问题中，一个天 体的质量要远大于另一个天体，假设������������ ≫ ������������ ，则天体Q 不会影响天体P的运动。以天体P为坐标系原点，二体问题 运动方程可以表示为
hx 0 ,h ' 0 有，h h y h h z
hx 0 h sin sin i h R () R (i) R (u ) 0 h cos sin i 3 1 3 y h h h cos i z
a 1 e2 1 e cos f
h 2 p a 1 e 2 p a 1 e2
对于双曲线轨道，卫星的轨道方程为
r
活力积分或 能量积分
r点乘 r
① ② ③
E为单位质量的总能量是常数 可以推导出 v h 1 2e cos f e2 由
FP G
mpmQr r
3
天体Q受天体P的引力：
FQ G
根据牛顿第二定律：
mpmQr r
3
⇒
z P O x Q
2 d(mv ) dr F m 2 dt dt
·
·
y
rP
⇒
mpmQ d 2rP FP mp 2 G r 3 dt r mpmQ d 2rQ FQ mQ 2 G r 3 dt r
面积积分 轨道积分 活力积分
面积积分（动量矩守恒）
d r r r r r r r r dt


r r h
r

r
r 0 3
r r

r
3
r r r r 0
hx h h y hz
面积积分的物理含义
① h表示单位质量的动量矩 ② 二体问题的动量矩是守恒的 ③ h垂直于轨道运动平面，因此 轨道面是惯性系固定。h代表 轨道面的法向。可以用轨道 倾角������ 和升交点赤经Ω表示 ④ h为面积速度的两倍，ℎ = ������������������ ⑤ ℎ = ������������������������������������ = ������������������������������Θ
过近拱点时间的积分
h f 2 r p r 1 e cos f
h 1 e cos f f p2 h p
2
2
f dt

p
1 e cos f 3 df
2
或
p3
1 e cos f 2
t t0
p3

1 e cos f
f0
f
df
解题思路： ������ = ������������ + ������ ������ 2 ������������ ������ = − 2 ������ ℎ = ������������������������������Θ
������������ ������ = − 2������
ℎ2 = ������������ 1 − ������ 2 ������

p
e sin f

p
1 e cos f
其中三个近点角之间的关系：
M E e sin E 1 e2 sin E tan f cos E e
r cos f a(cos E e)
r sin f a 1 e 2 sin E
f 1 e E 1 e2 sin E tan tan or tan f 2 1 e 2 cos E e M n t E e sin E n
r R3 () R1 (i) R3 (u )r '
由位置矢量和速度矢量计算轨道根数
h R3 () R1 (i) R3 (u )h ' cos cos u sin sin u cos i cos sin u sin cos u cos i sin sin i h' sin cos u cos sin u cos i sin sin u cos cos u cos i cos sin i sin u sin i cos u sin i cos i