测量物体的高度

I•背景材料
为什么埃拉托色尼能够成为第一个推算出地球周长的人？
2000多年前，古希腊的埃拉托色尼用简单的测量工具计算出地球的周长.
埃拉托色尼（约公元前275〜前194年）博学多才，他通晓天文地理，是诗人、历史学家、语言学家和哲学家，曾担任过亚历山大博物馆馆长.
在离亚历山大城约800公里的塞恩城（今埃及阿塞旺附近），夏日正午的阳光可以直照
井底，因而此时地面上所有的直立物都应该没有影子，但亚历山大城地面上的直立物却仍有
影子.细心的埃拉托色尼发现了这一现象，他认为直立物的影子说明亚历山大城的阳光与直
立物形成了夹角.根据地球是圆球和阳光直线传播这个前提，从假想的地心向塞恩城和亚历
山大城引两条直线所形成的夹角，再根据两地之间的距离，便能计算出地球的周长.埃拉托
色尼按照相似三角形的关系，测出夹角为7°,是地球圆周角的五十分之一，因此推算出地
球周长约为4万公里，这一结果与实际周长相差无几.他还算出太阳与地球之间的距离为
1. 47亿公里，结果与实际距离1 . 49亿公里也惊人的相近.
埃拉托色尼为什么能成为第一个推算出地球周长的人呢？
n.课前准备
一、课标要求
1•经历设计活动方案，自制仪器或运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程.
2•能够对所得到的数据进行分析，能够对仪器进行调整和对测量结果进行矫正，从而得到符合实际的结果.
3 .能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题.
4.培养不怕困难的品质，发展合作意识和科学精神.
二、活动准备
1. 测倾器两个.
2. 皮尺或卷尺等测量工具.
三、预习提示
1. 关键概念：测倾器的制作及使用方法.
2. 关键原理：直角三角形边角关系的知识.
3. 预习方法提示：本节课属于活动课，首先讨论，设计方案，然后进行实地测量.
四、预习效果反馈
1. ______________________ 简单的测倾器由_______ ,和组成.
2. _____________________________________________ 测量底部可以到达的物体的高度就是已知__________________________________________________ 和________ ，求_________ ，但必须注意最后还须再加上的高度.
3. _____________________________________________________ 测量底部不可以到达的物体的高度往往需要测两次___________________________________________ 和一次_________ ，最后
也要再加上_________ 的高度.
川.课堂跟讲、背记知识随堂笔记
三、重点难点易错点讲解 重点难点： 1. 测倾器的制作 简易测倾器可以自己制作，
90°）,用螺钉螺母把它和一根长 径的两端钉两个标针（如图
1-5-2
）.当大杆与地面垂直时，通过标针的视线是水平的.
2. 用测倾器测量倾斜角的方法
（1）把测倾器插在一点（图 1-5-3）,使测倾器的木杆的中心线与铅垂线重合，这时标 针连线在水平位置；
测量倾斜角
测量高度 测量底部可以到达的物 体的高度
测量底部不可以到达的物体的高度
1. 相等”
2.
二、教材中“？ ”解答
问题（P 26） 解答：直接读出测倾器的指示数.因为当测仰角时用到“同角的余角 .
测俯角时用到“对顶角相等”
活动二的问题（P 26） 解答：
Rt △ MEC 中，已测得 EC=AN= “同角的余角相等” . MN=ME + EN= i ・ tan a + a .理由:
EM I,Z MCE= a,.', tan a = --------------- . EC
••• EM=EC tan a = i ・ tan a.. MN= i ・ tan a + a .
ME ME
,亠
3.活动三的冋题 (P 27) 解答：MN=ME + a ,而 一
=b .理由：在Rt △ MED
tan a tan B
ME ME ME
，…ED= .在 Rt △ MEC 中，tan a = , EC= .又.EC — ED=DC ,
B
a
(X ・ 中，ta n B =M!.
ED
挤 ME ME 故 一 =b .
tan B tan a 4.议一议（P 27）
影长与物高的比例，构造直角三角形等. 由此式可求出 ME 的长，而 MN=ME + EN=ME + a .
解答：（1 ）测量物体高度的方法除本节外，还有利用相似三角形测
（2）如图1-5-1 ,测出M 的仰角/ MCE= a,测倾器的高AC=a ,然后根据AN=
一a
tan a
即可求出测点A 到物体MN 的水平距离AN .
用木板做一个半圆刻度盘， 半径是15〜20cm （90 °〜0
130cm 的木杆联在一起，并在半圆圆心处挂一铅垂线，直
（2） 转动半圆刻度盘，使视线通过两标针，并且刚好落在目标物顶部
（3） 根据同角的余角相等，可以知道，所测倾斜角即仰角/ EOB 等于铅垂线与零度线
图】巧-工
间所夹的角，读出铅垂线所指的度数，就是/ EOB的度数.
注意：(1)测倾器可用教学时用的量角器(木制的，半径为20cm)只需把指针换成一根杆，长约130cm，把刻度改为(90°〜0。

〜90°),如图1-5-4所示.
(2)90°〜0°〜90°的意思是使半圆刻度盘的刻度以0°为中点，然后向左、向右分
别增加到90°为止，也就是说，这个半圆刻度盘的刻度不是0°〜180°.
(3)测倾器的制作和使用原理是：同角的余角相等.
3•测量底部可以到达的物体的高度如图1-5-5，以测量旗杆AB的高度为例，如果从测
点到旗杆底部的水平距离可以直接量得，高度AB就可以测出，具体如下：
(1)工具一一测倾器、卷尺.
(2)步聚：①在测点D处安置测倾器，测得旗杆顶的仰角/ ACE= a.
②量出仪器的高CD=EB=b，和测点D到旗杆的水平距离BD=CE=a .
③按照AB=atan a+ b的表达式，就可求得旗杆高.这是因为AB=AE + EB=atan a+ b.
4. 测量底部不可以到达的物体的高度，如图1-5-6，以测量物体MN的高度为例，如果
两个测点A、B之间的距离可以测得，高度MN就可以测出，具体如下：
(1)工具一一两个测倾器、卷尺.
(2)步骤：①在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角/ MCE= a.
②在测点A与物体之间的B处安置测倾器(A , B与N在同一条直线上)，测得此时M 的仰角/ MDE= 3.
③量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A、B之间的距离AB=b .按照—
tan a ME
=b , MN=ME + a,就可求得MN的高.
tan 3
易错点：1.半圆刻度盘的刻度以0°为中点，然后向左，向右分别增加到90°为止，
不能误认刻度是0°〜180° .
2. 眼睛与两个标针不在同一直线上. 测量时必须保证眼睛与两个标针在同一直线上(视
线上)，同时在测倾斜角时眼睛、两个标针及目标点也应位于同一直线上.
【例】某同学要测量操场上旗杆AB的高度，现已将测得的数据填入下表，请你完成
BD 的长
a=20. 15m a=19. 97m
「测倾器的高
b=1 . 23m
b=1 . 21m
倾斜角
a =30° 15' a =29° 45'
计 算 过 程
a =2。

15 19.97=20. 06,
b =1^1^=1. 22, a =30 15
29 45
=30
2 2 2
ACE= a tan a .A AB=AE + BE= a tan a + 1. 22=20 . 06 X-
+ 1 . 22=12 . 8 （m ）.
3
答：旗杆高12. 8m .
点拨：a 、b 和a 的平均值应求准. 四、经典例题精讲
【例】 如图1-5-7 , A 、B 是两幢地平面高度相等、 隔岸相望的建筑物，B 楼不能到达.由 于建筑物
密集，在 A 的周围没有开阔地带，为了测量 B 楼的高度只能利用 A 楼的空间，A
的各层楼都可到达，且能看见 B .现有的测量工具为皮尺和测角器（皮尺可用于测量长度，
测有器可以测量仰角、俯角或两视线间的夹角）
B 楼高度的方法：要求写出测量步骤和必要的测量数据（用字 母表示），并画出测量图形；
（2）用你测量的数据（用字母表示），写出计算B 楼高度的表达式. 思维入门指导：本题是一道开放性试题，摘自 2002年重庆市中考题，解题方法很多,
表达式也是多种多样的.
解：（1）如图1-5-8，设AC 为A 楼，BD 表示B 楼，测量步骤为: ① 用测角器在A 楼的顶端A 点测量到B 楼楼底的俯角a. ② 用测角器在点 A 测量B 楼楼顶的仰角
③ 用皮尺从A 楼顶放下，测量点 A 到地面的高度为a.
••• B 楼高 BD=BE + ED=BE + AC= —
• tan B + a=a （1 +
.
解:
在 Rt △ ACE 中,/ ACE= , EC= 5 .
AE
•/ tan / ACE= ,
/• AE=EC • tan /
EC
（1）请你设计一个测量 (2)如图 1-5-8，在 Rt △ ACD 中,
CD=a< tan / DAC=
a tan a 在 Rt △ AEB 中，BE=AE • tan 3.v AE=CD BE=
a tan a
tan 3. 一二
H 「
I
tan a tan a
点拨：如果在A楼底端C点测仰角/ BCD，应考虑测角器的高度或身高，不能忽略.
W.当堂练习（5分钟）
如图1-5-9，在测量旗杆AB的高度时，有以下几个测量步骤：
①量出仪器高CD=BE=b和水平距离BD=a .
②在测点D处安装测倾器，测得旗杆顶的仰角/ ACE= a.
③选定测点D.
④按照AB=AE + b=atan a + b的表达式求得AB的高.
请你重新排出正确的测量步骤的序号 __________ .
【同步达纲练习】
V.课后巩固练习
（80分90分钟）
一、基础题（4题12分，其余每题4分，共24分）
1. 升国旗时，某同学站在离旗杆底部24m处行注目礼，当
国旗升至旗杆顶端时，该同
学视线的仰角恰为30°,若两眼离地面1. 5m,则旗杆高度约为______________ .（精确到0.1m,
.3 〜1 . 73）
2. 雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2m远的一块积水处，他看到了旗杆
顶端的倒影.如果旗杆底端到积水处的距离为40m，该生眼部高度是1. 5m，那么旗杆的
高度是_________ .
3. 如图1-5-10，为了测量河对岸旗杆AB的高度，在点C处测得旗杆顶端A的仰角为30。

，沿CB方向前进20m到达D处，在点D处测得旗杆顶端A 的仰角为45°，
则旗杆AB的高度为 __________ .（精确到0. 1m，参考数据：一2=1. 414，.3 =1 . 732）
4. 如图1-5-11,在侧面为矩形MNPQ的平台上正中竖立一根旗杆CD .已知平台高MQ=3m，宽MN=2m，AN为平台的斜坡.当五星红旗上升5m，到达E点时，从A处测得E 点的仰角为45° ;当红旗到达顶端D处时，在A点测得其仰角为60°，（1）计算旗杆的高度；（2）当旗手A沿坡AN上到平台至少需走多远？（结果均不取近似值）
二、应用题（每题10分，共30分）
5. 如图1-5-12，河对岸有高层建筑物AB，为测量其
高度，在C处由点D用测倾器测得顶端A的仰角为30° .向高层建筑物前进50m，到达C'处，由点D'测得顶端A的仰
角为45°.已知测倾器高CD=C' D' =1 . 2m，求高层建筑物AB的高.（.3取1 . 732）
图 L-5-12
6. 如图1-5-13, 一勘测人员从B 点出发，沿坡角
为15。

的坡面以5km/h 的速度行至D 点，用了 12min ，然后沿坡角为 20°的坡面以3km/h 的速度到达山顶 A 点，用了 10min , 求山高（则AC 的长度）用A 、B 两点的水平距离（即BC 的长度）.（精确到0. 01km , sin15 ° =0. 2588, cos15° =0. 9659, sin20° =0 . 3420, cos20° =0. 9397）
7. 已知小山的高为 h ,为测量小山顶上的铁塔
AB 的高x ,在平地上选择一点 P ,在P 点处测
得B 点的仰角为a, A 的仰角为B （见表中测量目标图）
根据表中数据求出铁塔高
x 的值.（精确到0. 01m ）
三、中考题（26分）
8. （2003，南宁，8分）下表是小明同学填写实习报告的部分内容. 题目 测量 目标 图示 测得 数据
请你根据以上条件，计算出河宽 CD .（结果保留根号）
9.
（2003，辽宁，10分）如图1-5-14所示，
山上有一座铁塔，山脚下一矩形建筑物 且建筑物周围没有开阔平整地带，该建筑物顶端宽度 A D 和高
题目
测量山顶铁塔高
测量目标
已知数据 山咼BC
h=153. 48m 测量项目 第一次 第二次 平均值
测得数据
仰角a 29° 17' 29° 19' a = 仰角B
34° 01 '
33° 57'
3 =
试用a 、B 和 h 的关系表示铁塔咼 X ；
在表中根据第一次和第二次的“测量数据“，填写“平均值” 一列中a 、B 的数 （1） （2） 值；
（3
ABCD , 从A 、
在两岸近似平行的河段上测量河宽
O
O O
/ CAD=60 °，AB=20m
/ CBD=45。

，/ BDC=90
度DC 都可直接测得，
D 、C 三点可看到塔顶端 H ，可供使用的测量工具有皮尺，测倾器.
（1） 请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度 的
方案•具体要求如下：
① 测量数据尽可能少；
② 在所给图形上，画出你设计的测量平面图， 并将应测数据标记在图形上.（如果测A 、 D 间距离，用m 表示；如果测D 、C 间距离，用n 表示；如果测角，用a 、B 、丫等表示.测 倾器高度不计）
（2） 根据你测量的数据，计算顶端到地面的高度
HG .（用字母表示）
謝 1'5-)4
ffi >5-15
10. （2004，昆明，8分）如图1-5-15，初三年级某班同学要测量校园内国旗旗杆的高 度，在地面的C 点用测角器测得旗杆顶 A 点的仰角/ AFE=60。

，再沿直线CB 后退8米到 D 点，在D 点又用测角器测得旗杆顶 A 点的仰角/ AGE=45 °;已知测角器的高度是 1 . 6
米，求旗杆AB 的高度.（..3的近似值取1 . 7,结果保留小数）
加试题：竞赛趣味题（10分）
在边长为2的菱形ABCD 中，/ B=45 ° , AE 为BC 上的高.将厶ABE 沿AE 所在直线 翻折后得厶AB ' E ,它与四边形 AECD 重叠部分的面积是多少？
参考答案
n.四、1 .度盘；铅锤；支杆
2.仰角；直角边；求另一直角边；测倾器 3•仰角；测倾器间的距离；测倾器
W.③②①④
V. —、1 . 15. 3m 解：依据题意，画出草图，其中眼睛的位置在点
A ，旗杆用CD
表示，贝U AB=1 . 5m , BD=24m .过点 A 作 AE 丄 CD ,垂足为 E ,则/ CAE=30 ° , AE=24m ,
DE=AB=1 . 5m .
t —
CE
J 3 CE
r~ r~
•/ tan / CAE=
, A =
..•. CE=8 _3m .「. CD=1 . 5 + 8.3 ~ 15. 3 （ m ）.
AE 3
24
点拨：解本题应画草图，结合草图把这个实际问题转化为解直角三角形问题. 2. 30m 点拨：本题通过两个三角形相似的性质，列比例式解题. 3. 27. 3m 点拨：本题忽略测倾器的高度.
4. 解：（1）设旗杆 CD 的高度为xm ,依题意有 EB=EC + CB=8, BD=x + 3. Rt △ ABE 中，/ ABE=90 °，/ BAE=45 ° ,A AB=BE=8 .
HG
BD 庁X 3 rr Rt △ ABD 中，/ ABD=90 ° , / BAD=45 ° , A ta n60° = . A , 3 = .A x=8、3
AB 8
—3.
（2）Rt△ APN 中，/ APN=90 ° , NP=3 , AP=AB —BP=7.
A AN= , AP2 PN 2= 7232=、58 （m）.
答：旗杆的高度为（8、.3 —3）m,旗手A沿斜坡AN上到平台至少需走.58 m.
二、5.解：AB高69. 5m . 点拨：这是一个不折不扣的“底部不可以到达物体”的高度测量题.
12
10
6.解：过D 作DF 丄BC 于F, BD=5 X =1 , AD=3 X =0. 5.
60 60
在Rt△ BFD、Rt△ DEA 中，AC=AE + EC=AE + DF=AD • sin20°+ BD • sin 15° =0. 5 X 0. 3420 + 1X 0. 2588~0. 43 ( km) , BC=BF + FC=BF + DE=BD • cos15°+ AD • cos20°=1 X 0. 9659 + 0. 5X 0. 9397=1. 44 ( km).
答：山高约0. 43km,山脚B到山顶的水平距离约为 1 . 44km .
点拨：过D作垂线构造直角三角形，把原图分解为两个直角三角形和矩形.
7.解：
BC
(1)在Rt△ PBC 中，tan a =
PC
AC h x h tan a
在Rt△ PAC 中，tan B = ，二= ，解得x= ( —1) • h.
PC ta n a ta n B tan B
(2)得a =29°18',B =33°59'.
(3)x= (
tan33 59
—1)X 153. 48~ 30. 88 ( m). 答：略.
ta n29 18
三、8.解法一：设DA 为xm ,••• BD=DA + AB=x + 20.
•••/ CBD=45。

，/ CDB=90 ° ,• DC=BD= x + 20. 在Rt△ CDA 中，/ DAC=60 ° ,• tan60° =DC . • . 3 = x 20 .
DA x
解得X= =10 (V3+1 ). • DC=10 (V3+1 )+ 20= (1^3 +30)
応1 2
(m). 答：略.
解法二：设DC 为xm . •/ AB=20，/ CDB=90 °，/ DBC=45 ° ,• DC=DB=xm . 在Rt△
CDA 中，/ DAC=60 ° ,• tan60° =——=V3 .^3 (x—20) =x
DA '
(3 —1) x=20 J3 , x= —=10*;‘3 (』3+1) = (10J3+30).答：略. J3 1
点拨：本题由于两个已知角都是特殊角，所以可用三角函数定义去解.
9. 解：方案一：(1)如图1-5-1 (a)(测三个数据)所示.
■/ CG=DM , • x/tan B = (x—n) /ta
n a,. x=
tan B tan a
方案二：(1)如答图1-5-1 ( b)(测四个数据)所示.
CG=x/tan B・在Rt^ DHM 中，DM= (x—n) /tan a.
ntan a
(2)设HG=x，在Rt△ CHG 中,
(2)设HG=x，在Rt△ AHM 中，AM= (x —n) /tan 丫.
在Rt△ DHM 中，DM= (x—n) /tan a
有(x—n)/ta门丫=(x—n)/tan a + m. /• x=
=n +
1/ta nY 1/ta n a tan a tany 方案三：(1)如答图1-5-1 (c)(测五个数据)所示.(2)略. 点拨：这是一道开放型新中考题.
图1-S-2
10. 解：如图1-5-2所示，设AE为x米，在Rt△ AEF中，/ AFE=60
在Rt△ AGE 中，/ AGE=45 °,二AE=GE .
8+ x=x ,••• x=12 + 4 . 3 .
3
即x-18. 8 ( .3的近似值取1. 7,结果保留小数)
• AB=AE + EB~20. 4.
答：旗杆高度约为20. 4米.
点拨：本题主要考查解直角三角形的知识及解决实际问题的能力.
m n / ta ny n /ta n a mta nuta n y
善图P5-3
加试题：解：如答图1-5-3，在Rt△ ABE 中，AE=AB • sinB= .. 2 ,
• . S 菱形ABCD =BC • AE=2 ；2 .
•/ AE 丄BC，•/ 1=90 °—Z B=45 °= / 2=90 °—Z B'.
•••/ 3=45°.「.Z 1 = Z 3.
■/ AB=AD , Z B= Z D, •△ABE =△ADF .• S A ABE = S A ADF .
2
点拨：因为四边形AECF为不规则四边形，所以不能直接求出它的面积，因而把重叠部分面积转化为规则图形面积的和或差来求解.
趣味天地：1.无独有偶；2 .无奇不有；3.七零八落；4 .丢三落四.5.接二连三；6.三五成群；7.不三不四；8.—五一十；9.得寸进尺；10.低三下四.
•- S 重叠部分=S 菱形ABCD—2S A ABE =2 2 —2 X —X .. 2 X ■■,■2 =2 2—2.。