曲边梯形面积求法
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表示了曲边梯形面积的近似值
演示
•在 [a, b]中任意插 入 n 1个分点． •得n个小区间： [xi1 , xi ] (i=1, 2 , · · · , n)． •区间[xi1 , xi ]的长 度xi xi xi1 ．
y = f ( x) y f ( x i)
f(x2 ) f(x1) f(xi)xi
y
y=x2
O
1
x
以直代曲
逼近
特例分析
直线x0、x1、y0及曲线yx2所围成的图形（曲边三
角形）面积S是多少？
为了计算曲边三角形的面积S，将它分割成许多小曲边梯形
对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边”（即 在很小范围内以直代曲），有以下三种方案“以直代 曲” y 。
O
1
x
方案1
方案2
n
（4）逼近 当分割无限变细，即 x 0(亦即n )时， 1 2 2 1 1 2 2 [0 1 2 (n 1) ] 3 (n 1)n (2n 1) 3 n n 6 1 1 1 1 (1 )(2 ) 6 n n 3 1 1 所以S ，即所求曲边三角形的 面积为 。 3 3
如何求下列图形面积？
y y
y
曲 边 梯 形
t
0
t
0
t
o
直线
几条线段连成的折线
曲线？
由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所 围成的图形成为曲边梯形.
v
o
t
特例分析
直线x0、x1、y0及曲线yx2所围成的图形（曲边三
角形）面积S是多少？ 思考？曲边梯形与我们熟悉的“直边图形”的主要区别 是什么？能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化为求 “直边图形”面积的问题？
y = f ( x) y f ( x i)
f(x2 ) f(x1) f(xi)xi
O
a x 1 x1 x 2 x2
xi-1 xi xi ．
xn-1பைடு நூலகம்b x
•曲边梯形的面积近似为：A
f (xi )xi
i 1
n
方案3
y = f ( x) y
A1 O a b x
用一个矩形的面积 A1近似代替曲边梯形的面积A， 得
A A1.
y = f ( x) y
A1 O a
A2 b x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2
y = f ( x) y
A1 O a
A2
A3
A4 b x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得
分割 以曲代直 作和 逼近
当分点非常多（n非常大）时，可以认为f(x) 在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从 而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi) 作为小矩形一边的长，于是f(xi) △x来近似表示 小曲边梯形的面积
f (x1 )x f(x2 )x f(xn )x
S1 , S2 , , Si , , Sn .
（2） 以直代曲 i 1 i 1 2 1 Si f ( )x ( ) n n n （3）作和
S S1 S2 Sn Si
i 1
n
i -1 1 n i -1 2 1 f( ) ( ) n n i 1 n n i 1 1 2 2 2 2 3 [0 1 2 (n 1) ] n
O
a x 1 x1 x 2 x2
xi-1 xi xi
xn-1 b x
•把曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形．
•任取xi [xi1，xi ] ，以f (x i) xi近似代替第i个窄曲边梯形的面 积． •曲边梯形的面积近似为：A
f (x )x
i 1 i
n
i
．
•在 [a, b]中任意插 入 n 1个分点． •得n个小区间： [xi1 , xi ] (i=1, 2 , · · · , n)． •区间[xi1 , xi ]的长 度xi xi xi1 ．
A A1+ A2+ A3+ A4
y = f ( x) y
A1 O a
Ai
An b x
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替 小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为 A A1+ A2 + + An
分割越细，面积的近似值就越精确。当分 割无限变细时，这个近似值就无限逼近所 求曲边梯形的面积S。
下面用第一种方案“以直代曲”的具体操作过程
（1）分割 把区间[0，1]等分成n个小区间：
1 1 2 i 1 i n 1 n [0, ], [ , ], , [ , ], , [ , ], n n n n n n n
每个区间的长度为
i i 1 1 x n n n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小 曲边梯形，他们的面积分别记作
演示
•在 [a, b]中任意插 入 n 1个分点． •得n个小区间： [xi1 , xi ] (i=1, 2 , · · · , n)． •区间[xi1 , xi ]的长 度xi xi xi1 ．
y = f ( x) y f ( x i)
f(x2 ) f(x1) f(xi)xi
y
y=x2
O
1
x
以直代曲
逼近
特例分析
直线x0、x1、y0及曲线yx2所围成的图形（曲边三
角形）面积S是多少？
为了计算曲边三角形的面积S，将它分割成许多小曲边梯形
对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边”（即 在很小范围内以直代曲），有以下三种方案“以直代 曲” y 。
O
1
x
方案1
方案2
n
（4）逼近 当分割无限变细，即 x 0(亦即n )时， 1 2 2 1 1 2 2 [0 1 2 (n 1) ] 3 (n 1)n (2n 1) 3 n n 6 1 1 1 1 (1 )(2 ) 6 n n 3 1 1 所以S ，即所求曲边三角形的 面积为 。 3 3
如何求下列图形面积？
y y
y
曲 边 梯 形
t
0
t
0
t
o
直线
几条线段连成的折线
曲线？
由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所 围成的图形成为曲边梯形.
v
o
t
特例分析
直线x0、x1、y0及曲线yx2所围成的图形（曲边三
角形）面积S是多少？ 思考？曲边梯形与我们熟悉的“直边图形”的主要区别 是什么？能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化为求 “直边图形”面积的问题？
y = f ( x) y f ( x i)
f(x2 ) f(x1) f(xi)xi
O
a x 1 x1 x 2 x2
xi-1 xi xi ．
xn-1பைடு நூலகம்b x
•曲边梯形的面积近似为：A
f (xi )xi
i 1
n
方案3
y = f ( x) y
A1 O a b x
用一个矩形的面积 A1近似代替曲边梯形的面积A， 得
A A1.
y = f ( x) y
A1 O a
A2 b x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2
y = f ( x) y
A1 O a
A2
A3
A4 b x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得
分割 以曲代直 作和 逼近
当分点非常多（n非常大）时，可以认为f(x) 在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从 而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi) 作为小矩形一边的长，于是f(xi) △x来近似表示 小曲边梯形的面积
f (x1 )x f(x2 )x f(xn )x
S1 , S2 , , Si , , Sn .
（2） 以直代曲 i 1 i 1 2 1 Si f ( )x ( ) n n n （3）作和
S S1 S2 Sn Si
i 1
n
i -1 1 n i -1 2 1 f( ) ( ) n n i 1 n n i 1 1 2 2 2 2 3 [0 1 2 (n 1) ] n
O
a x 1 x1 x 2 x2
xi-1 xi xi
xn-1 b x
•把曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形．
•任取xi [xi1，xi ] ，以f (x i) xi近似代替第i个窄曲边梯形的面 积． •曲边梯形的面积近似为：A
f (x )x
i 1 i
n
i
．
•在 [a, b]中任意插 入 n 1个分点． •得n个小区间： [xi1 , xi ] (i=1, 2 , · · · , n)． •区间[xi1 , xi ]的长 度xi xi xi1 ．
A A1+ A2+ A3+ A4
y = f ( x) y
A1 O a
Ai
An b x
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替 小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为 A A1+ A2 + + An
分割越细，面积的近似值就越精确。当分 割无限变细时，这个近似值就无限逼近所 求曲边梯形的面积S。
下面用第一种方案“以直代曲”的具体操作过程
（1）分割 把区间[0，1]等分成n个小区间：
1 1 2 i 1 i n 1 n [0, ], [ , ], , [ , ], , [ , ], n n n n n n n
每个区间的长度为
i i 1 1 x n n n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小 曲边梯形，他们的面积分别记作