第三章 试验的方差分析讲解

n m0
n m0
n m0

( yij yi )2
( yi y)2 2
( yij yi )(yi y)
i1 j1
i1 j1
i1 j1
n m0
SSe SS因＋2
( yij yi )(yi y)
i1 j1
n m0

( yij yi )(yi y)
60℃ 65 ℃ 70℃ 75℃ 80 ℃
1
90
97
96
84
84
2
92
93
96
83
86
3
88
92
93
88
82
组平均值 yi
90
94
95
85
84
总平均值 y
89.6
可以看出，表中全部15个数据是参差不齐的，它们围绕总平均值 y
产生波动，这个波动是什么原因造成的呢？首先容易想到的是温度
取了5个不同的水平，事实上5个水平下的数据平均值 y1、y2 、…y5

r i1
s
( yij y)2
j 1
r i1
s j 1
yi2j

T2 N
N rs
21
3.3 双因素试验的方差分析
4、计算因素变动平方和
SSA

s
r i 1
( yi

y)2

1 s
r i 1
Ti2
T2 N
SSB
r
s
( y j
j 1

y)2

1 r
s
因此，酸度对吸光度有高度显著的影响。
19
3.3 双因素试验的方差分析
3.3 双因素试验的方差分析
3.3.1双因素无重复试验的方差分析
设在某试验中，有两个因素A和B在变化，A有r种水平，B 有s种水平，在每一种组合水平上做1次试验（无重复试 验），试验结果如下表：
因素
B1
…
Bj
…
Bs
A1
y11
…
y1j
1
第三章 试验的方差分析
3.1 基本术语
1、指标：试验中需要考核的参数称为指标，如产品的产量，材料 的强度等。从数量上看，指标可以是单一指标，也可以是多指标； 从性质上指标可分为定性指标和定量指标。 2、因素：可能对指标产生影响的参数称为因素。因素分为可控因 素和不可控因素。试验设计讨论的因素一般是可控因素。
应该注意 的选取。检验结果如下：
FA F0.01( f A , fe )
高度显著
**
F0.05 ( f A , fe ) FA F0.01( f A , fe )
显著
*
FA F0.05 ( f A , fe )
不显著
8
3.2 单因素试验的方差分析
3.2.2 单因素试验方差分析的一般步骤
T yij 2.759
ij
n mi
yi2j 0.451457
i1 j1
n
mi (
yij
)
2

Baidu Nhomakorabea
j1
i1
mi
0.451393


17
3.3 双因素试验的方差分析
SST

n i1
mi j 1
yi2j

T2 N
0.451457 2.7592 17
T
2 j
j 1
T2 N
5、计算误差变动平方和
SSe SST SSA SSB
6、计算自由度
fT rs 1 N 1
22
3.3 双因素试验的方差分析
fA r 1
fB s 1
7、计算平均变动
fe (r 1)(s 1)
VA SSA / f A VB SSB / fB
F值越大，说明因素水平改变对指标的影响超过了试验误差造成的影响， 即条件误差相对试验误差大得多。现在问题的关键就是F值大到多少可 以认为试验结果的差异主要由因素水平的改变引起，小到多少可以认 为试验结果的差异主要由试验误差引起，这就需要一个标准，这个标 准由F表查出F临界值。
见书P203-207附录4。在F表上，横行f1代表F值中分子的自由度， 竖行f2代表F值中分母的自由度，相交处的数值即为F临界值。查表时
i1 j1
n
m0
m0

( yi y)( yij yi )
i1
j 1
j1
n
( yi y)(m0 yi m0 yi ) 0 i 1
SST SSe SS因
11
3.2 单因素试验的方差分析
为了计算方便，对各偏差平方和进行简化推导，得到 各自的简化计算方法：
所以因素A高度显著。
14
3.2 单因素试验的方差分析
如果每个水平上的试验次数mi（i=1,2,…n）不相同， 以N代表总的试验次数，则可用下列式子计算：
SST

n i1
mi j 1
yi2j

T2 N
SS因

n i 1
(
mi
yij )2
j 1
mi



T
度，在同一温度下各作三次试验（单位：％）
试验次数 1
60℃ 90
65 ℃ 97
70℃ 96
75℃ 84
80 ℃ 84
2
92
93
96
83
86
3
88
92
93
88
82
试问：在60-80℃范围内试验，温度对产品收得率有无显著
影响？
3
3.2 单因素试验的方差分析
首先，我们对表中的数据进行如下的计算：
试验次数
设因素A有n个水平，每个水平重复试验m0次，水平Ai的第j次试验
值为yij（i=1,2,…n；j=1,2,…m0），则可将数据以下表形式表达：
yij
i 1
j 1 jm0
m0
Ti yi j j 1
m0
Ri yi2j
j 1
1 m0
yij
m0
yij
j 1
y11 y1 j y1m0
令
P T2 nm0
，
Q

1 m0
(
n i 1
Ti2 )
，则
SST

n i1
m0 j 1
yi2j
T2
nm0
RP
SS因
1 m0
n i1
(
m0 j 1
yij
)2

T2 nm0
QP
SSe

n i1
m0 j 1
yi2j

1 m0
n m0
( yij )2 R Q
i1 j1
12
3.2 单因素试验的方差分析
我们以上面的例子为例继续计算： fT nm0 1 5 3 1 14
fA n 1 51 4
fe fT f A 14 4 10 或
fe n(m0 1) 5 (3 1) 10
VA

SS A fA
T1
R1
y1




i
yi1 yij yim0
Ti
Ri
yi





n
yn1 ynj ynm0
Tn
Rn
yn
n

T
R y T /(nm0 )
i 1
9
3.2 单因素试验的方差分析
1、偏差平方和的分解：
根据定义有：
n m0
SST
( yij y)2
i1 j1
n m0
试验次数
1 2 3 4
不同酸度时的吸光度
0
1%
2%
0.140 0.141 0.144
0.152 0.150 0.156 0.154
0.160 0.158 0.163 0.161
3%
0.175 0.173
4%
0.180 0.184 0.182 0.186
16
3.3 双因素试验的方差分析
解：
n
N mi 3 4 4 2 4 17 i 1
误差(组内)自由度：fe n(m0 1) ， m0试验重复数。
6
3.2 单因素试验的方差分析
显然， fT f因 fe
我们用上述离差平方和除以对应的自由度得到均方差：
V因 SS因 / f因 ， V因 称为组间均方差或因素平均变动。
Ve SSe / fe ，Ve 称为组内均方差或误差平均变动。
2
N



n mi
n
mi (
yij
)2

SSe

i 1
j 1
yi2j

i 1


j 1
mi



15
3.3 双因素试验的方差分析
具体例子可见书上P33例3－2。 例3-2 用火焰原子吸收光谱测定矿石中的铋，研究酸 度对吸光度的影响。得到如下表所示的结果。试由表 中的数据评价酸度对吸光度的影响。
…
y1s






Ai
yi1
…
yij
…
yis






Ar
yr1
…
yrj
…
yrs
20
3.3 双因素试验的方差分析
1、计算行和数、行平均数
s
Ti yij j 1
yi

Ti s
2、计算列和数、列平均数
r
T j yij i 1
y j

T j r
3、计算总变动平方和
SST
0.003688
SS因

n i 1
(
mi j 1
yij
)2


T
2

mi
N
0.451393
2.7592 17
0.003624


SSe SST SSA 0.000064
18
3.3 双因素试验的方差分析
fT N 1 16 fA n 1 51 4
从上面的计算可以看出：SST SSA SSe ， 这是一种偶然还
是一种必然呢？后面我们可以证明这是一种必然。 SST、SSA、SSe 是若干项的平方和，其大小与参加求和的项数
有关。为了消除参与求和项数的影响，我们定义自由度如下：
总自由度：fT nm0 1 , nm0 试验总数据个数。
因素(组间)自由度：f因 n 1 ，n为因素的水平数。
我们将因素平均变动和误差平均变动进行比较，为此构造如
下的F函数：
F因
因素平均变动 误差平均变动
V因 Ve
F值的大小，可以来判断因素水平对指标的影响。F值接近1时，
说明因素水平的改变对指标的影响和试验误差的影响差不多，即水
平改变对指标的影响在误差范围内，也就是说因素水平间无显著差
7
3.2 单因素试验的方差分析

303.6 4
75.9
Ve

SSe fe

50.0 10
5.0
13
3.2 单因素试验的方差分析
FA

VA Ve

75.9 5.0
15.2
从F分布表中查取临界值
F0.05 (4,10) 3.48, F0.01(4,10) 5.99
因为 FA F0.01(4,10) 5.99
SST (90 89.6)2 (92 89.6)2 (82 89.6)2 353 .6
SS A 3 ( 90 89.6 )2 ( 94 89.6 )2 ( 84 89.6 )2 303.6
5
3.2 单因素试验的方差分析
SSe＝( 90 90 )2 ( 92 90 )2 ( 88 90 )2 ( 97 94 )2 ( 93 94 )2 ( 86 84 )2 ( 82 84 )2 50.0
fe fT f A 16 4 12
VA

SSA fA
0.003624 4
0.000906
Ve

SSe fe
0.000064 12
0.00000533
FA
VA Ve

0.000906 0.00000533
169 .98 F0.01(4,12) 5.41
SSe
( yij yi )2
i1 j1
n m0
SS因
( yi y)2
i1 j1
现证明 SST SSe SS因
n m0
n m0
SST
( yij y)2
( yij yi yi y)2
i1 j1
i1 j1
10
3.2 单因素试验的方差分析
Ve SSe / fe
8、进行显著性检验
FA VA /Ve ~ F [(r 1), (r 1)(s 1)]
FB VB /Ve ~ F [(s 1), (r 1)(s 1)]
具体例子见书上P37例3－3。
23
3.3 双因素试验的方差分析
3、水平：因素的所处的状态或内容称为水平。水平可以是数量性 的，如反应温度；也可是属性的，如催化剂种类，原材料产地等。
4、方差分析：方差分析是分析试验因素对指标影响是否显著的一 种方法。
2
3.2 单因素试验的方差分析
3.2 单因素试验的方差分析
3.2.1 一个具体的例子
为了考察温度对某种产品收得率的影响，选取了五种不同的温
之间确实存在差异，它们围绕总平均值 y 产生波动。
4
3.2 单因素试验的方差分析
另外，每个水平下的三个数据虽然其试验条件相同，但它们之间仍 然有差异，它们围绕组平均值yi 产生波动，这个波动显然是由于原 材料、设备工具、操作方法、测试技术等微小变化的偶然因素造成。
我们将全部数据的总波动称为总离差平方和（或总变动平方和， 用SST表示），它可以分解成为两部分：因素变动平方和（或组间离 差平方和，用SSA表示），误差变动平方和（或组内离差平方和，用 SSe表示）。