构造辅助函数的策略及方法

构造辅助函数的策略及方法

近几年高考试题中，压轴试题逐步向函数、数列型不等式，（原创）创新性试题等方面发展，其中，利用高等数学中常用的构造辅助函数来处理不等式问题也作出了频繁考查，构造辅助函数，主要体现为：

1）构造辅助函数，利用单调性处理不等式

①利用不等式两边之差构造辅助函数，是高等数学中构造辅助函数最典型、最基本的策略； 如证明：)0(1)1ln(122>+>+++x x x x x

②利用不等式（或方程）两边相同“形式”的结构特征构造辅助函数；根据（数列型）不等式两边“形式”上结构特征提炼基本不等式，进而构造辅助函数； 如证明：b b

a a

b a b

a +++≤+++111

又如：（成都市2008、2009级二诊、一诊第22题） 1111123(1)ln ln ln ln 121

n n n n n -------<++++-111123

n n <++++- （14分）已知函数()ln()f x x x a =-+在1x =处取得极值。

（1）求实数a 的值； （2）若关于x 的方程2()2f x x x b +=+在1[,2]2上恰有两个不相等的实数根，求实数b

的取值范围；

（3）证明：22

132(,2)()(1)n

k n n n n k f k n n =-->∈-+∑N ≥。参考数据：ln20.6931≈。 ③若所证的不等式涉及到幂指数函数，则可通过适当的变形（如取对数）将其化为易于证明的形式，再如前面所讲那样，根据不等式的特点，构造辅助函数；

例如证明：当0>x 时，211

1)1(x x e x +

+<+.

④对双参数（双变量）不等式，常固定一个参数（视为常数），看成只有一个变量（主元）的函数来处理。

例如函数()ln f x x =，求证：当0b a <<时，()(2)2b a f a b f a a -+-<. 又如：（2004全国卷22）已知函数()ln(1)f x x x =+-，()ln g x x x =

. （Ⅰ）求函数()f x 的最大值；

（Ⅱ）设0a b <<,证明：0()()2(

)()ln 22a b g a g b g b a +<+-<-. 2）构造辅助函数，利用极值（最值）处理不等式

（2009全国卷二第22题）设函数()()21f x x aIn x =++有两个极值点12x x 、，且12x x < （I ）求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性；

（II ）证明：()21224

In f x -> 解答：（II ）由（I ）21(0)0,02g a x =>∴-

<<，2

22(2)a x x =-+2 ()()()222

22222221(2)1f x x aln x x x x ln x ∴=++=-++2

设()()221

(22)1()2

h x x x x ln x x =-++>-， 则()()()22(21)122(21)1h x x x ln x x x ln x '=-++-=-++ ⑴当1(,0)2x ∈-时，()0,()h x h x '>∴在1[,0)2

-单调递增； ⑵当(0,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 在(0,)+∞单调递减。

()1112ln 2(,0),()224

x h x h -∴∈->-=当时 故()22122()4

In f x h x -=>．