大学物理-第四章-力矩 转动定律 转动惯量

F
圆盘绕圆心转动
力矩可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响.
1
一 力矩
刚体绕 O z 轴 旋转 ,
力
F
作用在刚体上点
P,
且
r 在转动平面内, 为由点O 到力的作用点 P 的径矢 .


F
对转轴Z M
的力r 矩F
M

M Frsin Fd
d : 力臂
z
M
r
Od
F
P*
0
3
8
以上各例说明：
(1)刚体的转动惯量 与刚体的质量有关， 与刚体的质量分布有关， 与轴的位置有关。
(２)质量元的选取：
线分布 dm dx(或dl)
面分布 dm ds
体分布 dm dv
线分布
面分布
体分布
9
习题4-11： 质量为m1和m2 的两物体A、B 分别悬挂在图示的组合轮两端.设两轮的半 径分别为R 和r，两轮的转动惯量分别为J1 和J2 ，轮与轴承间、绳索与轮间的摩擦力 均略去不计，绳的质量也略去不计.试求两 物体的加度度和绳的张力.
Lz x mv y ymv x
15
2 刚体定轴转动的角动量
L mirivi ( miri2 )
i
i
z

L J
二 刚体定轴转动的角动量定理
dL d(J) M
dt dt
O ri
v i
mi
t2 Mdt
t1
L2 L1
dL

J2

J1
非刚体定轴转动的角动量定理
若 J 不变， 不变；若 J 变， 也变，但 L J 不变.
内力矩不改变系统的角动量.
在冲击等问题中 M in M ex L 常量
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
18
若 Mz外＝0， 则 L J 恒量
若外力对Ｚ轴的力矩为零，则刚体（或刚体组）对Ｚ轴的角 动量守恒，称之为刚体对轴的角动量守恒定律
20
有许多现象都可以用角 动量守恒来说明. 它是自然 界的普遍适用的规律.
花样滑冰 跳水运动员跳水
飞轮
1
2
航天器调姿

21
例4-2： 两个转动惯量分别为 J1 和 J2 的圆盘 A和 B. A 是机器上的飞轮, B 是用以改变飞轮转速的离合器圆 盘. 开始时, 他们分别以角速度ω 1 和ω 2 绕水平轴转 动. 然后,两圆盘在沿水平轴方向力的作用下.啮合为 一体, 其角速度为 ω, 求 齿轮啮合后两圆盘的角速度.
dt
I
d Fr dt
I
将 F 0.5t, r 0.1m, I 103kg m2
分加别代入上式，有 d 50tdt
则1秒末的角速度为
1
1
50tdt
25t
2
25 rad
0
t 1
s
17
三 刚体定轴转动的角动量守恒定律
若 M 0 ，则 L J 常量 . 讨论 守恒条件 M 0
dt
力
F
刚体定轴转动
角速度 d
角加速度 ddt
dt
力矩
M
质量
m
动量
P

mv
转动惯量 J r2dm
角动量
L

J
29
质点运动规律与刚体定轴转动的规律对照
质点的平动
刚体的定轴转动
运动定律
F

ma
转动定律
M J
动量定理
角动量定理
t

t0 Fdt mv mv0
有两种情况,
M 0
A）F 0
B）力的方向沿矢径的方向（sin 0 ）

向心力的力矩为零
F
力对固定轴的力矩为零的情况：
若力的作用线与轴平行 若力的作用线与轴相交
则力对该轴无力矩作用
5
二 转动定律
Fit (mi )at
M i ri Fit (mi )atri
at r
1)若为刚体，当角动量守恒时，因J＝常数，则亦为常数，这
与转动定律是一致的。

M外

dL dt
2、物体组内各质点以相同角速度绕同一轴转动时的角动量守恒
J可变，ω亦可变，但仍有Jω=常数，故有
1
J
19
1
J
3、刚体组绕同一轴转动时的角动量守恒
总角动量 L J11 J22 常量
LmvJ0E,kpEkm0vJ222
2
pi
p j
12
角动量的引入：
在质点的匀速圆周运动中，动量mv不守恒，但
r mv 常数
13
一 质点的角动量和刚体的角动量
1 质点角动量
质点在垂直于 z 轴平面
z
上以角速度 作半径为 r
的圆周运动.
or
转动动能
Ek

1 2
J 2
注意比较

平动动能
Ek

1 mv 2 2
24
2、力矩的功
对于i
dWi
质 点Fi其 d受ri外力Fi为c
Fi，
osi
dri
Ftidsi
Ftirid M id



M d
dri

i
Fi
ri mi
dsi
对i求和，当整个刚体转动d ，则力矩的元功
解: 系统角动量守恒
J11 J22 (J1 J2 )
J11 J 22
(J1 J2 )
22
习题4-16：一质量为m′、半径为R 的均匀圆盘，通过 其中心且与盘面垂直的水平轴以角速度ω转动，若在 某时刻，一质量为m 的小碎块从盘边缘裂开，且恰好 沿垂直方向上抛，问它可能达到的高度是多少？ 破裂
分析： 属质点系问题, 要用隔离体 法求解
画出受力图并建坐标(注:转动和平 动的坐标取向要一致)
10
对质点用牛顿定律, 对刚体用转动定律列运动方
程 m1g FT1 m1a1
FT2 m2 g m2a2
FT1R FT 2r J1 J2 α
且 a1 R , a2 r
mv

L质点r角动p量（r相 对m圆v心）
大小 L rmvsin


90
z L
A
mv

L rmv mr 2 （圆运动）
L 的方向符合右手法则.
r
14
★ 角动量的单位是：千克·米2·秒-1(kg·m2·s-1)。
☆ 质点动量不在转动平面内， 则只需考虑动量在转动平面内 的分量； 或运用坐标分量式求得：
2 J ddt
1
1
1 dt
1 dt

2 1
Jd

1 2
J22

1 2
J12
2 Md (1 J2 )
1
2
力矩对刚体所做的功，等于刚体转动动能的增量。
26
Y
M
vC
C mi
yC yi
O
X
4、刚体的势能
EP mi gyi
i
mgyc
其中m为刚体的总质量, yc为刚体质心的高度
力矩的方向:右手法则
2
1）若力 F 不在转动平面内：
可把力分解为平行于和垂直于转轴方向的两个分量

F Fz F
其中 Fz 对转轴的力矩为
零，故力对 转轴的力矩 M zk r F
z
k
Fz
F

O r
F
Mz rF sin
2）合力矩等 于各分力矩 的矢量和 M M1 M2 M3
3
3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消

M ij
O

Mij M ji
rj
d ri
i
j
Fji Fij
M ji
结论：刚体内各质点间的
作用力对转轴的合内力矩为零. M
Mij 0
4
力对固定点的力矩为零的情况：
力F等于零， 力F的作用线与矢径r共线（力F的作用线穿过0点, 即，向心力对 力心的力矩恒为零）。
联立求解得
FT1 FT1 , FT2 FT 2
a1

J1

m1R m2r J2 m1R2 m2r 2
gR
FT1

J1 J1

J2 J2
m1r2 m2Rr m1R2 m2r2
m1g
a2

J1

m1R m2r J2 m1R2 m2r 2
gr
FT 2
质点的平动
刚体的定轴转动
动能定理
动能定理
W

1 2
mv2

1 2
mv02
W

1 2
J 2

1 2
J02
重力势能 Ep mgh 重力势能 Ep mghC
机械能守恒 只有保守力作功时
Ek Ep 恒量
机械能守恒 只有保守力作功时
Ek Ep 恒量
31
讨论
子细 弹绳
o
击质
入量
沙不 袋计
v
子 弹
o
击
入
杆
v
圆
o'
锥
摆
T

m oR
p v
以子弹和沙袋为系统 以子弹和杆为系统 圆锥摆系统
动量守恒； 角动量守恒；
动量不守恒； 动量不守恒； 角动量守恒； 角动量守恒；
t2 t1
Mdt

J 22

J11
16
例4-1： 一定滑轮半径为0.1m，相对中心轴的转动惯量为 1×10-3kg·m2，一变力F=0.5t(SI)沿切线方向作用在滑轮的 边缘上，如果滑轮最初处于静止状态，忽略轴承的摩擦， 试求它在1s末的速度。
解：由转动定律 M I d , 有d M dt
Mi (mi )ri2
z
Fit
O ri mi
M Mi (mi )ri2 (mi )ri2
转动惯量
J miri2
转动定律
M J
6
转动定律 M J
J miri2
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正 比 ，与刚体的转动惯量成反比 .
1、刚体的转动动能
i质点的动能
Eki

1 2
mi vi2

1 2
miri2 2
整个刚体的动能 — 对i求和
Ek
i
Eki
i
1 2
mivi2

i
1 2
mi
ri2
2

1 2
(
i
miri2 ) 2

1 2
J 2
可见，刚体的转动动能等于刚体的转动惯量Байду номын сангаас角速度
平方乘积的一半。
转动惯量物理意义：转动惯性的量度.
质量连续分布刚体的转动惯量
J miri2 r2dm 质量元: dm
注意
i
转动惯量的大小取决于刚体的密度、几何
形状及转轴的位置.
给定轴而言，刚体的转动惯量是一个常数。
7
讨论： 一质量为 m 、长为 l 的均匀细长棒，与棒
垂直的轴的位置不同，转动惯量的变化 .
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
问：在质点问题中，我们将物体所受的力均作用于
同一点，并仅考虑力的大小和方向所产生的作用；在刚
体问题中，我们是否也可以如此处理？力的作用点的位
置对物体的运动有影响吗？


F
F


Fi 0 , Mi 0
圆盘静止不动

F


Fi 0 , Mi 0
O
Or
l 2 O´ dr l 2
O´ dr l
r 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 处的
质量元 dm dr dJ r2dm r2dr
转轴过中心垂直于棒 J 2 l / 2 r 2dr 1 ml2
0
12
转轴过端点垂直于棒
J l r 2dr 1 ml2
dW Mid (Mi )d Md
式中M为作用于刚体上外力矩之和---其表明：力矩的元功等于 力矩与角位移之乘积（∵内力矩之和为零）
∴ 当刚体转过有限角时，力矩的功为 W 2 Md 1
25
3、刚体定轴转动的动能定理：
W
2
Md
2
Jd
2 J dd
质量分布均匀而有 一定几何形状的刚体 ，质心的位置为它的 几何中心。
27
四、机械能守恒定律 若 A外 0 A内非 ＝０ (或只有保守力作功)
系统机械能守恒，即
1 2
mv2

1 2
J 2

mghc

1 2
k x2

恒量
28
质点运动与刚体定轴转动对照
质点运动
速度
v
加速度 a
dr ddvt

J1 J2 J1 J2
m1R2 m1R2

m1Rr m2r 2
m2
g
11
4-3 角动量 角动量守恒定律
力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理.
力矩的时间累积效应
冲量矩、角动量、
角动量定理.
一 质点的角动量和刚体的角动量
质点运动状态的描述 p
刚体定轴转动运动状态的描述
0, p 0
t

t0 Mdt L L0
动量守 恒定律
Fi 0,
mi vi

恒量
力的功
W
b
F

dr
角M动 量守0,恒定J律ii 恒量
力矩的功
W

Md
a
0
动能 Ek mv2 / 2 转动动能 Ek J 2 / 2
30
质点运动规律与刚体定轴转动的规律对照
后圆盘的角动量为多大？
分析:盘边缘裂开时，小碎块以原有
的切向速度作上抛运动.系统角动量守恒
由运动学可求得上抛的最大高度
v0 ωR
h v02 ω2R2 2g 2g
圆盘在裂开的过程中角动量守恒，故有
L

L0

L

1 2
mR2

mR2

(
1 2
m

m)
R2
23
三、刚体定轴转动的动能定理