有限元法与ANSYS技术-2-1有限元法数学基础(等效积分加权余量法)

一般选用简单形式的 函数，一旦选定就是 已知的了
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2.3 加权残量(余量)法
1 基本概念
假定某一科学问题的控制微分方程及边界条件为：
A(u) f 0 B(u) g 0
x x
R A(u) f R B(u) g
内部残量 边界残量
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2.3 加权残量(余量)法
2 配点法
取： Wj Wj (x xj )
( j 1n)
(x xj ) 0,


(
x

x
j
)

1,
x xj x xj
WjT ( A(u) f )d 0 ( j 1 n)
n

(x

x j ) A( i1
Niai )
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1 基本概念
2.3 加权残量(余量)法
等效积分
加权余量
得到的是近似解。
等效积分形式的 近似方法，得到的 是近似解。
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1 基本概念
2.3 加权残量(余量)法
试函数
权函数
出现在近似解中。 满足一定的域内条 件或边界条件。
出现在等效积分 表达式中，不同的 权函数涉及不同的 计算格式。
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2.3 加权残量(余量)法
)d 0
vT B(u) gd
(v1 B1(u) g1 v2 B2(u) g2
)d 0
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2.1 等效积分
1 问题的提出
这里
v

vv12


v
=
vv21

为任意函数向量，

并且v和 v 为与微分方程个数相等的函数。对任意
上述积分式均成立。
则表明积分形式与微分方程的定解问题等价
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2.1 等效积分
1 问题的提出
vT A(u) f d
(v1 A1(u) f1 v2 A2 (u) f2
)d 0
vT B(u) gd
(v1 B1(u) g1 v2 B2(u) g2

0
x (0,l)
等效积分 弱形式
l d 2vEJ d 2w l vqdx vEJ d 3w l dv EJ d 2w l 0
0 dx2
dx2 0
dx3 dx 0
dx2 0
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2.3 加权残量(余量)法
1 基本概念
权，然后知轻重。----《孟子》
通过引入权函数/试函数，将近 似解带入微分方程会有余值，在余 值形式中引入权函数，把这种余值 的加权积分，称为加权余值法。


将微分方程转化为弱形式，弱并不是弱化对方程 解的结果，而是弱化对解方程得要求，是弱化待求 变量的连续性，是以提高权函数的连续性为代价的。
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2.2 等效积分的弱形式
例题：梁弯曲问题
EJ
d 4w dx4
q

0
x (0,l)
等效积 分形式
l
0
v

EJ
d 4w dx4

q dx

f
( x, t )


A1 A2
(u) (u)



f1 f2
( x, t ) ( x, t )


0



且，u应满足边界条件:
in , u为未知函数
B(u)

g
(
x,
t)


B1 B2
(u) (u)


Bg12
(x, ( x,
t) t)
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2.2 等效积分的弱形式
将等效积分形式分步积分，得到的形式就称为等 效积分弱形式。因为分步积分后，算子导数阶次降 低，对待求变量的连续性降低，就起到了弱化作用。
vT

A(u)

f
d
v
B(u)

gd

0
CT (v)D(u)d ET (v)F(u)d 0


0



on , 是的边界
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2.1 等效积分
1 问题的提出
上述方程的简化形式：
x x
A (u) f 0 B (u) g 0
由于以上微分方程在 和 中每一点都成立，因此有：
vT A(u) f d
(v1 A1(u) f1 v2 A2 (u) f2
第二章 有限元法 数学基础
有限元法理论及数值分析
本章内容
1 微分方程的等效积分形式
2 等效积分的“弱”形式
3
加权余量法
4
泛函与变分原理
2
2.1 等效积分
有限差分法:求解域几何形状规则
的偏 数微 值分 解方 法程
有限单元法
以与原偏微 分方程及其 定解条件等 效积分提法 为基础
变分方法：若原方程有某些特 定性质，归结为泛函的驻值问 题。
加权余量法：适用于所有的偏 微分方程，不管是否存在进行 变分的泛函
注意：变分法和加权余量法也只能求解几何形状规则的问题，因为它 们都是在求解域上假设近似函数。但已构成了有限元法的理论基础。
3
2.1 等效积分
1 问题的提出
工程中的许多问题，通常以未知场函数应满足的 微分方程和边界条件的形式提出。
A(u)
f
)d

0
( j 1n)
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2.3 加权残量(余量)法
2 配点法
1 基本概念
用以下n个线性无关的函数来代替任意函数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ和 v
v Wj v Wj
( j 1n)
权函数
等效积 分形式
W

T j
(
A(u~)

f )d
W

T j
(B(u~)

g
)d

0
( j 1n)

W
T j
Rd


W
T j
R
d

0
( j 1n)
强迫残值在某种平均意义上为零。
采用使余量的加权积分为零求得微分方程近 似解的方法，称为加权余量(余值、残量)法。
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2.3 加权残量(余量)法
1 基本概念
假定一个试函数作为方程的近似解
u(x) u~(x)
n
Ni ai
真正的求解系数
i1
试函数要满足：
待定系数
1）一定的连续条件。
试函数(形函数)
2）线性独立。
3）完备性。n 时,u~ u
)d 0
vT

A(u)

f
d
v
B(u)

gd

0
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2.1 等效积分
2 微分方程的等效积分形式
x x
A (u) f 0 B (u) g 0
vT

A(u)

f
d
v
B(u)

gd

0
微分方程的等效积分形式