解析几何中的解题方法

解析几何中的解题方法
1．联立有法：巧用“1”的代换实现齐次化联立，直接构造关于斜率的方程
例1.(2018南通一中月考，5分)已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，且OA ⊥OB (O
为坐标原点)，若椭圆的离心率e ∈⎣⎡⎦⎤12，2
2，则a 的最大值为________．
【解析】因为OA ⊥OB ，a >b >0，所以点A ，B 的横坐标均不为0，即b ≠1.
联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，x ＋y ＝1，
得x 2a 2＋y 2b
2＝(x ＋y )2
，整理得⎝⎛⎭⎫1b 2－1⎝⎛⎭⎫y x 2－2⎝⎛⎭⎫y x ＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1＝0， 由题知Δ＝4－4⎝⎛⎭⎫1b 2－1⎝⎛⎭⎫1a 2－1>0，化简得a 2＋b 2>1，即2a 2>1.①
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为OA ⊥OB ，所以k OA k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝1
a 2
－1
1
b 2－1＝－1，
即
b 2＋a 2＝2a 2b 2，即
b 2＝
a 2
2a 2－1
. 又因为e ∈⎣⎡⎦⎤12，22，所以14≤c 2a 2≤12，即14≤1－b 2a 2≤12，所以12≤b 2a 2≤34，所以12≤12a 2－1≤34，解得76≤a 2≤32，即
426≤a ≤62，满足①式，所以a 的最大值为6
2
. 例2.(2017全国Ⅰ，12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 3⎝⎛⎭⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上． (Ⅰ)求C 的方程；
(Ⅱ)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点． 【解析】（1）由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过P 3，P 4两点，所以C 不经过P 1，
所以点P 2
在C 上，因此⎩⎨⎧1
b 2
＝1，1a 2
＋34b 2
＝1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2
＝4，b 2
＝1，
故C 的方程为x 2
4＋y 2
＝1.
(2)证明：若直线l ⊥x 轴，依题设方程为x ＝t (0＜|t |＜2)，可得A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛
⎭⎪⎫t ，4－t 22，(t ，－4－t 22)，所以22AP BP k k ＋＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－2t
＝－1，解得t ＝2，不符合题设．
因此直线l 斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋m ，(m ≠1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题知P 2A 与P 2B 的斜率
均存在，则x 1≠0，x 2≠0，m ≠－1.(8分)
依题意得y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝－1，令y ′＝y －1，则有y ′1x 1＋y ′2
x 2
＝－1.
由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2
4＋（y ′＋1）2＝1，y ′＋1＝kx ＋m ，
即⎩
⎨⎧x 2
4＋y ′2＋2y ′·1＝0，y ′－kx
m －1
＝1，所以x 2
4＋y ′2＋2y ′·y ′－kx m －1＝0，
整理得m ＋1m －1⎝⎛⎭⎫y ′x 2－2k m －1⎝⎛⎭⎫y ′x ＋14＝0，(10分)
根据根与系数的关系，得y ′1x 1＋y ′2x 2＝2k
m ＋1
＝－1
所以m ＝－2k －1，所以直线AB 的方程为y ＝k (x －2)－1，过定点(2，－1)，故原命题得证．
2．化二为一：解决一条直线与两条已知直线相交的问题，可以考虑将两条直线的方程整合成二次方程的形式
例：如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C
的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ，交PQ 于N ，若|MF 2|＝|F 1F 2|，则C 的离心率为________．
【解析】由F 1(－c ，0)，B (0，b )得直线PQ 的方程为y ＝b
c
(x ＋c )，
双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1的两条渐近线分别为bx －ay ＝0，bx ＋ay ＝0，两式相乘得b 2x 2－a 2y 2＝0，
联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b c （x ＋c ），
b 2x 2－a 2y 2＝0，得b 2x 2－2a 2cx －a 2
c 2＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由题知x 1，x 2为该方程的两个
根，Δ>0，所以点N 的横坐标为x N ＝x 1＋x 22＝a 2c b 2，代入直线PQ 方程得其坐标为N (a 2c b 2，c 2
b )．又由|MF 2|＝|F 1F 2|
得M (3c ，0)，在直角△F 1NM 中，由射影定理，得⎝⎛⎭⎫c 2b 2
＝⎝⎛⎭⎫a 2
c b 2
＋c ⎝⎛⎭⎫3c －a 2
c b 2，所以a 2＝2b 2，即a 2＝2(c 2－a 2)，即3a 2＝2c 2，故e ＝
62
.
3．公式择优而取：根据条件灵活选择面积和弦长的计算公式
(1)面积公式的选取
例1：(2018改编)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△ABO 的面积取得最大值时，直线l 的倾斜角为________．
【解析】易知曲线y ＝1－x 2是一个半圆，其半径为1，如图所示，
所以△ABO 的面积S ＝12OA ·OB sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ≤1
2，当且仅当∠AOB ＝90°时，S 取得最大值，此
时△ABO 是等腰直角三角形，斜边上的高为OH ＝2
2，在直角三角形OPH 中，sin ∠OPH ＝2
22＝12，所以∠OPH
＝30°，所以直线l 的倾斜角为150°.
例2：(2018改编)已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →
＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是________．
【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2
，y 2)，则OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝y 21y 2
2＋y 1y 2＝2，所以(y 1y 2＋2)(y 1y 2－1)＝0，又因为点A ，B 位于x 轴的两侧，所以y 1y 2＜0，所以y 1y 2＝－2 .
如图所示，分别过点A ，B 作y 轴的垂线，垂足为M ，N ，
则S △AOB ＝S 梯形ABNM －S △AOM －S △BON ＝12(x 1＋x 2)(|y 1|＋|y 2|)－12x 1|y 1|－12x 2|y 2|＝1
2(x 1|y 2|＋x 2|y 1|)，因为点A ，B
位于x 轴两侧，所以S △AOB ＝12|x 1y 2－x 2y 1|，所以△ABO 与△AFO 面积之和为S ＝12|x 1y 2－x 2y 1|＋12·14|y 1|＝1
2|y 1y 2(y 1
－y 2)|＋18|y 1|＝⎪⎪⎪⎪2y 1＋y 1 ＋18|y 1|＝2|y 1|＋9
8|y 1|≥22|y 1|·98|y 1|＝3，当且仅当2|y 1|＝98|y 1|，即|y 1|＝4
3
时取等号，故所求最小值为3.
（2）过圆锥曲线焦点的弦的弦长公式
例.(2018改编，5分)已知椭圆C ：x 22＋y 2
＝1，过点F (1，0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点， 若||AF ＝
2||BF ，则弦长||AB ＝________．
【解析】不妨设点A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方．
设∠AFx ＝θ，则|AF |＝
12＋cos θ，|BF |＝12－cos θ，依题意得|AF ||BF |＝2－cos θ2＋cos θ
＝2，解得cos θ＝－2
3，
所以弦长|AB |＝|AF |＋|BF |＝12＋cos θ＋12－cos θ＝222－cos 2θ
＝92
8.
4．巧设点参：用点的坐标有时更容易表示题中条件和问题，此时以点的坐标作为变量比设直
线方程更佳
例。

(2017江苏启东期末，5分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)与直线y ＝kx (k >0)相
交于A ，B 两点(从左至右)．过点B 作x 轴的垂线，垂足为C ，直线AC 交椭圆于另一点D ，若以AD 为直径的圆恰好经过点B ，则椭圆的离心率为________．
【解析】依题可设A (－x 0，－y 0)，B (x 0，y 0)，C (x 0，0)，易得k AB ＝y 0－（－y 0）x 0－（－x 0）＝y 0x 0＝k ，k BD ＝－1
k ，
k AC ＝
0－（－y 0）x 0－（－x 0）＝k
2
(k >0)．
设点D 的坐标为D (x 1，y 1)，由⎩
⎨⎧x 20a 2
＋y 20
b 2＝1，x 21a 2＋y 21
b 2
＝1，两式相减，得y 1－y 0x 1－x 0·y 1－（－y 0）x 1－（－x 0）＝－b 2a 2，即k DB ∙k DA ＝－b 2
a 2，
其中k DA ＝k CA ＝k 2，k DB ＝－1k ，所以－b 2a 2＝k 2×⎝⎛⎭⎫－1k ＝－12，所以b 2a 2＝1
2
.
所以离心率为e ＝c
a
＝
1－b 2a 2＝22
.
5．巧设线参：根据已知条件灵活选用直线方程的表示形式
例.(2017南通一中月考)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)过点(2，22)，
A ，
B 分别为椭圆
C 的右、下顶点，且OA ＝2OB .
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)设点P 在椭圆C 内，满足直线P A ，PB 的斜率乘积为－1
4
，且直线P A ，PB 分别交椭圆于M ，N .
(ⅰ) 若M ，N 关于y 轴对称，求直线P A 的斜率； (ⅱ)求证：△PMN 和△P AB 的面积相等． 【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧a ＝2b ，4a 2＋8b 2＝1，解得a 2＝36，b 2＝9，
所以椭圆C 的方程为答案：x 236＋y 2
9
＝1.
(2)(法一)因为直线P A ，PB 的斜率乘积为－1
4，所以直线P A ，PB 的斜率均存在且不为0且符号相反，
设直线P A 的方程为x ＝my ＋6，则直线PB 的方程为y ＝－14mx －3，结合点P 在椭圆内得k PB ＜－12或k PB >1
2，
所以－14m <－12或－14m >1
2
，解得m >2或m <－2.
联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋6，x 236＋y 29
＝1，得(m 2＋4)y 2＋12my ＝0，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6（m 2－4）m 2＋4，－12m m 2＋4.
联立⎩⎨⎧y ＝－1
4mx －3，
x 2
36＋y
2
9
＝1，得(m 2
＋4)x 2
＋24mx ＝0，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－24m m 2
＋4，3（m 2
－4）m 2
＋4.
依题意得3(m 2－4)＝－12m ，解得m ＝－2±22，
因为m >2或m <－2，故m ＝－2－22，直线P A 的斜率为k P A ＝1m ＝1－2
2.
(法二)依题意可设M (x 0，y 0)，N (－x 0，y 0)，
由题意得⎩⎨⎧x 2036＋y 20
9
＝1，y 0
x 0
－6·y 0
－（－3）－x 0
＝－14，
即⎩⎪⎨⎪⎧x 20
＋4y 20
＝36，
（2y 0
＋x 0
）（2y 0
－x 0
＋6）＝0，
所以⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋4y 20＝36，2y 0－x 0＋6＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋4y 20＝36，2y 0＝－x 0，
由⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋4y 20＝36，2y 0－x 0＋6＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝6，y 0＝0或⎩
⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－3， 此时M ，N 在椭圆顶点上，不符合题意；
由⎩⎪⎨⎪
⎧x 20＋4y 20＝36，2y 0＝－x 0
解得⎩⎨⎧x 0＝－62，y 0＝32或⎩
⎨⎧x 0＝6
2，y 0＝－32
，
当⎩⎨⎧x 0＝6
2，y 0
＝－3
2
时，点P 在椭圆外，不符合题意，
所以⎩⎨⎧x 0＝－
62
，y 0
＝3
2
，此时k P A ＝32－62
－6
＝1－2
2.
(3)证明：(法一)联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋6，y ＝－14mx －3，得P (－12（m －2）m 2＋4，－6（m ＋2）
m 2＋4)， 所以AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m （m ＋2）m 2＋4，－6（m ＋2）m 2＋4， BP →＝(－12（m －2）m 2＋4，3m （m －2）m 2＋4)，
PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m （m －2）m 2＋4，－6（m －2）m 2＋4， PN →＝(－12（m ＋2）m 2＋4，3m （m ＋2）
m 2＋4
)，
显然有PM →＝m －2m ＋2 AP →，PN →＝m ＋2m －2
BP →
，所以|PM ||AP |＝|BP ||PN |，即|PM |·|PN |＝|AP |·|BP |，
又因为∠MPN ＝∠APB ，所以由三角形面积公式S ＝1
2ab sin C 得△PMN 和△P AB 的面积相等．
(法二)因为直线P A ，PB 的斜率乘积为－1
4，所以直线P A ，PB 的斜率均存在且不为0且符号相反，设
直线P A 的方程为x ＝my ＋6，则直线PB 的方程为y ＝－14mx －3，结合点P 在椭圆内得k PB ＜－12或k PB >1
2，
所以－14m <－12或－14m >1
2
，解得m >2或m <－2.
联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋6，x 236＋y 29＝1得(m 2＋4)y 2＋12my ＝0，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6（m 2－4）m 2＋4，－12m m 2＋4.
联立⎩
⎨⎧y ＝－1
4mx －3，
x 236＋y 2
9
＝1得(m 2＋4)x 2＋24mx ＝0，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－24m m 2＋4，3（m 2－4）m 2＋4.
所以直线NA 的斜率k NA ＝3（m 2－4）m 2＋4－24m m 2＋4－6＝m 2－4－8m －2（m 2＋4）＝m －2
－2（m ＋2）
所以直线MB 的斜率k MB ＝－12m
m 2＋4＋3－6（m 2－4）m 2＋4＝－4m ＋（m 2＋4）－2（m 2－4）＝m －2
－2（m ＋2）
所以NA ∥MB ，所以S △AMB ＝S △NMB ，S △AMB －S △PMB ＝S △NMB －S △PMB ， 即△PMN 和△P AB 的面积相等．
6．横岭侧峰：以最合适的角度去审视已知条件和待求目标，避免简单直译，有时会有奇效
例。

(2017山西二模)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1()a >0，b >0的右焦点为F ，直线y ＝4
3x 与双曲线相交于A ，B 两
点，若AF ⊥BF ，则双曲线C 的渐近线方程为________．
【解析】(法一)(直译)由已知得b a >4
3，联立⎩
⎨⎧x 2a 2－y 2
b 2＝1，y ＝4
3
x ，
设A 位于y 轴右侧，则B 位于y 轴左侧，
则A (3ab 9b 2－16a 2，4ab 9b 2－16a 2)， B (－3ab 9b 2－16a 2，－4ab
9b 2－16a 2)，
根据AF ⊥BF 得
AF →·BF →＝⎝
⎛⎭⎪⎫c －3ab 9b 2－16a 2，－4ab 9b 2－16a 2·(c ＋
3ab 9b 2－16a 2，4ab 9b 2－16a 2
)＝c 2－25a 2b 29b 2－16a 2＝0， 即(a 2＋b 2)(9b 2－16a 2)－25a 2b 2＝0，整理得(b 2－4a 2)(9b 2＋4a 2)＝0， 所以b 2＝4a 2，渐近线方程为y ＝±2x .
(法二)(由直角联想到圆)由AF ⊥BF 知OA ＝OB ＝OF ＝c ，所以A ，B 在圆x 2＋y 2＝c 2上． 依题意不妨设A (3t ，4t )(t ＞0)，解得t ＝c 5，将A ⎝⎛⎭⎫3c 5，4c 5代入双曲线方程得9c 225a 2－16c 225b 2
＝1，
消去c 并整理得(b 2－4a 2)(9b 2＋4a 2)＝0，所以b 2＝4a 2，故渐近线方程为y ＝±2x .
(法三)(几何思考之解三角形)取该双曲线的左焦点F ′，连接AF ′，BF ′，如图所示，易知四边形AFBF ′是矩形．
设∠AF ′O ＝θ，则∠AOF ＝2θ，则tan2θ＝
2tan θ1－tan 2θ＝43
，解得tan θ＝1
2(其中tan θ＝－2不符合题意，舍去)，
所以tan θ＝|AF ||AF ′|＝1
2，设|AF |＝m (m >0)，则|AF ′|＝2m ，所以2a ＝|AF ′|－|AF |＝m ，2c ＝|FF ′|＝5m ，b 2＝c 2－
a 2＝m 2，
b ＝m ，所以渐近线方程为y ＝±b
a
x ＝±2x .
7．以动制静：有些与对称中心、中点、角度相关的问题，可以利用图形的旋转快速找到突破口，实现一招毙敌
例1. 过椭圆x 216＋y 2
4＝1内一点M (1，1)引一条弦AB ，使得M 恰为AB 的中点，则直线AB 的方程为________．
【解析】如图所示，将椭圆C ：x 216＋y 2
4＝1绕点M (1，1)旋转180°，得到椭圆C ′：（2－x ）216＋（2－y ）24＝1，
则弦AB 是这两个椭圆的公共弦，两个椭圆方程相减得x ＋4y －5＝0，此即直线AB 的方程．
例2.(2017宁夏模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝4和点A (1，0)，在圆O 上存在点P ，直线l ：x ＋y ＋a ＝0上存在点
Q ，使得P A ⊥AQ ，且P A ＝AQ ，则实数a 的取值范围是________． 【解析】(法一)点Q 可看作是圆上的点P 绕点A (1，0)旋转90°得到的，所以只需将圆O 绕点A 旋转90°之后与直线l 有公共点即可．圆心O 绕点A 顺时针和逆时针旋转90°分别得到点O ′(1，1)和O ″(1，－1)，半
径不变，所以|2＋a |2≤2或|a |
2
≤2，解得－22－2≤a ≤22，故实数a 的取值范围是[－22－2，22]．
(法二)如图所示，可设P (2cos θ，2sin θ)，根据△P AM ≌△AQN 得Q (1＋2sin θ，1－2cos θ)，再根据Q ′与Q 关于A 中心对称得Q ′(1－2sin θ，2cos θ－1)，则依题意得直线l 经过点Q 或点Q ′，所以1＋2sin θ＋1－2cos θ＋a ＝0或1－2sin θ＋2cos θ－1＋a ＝0，即a ＝－22sin(θ－π
4)－2或a ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4，所以－22－2≤a ≤22－2或－22≤a ≤22，故实数a 的取值范围是[－22－2，22]．
8．命题转化：巧妙转化命题，将陌生问题熟悉化
例.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，过A ，B 两点作抛物线C
的切线，记这两条切线的交点为点P ，证明：点P 在定直线上．
【证明】为了便于用导数求切线，不妨将题图中所有元素沿着直线y ＝x 翻折，即先考虑下述问题：
已知抛物线x 2＝4y ，过其焦点的直线y ＝kx ＋1与该抛物线交于E ，D 两点，过E ，D 两点作抛物线x 2
＝4y 的切线，记这两条切线的交点为点Q ，证明：点Q 在定直线上．
设切点坐标分别为E (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，对y ＝x 24求导得y ′＝x
2，所以抛物线x 2＝4y 在点E 处的切线方
程为y ＝x 12(x －x 1)＋y 1，即y ＝x 1
2
x －y 1.
同理，抛物线x 2＝4y 在点D 处的切线方程为y ＝x 2
2x －y 2，
联立⎩
⎨⎧
y ＝x 1
2x －y 1，
y ＝x 2
2
x －y 2，得x ＝y 1－y 2
12（x 1－x 2）＝2k ，
y ＝x 12
·2k －y 1＝kx 1－y 1＝－1.所以点Q 的坐标为(2k ，－1)，它在定直线y ＝－1上．
所以点P 在定直线x ＝－1上．
【变式思考】如果把“过焦点F 的直线”改为“过定点(2，0)的直线”，其他条件不变，结果如何？
解：略(解析过程参见例题)．
10．极限思考：突破题目所给条件，考虑更极端的情形，有时能直接得到答案
例1. 设直线y ＝x ＋m (m >0)与y 轴交于点A ，与双曲线x 2－
y 2
4＝1相交于B ，C 两点，且||AB <||AC ，则||AC ||
AB 的取值范围是________．
【解析】(法一)联立⎩⎪⎨⎪
⎧y ＝x ＋m ，x 2－y 24＝1，得3x 2－2mx －(m 2＋4)＝0，Δ>0，由根与系数的关系得⎩
⎨⎧
x B ＋x C ＝2m
3，x B x C ＝－m 2＋43
.
因为A ，B ，C 三点共线，所以|AC ||AB |＝|x C －x A ||x A －x B |＝－x C
x B
.
不妨设x C ＝tx B (t <0)，由t ＋1t ＋2＝（x B ＋x C ）2x B x C ＝4m 2
9－
m 2＋43＝－4m 23（m 2＋4）
＝－43＋163（m 2＋4）∈
⎝⎛⎭⎫－43，0得－43＜t ＋1
t
＋2＜0，
解得－3＜t ＜－1或－1＜t ＜－13.又因为|AB |＜|AC |，所以|AC ||AB |＝|t |＞1，所以|AC ||AB |的取值范围是(1，3)．
(法二)(仅用于小题)：当m →0时，|AC |
|AB |→1；当m 充分大(趋于正无穷大)时，B ，C 可近似地视为直线y
＝x ＋m 与渐近线y ＝－2x ，y ＝2x 的交点，易得横坐标分别为－m 3和m ，此时|AC |
|AB |→3，此过程单调连续变化，
故
|AC |
|AB |
的取值范围是(1，3)．
例2.已知P ，Q 是直线x ＝2与抛物线y 2＝2x 的两个交点(点P 在点Q 的上方)，两条经过点P 且关于直线PQ 对称的直线l 1，l 2与抛物线的另一交点为M ，N ，则直线MN 的斜率为________．
【解析】(法一)依题意得P (2，2)，l 1，l 2经过点P ，斜率互为相反数且均不为0，所以设l 1：x ＝m (y －2)＋2，l 2：x ＝－m (y －2)＋2.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，
联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x ＝m （y －2）＋2
得y 2－2my ＋4m －4＝0，则y 1＋2＝2m ，所以y 1＝2m －2，
同理可得y 2＝－2m －2，所以y 1＋y 2＝－4.
所以直线MN 的斜率为k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 112
（y 22－y 21）＝2y 1＋y 2
＝－12.
(法二)(仅用于小题)考虑极限情况，当l 1，l 2无限靠近直线x ＝2时，点M ，N 向点Q 无限靠近，当它们重合时，直线MN 就是抛物线在点Q (2，－2)处的切线，设斜率为k (k ≠0)，则切线方程为y ＝k (x －2)－2，
联立⎩
⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝k （x －2）－2，即⎩⎪⎨⎪⎧ky 2＝2kx ，y ＋2k ＋2＝kx ，得ky 2－2y －4(k ＋1)＝0，
令Δ＝4＋16k (k ＋1)＝0，解得k ＝－12，因此直线MN 的斜率为－1
2
.
9．定义为王：巧用圆锥曲线的定义构建数量关系
例1.(2015浙江，4分)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝b
c x 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆
的离心率是________．
【解析】(法一)设Q (x 0，y 0)，则⎩
⎨⎧
y 0x 0－c ·b
c
＝－1，y 02＝b c ·x 0＋c
2
，解得⎩
⎨⎧x 0＝c （c 2－b 2）
a 2
，
y 0＝2bc 2a 2，
代入椭圆方程得
⎣⎡⎦⎤c （c 2－b 2）a 22a 2
＋
⎝⎛⎭
⎫
2bc 2a 22
b 2
＝1，即a 4＝
c 2（c 2－b 2）2
a 2
＋4c 4，
整理得(a 2－2c 2)(a 4＋a 2c 2＋2c 4)＝0，∴a 2＝2c 2，e ＝
22
. (法二)记左焦点为F ′，∵直线y ＝b c x 垂直平分线段QF ，点O 为FF ′的中点，∴QF ′与直线y ＝b
c x 平行，∴∠F ′QF
＝90°.根据tan ∠QF ′F ＝b
c
，可设|QF |＝bk ，|QF ′|＝ck (k >0)，
则2c ＝|F ′F |＝（bk ）2＋（ck ）2＝ak ，2a ＝|QF |＋|QF ′|＝(b ＋c )k ，消去k 得c a ＝a
c ＋b ，即a 2＝c 2＋bc ，
∴a 2－c 2＝bc ，b 2＝bc ，∴b ＝c ，∴e ＝
22
.
例2.从双曲线4x 2－y 2＝4的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝1的切线l ，切点为T ，且l 交双曲线的右支于点P ，M 是线段FP 的中点，O 为坐标原点，则||OM －||TM ＝________． 【解析】双曲线方程即
x 2－
y 2
4
＝1，所以a ＝1，b ＝2. 设F ′为右焦点，连接PF ′，OT ，OM ，则OM ∥PF ′，|OM |＝1
2|PF ′|，OT ⊥PF .
因为|OF |2＝c 2＝a 2＋b 2＝5，
所以|TF |＝|OF |2－|OT |2＝5－12＝2.
又因为点P 在双曲线右支上，所以|PF |－|PF ′|＝2a ＝2，
所以|OM |－|TM |＝1
2|PF ′|－⎝⎛⎭⎫12|PF |－|TF |＝|TF |＋|PF ′|－|PF |2＝2－1＝1.。