(全国通用版)201X版高考数学一轮复习 选考部分 不等式选讲学案 理

不等式选讲 第1课绝对值不等式

[过双基]

1．绝对值三角不等式

定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． 定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．

2．绝对值不等式的解法

(1)含绝对值的不等式|x |a 的解集 不等式

a >0 a ＝0 a <0 |x |

{}x |－a a {}x |x >a 或x <－a {}x ∈R|x ≠0

R (2)|ax ＋b ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ；

②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .

(3)|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法：

①利用绝对值不等式的几何意义求解；

②利用零点分段法求解；

③构造函数，利用函数的图象求解．

[小题速通]

1．不等式|x ＋1|－|x －2|≥1的解集是________．

解析：f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎨⎧ －3，x ≤－1，

2x －1，－1

3，x ≥2.

当－1

又当x ≥2时，f (x )＝3>1，

x|x≥1.

所以不等式的解集为{}

答案：{x|x≥1}

2．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．

解析：∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，

要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3，

∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.

答案：[－2,4]

x|1≤x≤3，则实数k＝________.

3．若不等式|kx－4|≤2的解集为{}

解析：由|kx－4|≤2⇔2≤kx≤6.

x|1≤x≤3，

∵不等式的解集为{}

∴k＝2.

答案：2

4．设不等式|x＋1|－|x－2|>k的解集为R，则实数k的取值范围为____________．解析：∵||x＋1|－|x－2||≤3，

∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3，

∴k＜(|x＋1|－|x－2|)的最小值，

即k＜－3.

答案：(－∞，－3)

[清易错]

1．对形如|f(x)|>a或|f(x)|

2．绝对值不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|中易忽视等号成立的条件．如|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≤0时等号成立，其他类似推导．

1．设，为满足<0的实数，那么( )

A．|a＋b|>|a－b|

B．|a＋b|<|a－b|

C．|a－b|＜||a|－|b||

D．|a－b|<|a|＋|b|

解析：选B ∵ab<0，∴|a－b|＝|a|＋|b|>|a＋b|.

2．若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．

解析：|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－2)－2|≤|x－1|＋2|y－2|＋2≤5.

答案：5

绝对值不等式的解法

[典例] 设函数f (x )＝|x ＋1|－|x －1|＋a (a ∈R)．

(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>0的解集；

(2)若方程f (x )＝x 只有一个实数根，求实数a 的取值范围．

[解] (1)依题意，原不等式等价于：

|x ＋1|－|x －1|＋1>0，

当x <－1时，－(x ＋1)＋(x －1)＋1>0，

即－1>0，此时解集为∅；

当－1≤x ≤1时，x ＋1＋(x －1)＋1>0，

即x >－12，此时－12

1时，x ＋1－(x －1)＋1>0，

即3>0，此时x >1.

综上所述，不等式f (x )>0的解集为⎩

⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫xx >－12. (2)依题意，方程f (x )＝x 等价于a ＝|x －1|－|x ＋1|＋x ，

令g (x )＝|x －1|－|x ＋1|＋x .

∴g (x )＝⎩⎨⎧ x ＋2，x <－1，

－x ，－1≤x ≤1，

x －2，x >1..

画出函数g (x )的图象如图所示，

∴要使原方程只有一个实数根，只需a >1或a <－1.

∴实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．

[方法技巧]

(1)求解绝对值不等式的两个注意点：

①要求的不等式的解集是各类情形的并集，利用零点分段法的操作程序是：找零点、分区间、分段讨论．

②对于解较复杂绝对值不等式，要恰当运用条件，简化分类讨论，优化解题过程．

(2)求解该类问题的关键是去绝对值符号，可以运用零点分段法去绝对值，此外还常利用绝对值的几何意义求解．

[即时演练]

1．解不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6.

解：法一：当x >12时，原不等式转化为4x ≤6⇒12

； 当x <－12时，原不等式转化为－4x ≤6⇒－32≤x <－12

. 综上知，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪⎫x |－32≤x ≤32. 法二：原不等式可化为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪

⎪⎪x ＋12≤3， 其几何意义为数轴上到12，－12

两点的距离之和不超过3的点的集合，数形结合知，当x ＝32或x ＝－32时，到12，－12两点的距离之和恰好为3，故当－32≤x ≤32

时，满足题意，则原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪⎫x |－32≤x ≤32. 2．解不等式|x －1|－|x －5|<2.

解：当x <1时，不等式可化为－(x －1)－(5－x )<2，

即－4<2，显然成立，所以此时不等式的解集为(－∞，1)；

当1≤x ≤5时，不等式可化为x －1－(5－x )<2，

即2x －6<2，解得x <4，所以此时不等式的解集为[1,4)；

当x >5时，不等式可化为(x －1)－(x －5)<2，

即4<2，显然不成立．所以此时不等式无解．

综上，不等式的解集为(－∞，4)．

绝对值不等式的证明

[典例] 已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤6，|x －y |≤4

， 求证：|x ＋5y |≤1.

[证明] ∵|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|.

∴由绝对值不等式的性质，得

|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )|