内积空间

x (1, 1,1)T , y (1, 4, 5)T .
所以所求内积为
( f , g) xTGy 0.
拓扑空间
线性空间
Hausdorff空间
距离空间 (度量空间)
拓扑线性空间 距离线性空间
赋范空间
完备距离 线性空间
Banach空间
内积空间
Hilbert空间
欧氏空间 Rn和 C n 各类空间的层次关系
向量
.
我们知道，平面几何中成立余弦定理，那么n维空 间中余弦定理是否仍然成立呢？注意到
( , ) (,) ( , ) ( , ) (,) (, ) 2 (,) (, )
(, ) (,) (, )
定理8 （柯西--施瓦茨不等式）如果 V 是数域 R 上 的欧氏空间，则对 V 中的任意向量 α、β V ，有
无限求和即积分！
例 5 线性空间 C[a, b] 按下列内积构成欧氏空间：
( f , g)
b
f ( x)g( x)dx ,
f、g C[a, b]
a
证明： 当 ( f , f ) b f 2( x)dx 0 时，若有 a
f (c) 0, c (a, b). 则由函数的连续性，存在邻域
4 （3）特别地，当 α 与 β 正交时，有
||α β|| 2 ||α|| 2 ||β|| 2 .
最后我们给出欧氏空间 V 的内积的坐标表示形式。
设 1,2, ,n 为 V 的任意一组基，向量 , 在
此基下的坐标分别为
x ( x1, x2 , , xn )T , y ( y1, y2, , yn )T .
f (t) 1 t t2, g(t) 1 4t 5t2.
解： (1)
g11 (1,1 ) (1,1)
1
11dt 2,
1
1
g12 (1,2 ) (1, t)
1 t dt 0,
1
g13 (1,3 ) (1, t 2 )
1 1 t 2 dt
1
2 3
,
g22 (2,2 ) (t, t)
次型 ；当 A I 时就是前面的标准内积。
由于函数也可以看成向量，所以内积也可以推广到函 数。先考虑折线函数：
F { f | f ( f1 , f2 , , fn )T }
显然其内积可定义为
( f , g) f1 g1 f2 g2 fn gn fi gi
如果将一般函数看成具有无穷段折线段的向量，此时 上面的内积定义又会变成什么形式呢？
1
)
(1,2 ) (2,2 )
(s ,2 )
(1,s ) (2,s )
(
s
Байду номын сангаас
,
s
)
可以证明Gram矩阵 G 是对称正定矩阵。
例 12 欧氏空间 P[t]3 的内积为：
( f , g)
1
f (t)g(t)dt ,
1
f 、g P[t]3
（1）求自然基 1, t, t2 的度量矩阵 G 。
（2）用矩阵方法计算下列函数的内积：
a1b1 a2b2 anbn
注意到标准内积是特殊的二次型 ，因此有如下推广：
例 4 在向量空间 Rn 中，对任意 x、y Rn 和
A 实对称矩阵 ，定义实双线性型（Bilinear Form ）
[x, y] ( Ax, y) yT Ax, A Rnn
则 [ x, y] 是 Rn 的一个内积。 特别地，x y 时 [ x, x] xT Ax 就是二
证明：必要性。如果 1,2, ,s 线性无关，则它 们也是 W span(1,2, ,s ) 的一组基。
假设 G 奇异，则 Gx 有非零解 x Rs，则
x11 x22 xss , 故 ( , ) 0.
s
s
ss
但是 (, ) ( xii , xii )
(i , j )xi xj
在 R3 中，选取自然基 i, j, k，则度量矩阵
(i, i) (i, j) (i, k) 1 0 0 G ( j, i) ( j, j) ( j, k) 0 1 0 I
(k,i) (k, j) (k,k) 0 0 1
说明此时内积是标准内积，因此用坐标计算内积的公 式有最简单的形式。
我们当然希望在欧氏空间中通过适当选取基，使得 欧氏空间的度量矩阵也是单位矩阵（或者尽可能简 单些）。
注意到 Rn 中的内积显然具有如下性质：
(1) 对称性：( x, y) ( y, x) ; (2) 双线性性：( x y, z) ( x, z) ( y, z);
( x，y+z) ( x, y) ( x, z); (kx, y) k( x, y) , k R; ( x, ky) k( x, y) , k R; (3) 正性：( x, x) 0;
定义
mn
( A, B)
ai jbi j tr(BT A) tr( AT B)
i1 j1
则 Rm n 是定义了内积 ( A, B) 的内积空间。
根据前面的分析，欧氏空间中内积还具有下列性质。
(5) ( x，y+z) ( x, y) ( x, z); (6) ( x, ky) k( x, y) , k R;
定义1 欧氏空间 V 的一组基称为 V 的一个正交基，
如果它们两两正交。如果此正交基的每个基向量又都
是单位向量，则称此基为 V 的一个标准正交基。
例 2 欧氏空间C[0, 2 ] 的一个标准正交基是
1 , 1 cos x, 1 sin x, , 1 cos nx, 1 sin x,
2
如何求欧氏空间的标准正交基呢？
余弦定理成立！
另外，欧氏空间中的范数显然具有下列性质。
定理9 如果 V 是数域 R 上的欧氏空间，则对V 中
的任意向量 α、β V ，具有下列三条性质（非负性、 正齐性和三角不等式）：
(1) || || 0 ，当且仅当 时，等号成立。 (2) || || | | || || ; ( R)
§1、欧氏空间的基本概念
向量空间中向量的长度与夹角是用内积 定义的，因此要在线性空间中引入相关 概念，自然要对内积的概念进行推广。
由于向量的内积与向量的线性运算无关， 所以欧氏空间实际上是特殊的线性空间， 即定义了内积的线性空间。
一、内积空间(Inner Product Space)
在线性代数中，我们将 R3 中的内积推广到 Rn ：
( , ) T T
a1b1 a2b2 anbn .
将向量推广到无限维，可得到：
例3 定义了标准内积的集合 H 称为希尔伯特空 间，这里 H 是所有平方和收敛的实数列的集合，即
H { | (a1, a2, , an, )T }, a2i
i 1
( , ) T T
(4) 定性：( x, x)=0 x .
据此，我们可以给出线性空间中内积的公理化定义。
定义1 V 是实数域 R上的线性空间。如果对 V 中任意
两个向量 、 V 都存在所谓 与 的内积 (, ) R，满足下面四个条件。称定义了内积的线
性空间 V 为实内积空间，简称欧氏空间。
(1) (, ) ( , ) ; 、、 V
类似于高等数学，根据柯西-施瓦茨不等式，我们称
arccos (, ) , [0, ], 、 0
为欧氏空间 V 中向量 与 的夹角。
特别地，当 ( , ) 0 时，称 与 正交或垂 直，记为 。
因此
2 ( , )
(, ) ( , ) 2(, ) 2 2 2 cos(, )
（3） || || |||| ||||。
范数还具有下列平行四边形法则、极化恒等式和勾股 定理。
定理10 如果 V 是数域 R 上的欧氏空间，则对V 中
的任意向量 α、β V ，有：
(1) ||α β|| 2 ||α β|| 2 2( ||α|| 2 ||β|| 2 ) ;
(2) ( , ) 1 ( || || 2 || || 2) ;
第二章 内积空间
线性空间中向量的运算仅是线性运算。一 般而言，我们知道，现实世界是3维欧氏空间。 对于 n 维线性空间，定义了内积以后，向量不 仅有了长度（模），还有了两向量之间的夹角 等几何性质。特别是有了正交概念后，我们可 以得到标准正交基、勾股定理、正交投影等许 多优美的结果。
当向量元素在复数域内取值时，欧氏空间 就被推广到了酉空间。许多欧氏空间中的定义 和性质几乎可以“平滑地”推广到酉空间。欧 氏空间和酉空间统称为内积空间。
则内积
n
n
( , ) ( xii , yj j )
ni 1n
j1
xi yj (i , j ) (由内积的双线性性)
i1 j1
yTG x
定义11 欧氏空间 V 的一个向量组 1,2, ,s 的
度量矩阵或Gram 矩阵指的是矩阵
G (1 , 2 ,
(1,1 )
,
s
)
(
2
,
1
)
(
s
,
( x, y) x1 y1 xn yn xT y yT x, x, y Rn
并在此基础上定义了 Rn 中的向量长度、夹角等概念。
当然可以将这种定义推广到任意线性空间，但由于这 种定义与向量空间的基有关，我们目前不打算这样做。 取而代之的是，注意到内积是从两个向量得到的一个 数，我们自然希望确定这种运算的性质，进而给出线 性空间中内积的公理化定义。
1
t t dt
1
2 3
,
g23 (2,3 ) (t, t 2 )
1 t t 2 dt 0,
1
g33 (3,3 ) (t 2, t 2 )
1 t 2 t 2 dt
1
2 5
.
度量矩阵 G 是对称矩阵，所以所求为
2 G 0
0
2 3
2 3
0 .
2 3
0
2 5
（2）f (t) 和 g(t) 在自然基下的坐标分别是
(7) (, ) ( , ) .
二、欧氏空间的度量
注意到3维空间中，
x x12 x22 x32 ( x, x), x ( x1, x2 , x3 )T
定义7 欧氏空间 V 中的向量 的范数（norm)为
(,).
特别地，称 1 的向量 称为单位向量。
任意非零向量 ，经过规范化或单位化后可得到单位
(2) (, ) (, ) ; ( R) (3) ( , ) (, ) ( , ) ; (4) ( , ) 0 ，当且仅当 时，等号成立。
例2 定义了标准内积的 Rn 是欧氏空间。这里，
对任意两个向量
(a1, a2 , , an )T Rn
及 (b1, b2 , , bn )T Rn， 标准内积为
( , )2 ( , ) ( , ).
证明： 对任意 R ，显然 0 ( , ) ( , ) 2 ( , ) 2( , )
这个一元二次不等式对任意 恒成立，因此
4 ( , ) 2 4( , ) ( , ) 0
当 0 时，取 即两向量线性相关
时等式 成立。
i 1
i 1
i1 j1
xHG x xH 0. 出现矛盾。
证明：充分性。如果 1,2, ,s 线性相关， 不妨 s t11 t22 ts1 s1 ，则
(1,1 )
s1
(1, s1 ) (1, tii )
i 1
| G | (2,1 )
§2、标准正交基
正交性的重要性无论怎么强调都不过分， 尤其在数值线性代数和微分方程数值解 中，许多重要的算法都与正交性有密切 联系。而这两门学科是在工程科学中有 着最广泛应用的数学分支之一。
在欧氏空间内引入标准正交基后，欧氏 空间内向量的内积运算就转化成了我们 熟悉的向量空间内向量的内积运算。
一、标准正交基(Orthonormal Basis)
N (c, ) ，使其内任意点的函数值满足 f 2( x) 0 ，
从而
( f , f ) b f 2( x)dx c f 2( x)dx 0
a
c
矛盾。其他性质显然可证。
类似地，将矩阵看成由行向量依次连接而成 的一个超级向量，即可得如下内积定义：
例6 在矩阵空间 Rm n 中，对任意 A、B Rmn
从规范正交基的定义看，有三个要件：
（1）是向量个数与维数相等的线性无关的向量组； （2）是两两正交的向量组，即正交向量组； （3）是每个向量都是单位向量的单位向量组。
首先，如何确定向量组是否线性无关性呢？
定理3 欧氏空间 V 的向量组 1,2, ,s 线性无
关的充要条件是矩阵 G(1,2, , s ) 非奇异(可逆)