5-6几种重要的微分方程应用模型

C
ln2 0 .693 T k k
C ( t) C e 0
kt
C0
O
T
t
高等数学
05-06-18
例 用某药进行静脉注射，第一次注 射后，经一小时浓度降至初始浓度 的 2 2 ，问要使血药浓度不低于初 始浓度的一半，问经过多长时间要 进行第二次注射？
高等数学
05-06-19
设 xa—胃肠道（吸收部位）的药量 D x — 体内的药量 F Ka Ka— 吸收速率常数 K — 消除速率常数 V F — 所给剂量 D 中可吸收的分 x(t) 数，称为生物利用度(0F1)。
C
k kt 0 C ( t) ( 1 e ) Vk
平衡浓度
k0 Vk
O
t
高等数学
05-06-25
例 由物理学Newton冷却定律知， 在环境温度 T0 保持不变的前提下， 物体温度 T 的变化率与当时物体温 度 T 和所处环境温度 T0 之差成正比。 在外界温度为20℃（恒温）时，一 物体在20分钟之内由100℃降到60℃， 求（1）冷却规律；（2）40分钟时 物体的温度；（3）多长时间物体降 至30℃？
高等数学
05-06-26
例 有一容器内盛盐水100升，含盐 50克，现将每升含盐量2克的盐水以 每分钟5升的速率注入容器并不断地 搅拌使混合液迅速达到均匀，同时 混合液以相同的速率流出容器，问 在任一时刻 t 容器内的含盐量 x(t) 是 多少？在30分钟末容器内的含盐量 是多少？
高等数学
05-06-27
05-06-13
室模型 是将整个机体设想成若干个房 室，认为药物在体内的吸收、分布、 代谢、消除的过程在房室之间进行， 并假设药物在房室中的分布是均匀 的。
高等数学
05-06-14
二、药物动力学室模型 （1）快速静脉推注 （2）口服给药 （3）静脉滴注
高等数学
05-06-15
一室模型 是将机体看成一个动力学上同 质的单元，它适合于给药后，药物 立即进入血液循环，并能在瞬间分 布全身和达到动态平衡的情况。
V V e 0
0
a
( 1 e
at
)
V V e 0
当 at+ 时
t 0
0
a
V V e m ax 0
高等数学
05-06-38
V
V 0e
0 a
指数曲线
Gompertz曲线
O
t
高等数学
05-06-39
小结：数学模型，数学建模 建立数学模型的方法和步骤 放射性同位素衰变模型 药物动力学室模型（快速静脉推 注，口服给药，静脉滴注） 牛顿冷却模型 溶液连续稀释模型 Logistic模型 肿瘤生长的数学模型
一级速率过程 在某一变化过程中，一个量的 变化速率与当时的量成正比，称这 种动力学过程为一级速率过程。
高等数学
05-06-12
例 在中东巴勒斯坦地区一个山洞里 发现的古人骨中，同位素14C与12C之 14 比仅为活组织的 6.24% ，已知 C 每 年衰减1/8000，试问此人活在多少年 前？
高等数学
高等数学
05-06-01
第六节 几种重要的 微分方程应用模型
高等数学
05-06-02
数学模型(Mathematical Model) 对于一个现实对象，为了一个 特定的目的，根据其内在规律，作 出必要的简化假设，运用适当的数 学工具，得到的一个数学结构称为 数学模型。
高等数学
05-06-03
数学建模(Mathematical Modeling) 建立数学模型的全过程（包括 表述、求解、解释、检验等）。
高等数学
05-06-40
作业：P123 习题五 8 9 14
例（流入流出速率不一样） 有一容器内盛盐水100升，含盐 50克，现将每升含盐量2克的盐水以 每分钟5升的速率注入容器并不断地 搅拌使混合液迅速达到均匀，同时 混合液以每分钟2.5升的速率流出容 器，问在任一时刻 t 容器内的含盐量 x(t) 是多少？
高等数学
05-06-28
例（不流出） 有一容器内盛盐水100升，含盐 50克，现将每升含盐量2克的盐水以 每分钟5升的速率注入容器并不断地 搅拌使混合液迅速达到均匀，问在 任一时刻 t 容器内的含盐量 x(t) 是多 少？
高等数学
05-06-06
建立数学模型的方法和步骤：
（1）模型准备 在建模前应对实际问题 的背景有深入的了解，明确所要解决问 题的目的，并收集已有的各种资料和数 据。 （2）模型假设 由于实际问题错综复杂， 涉及面广，必须先将问题理想化，简单 化，即抓住主要因素，暂不考虑次要因 素，这是建模的关键一步。
高等数学
05-06-04
例（航行问题） 甲乙两地相距750 公里，船从甲到乙顺水航行需30小 时，从乙到甲逆水航行需50小时， 问船的速度是多少？ 用 x 表示船速，y 表示水速，得方程：
(x y)30750 (x y)50750
x 20 y 5
答：船速每小时20千米。
05-06-21
K FD K t Kt a a C ( t ) ( e e ) V ( K K ) a
C
Cmax

FD AUC C ( t ) dt 0 VK
药物吸收的总量
O t
高等数学
05-06-22
K 1 a ln 达峰时间 tm K K a K
C
Cmax
K
高等数学
05-06-20
dx a 初值条件 K x a a dt xa (0) FD dx x ( 0 ) 0 K a x a Kx dt K FD K t Kt a a x ( t ) ( e e ) K K a
高等数学
高等数学
05-06-35
于是，得到模型

dV V dt d a dt
高等数学
05-06-36
若 a=0，得
V V0e
若 a>0，得
At
V V e 0
0
a
( 1 e
at
)
上式称为高姆帕茨(Gompertz)函数。
高等数学
05-06-37
当 at0 时
峰浓度
FD Kt m C e m ax V
O
tm
t
高等数学
05-06-23
设以恒定速率 k0 作静脉滴注 k0 V x(t) k
dx k 0 kx dt x (0) 0
k kt 0 x ( t) ( 1 e ) k
高等数学
05-06-24
k0 Vk
高等数学
05-06-07
（3）模型构成 在所假设的基础上， 分清变量类型，利用适当的数学工 具刻划各变量之间的关系，建立相 应的数学模型。 （4）模型求解 根据建立的数学模 型，给出相应的数学求解方法，如 解方程，画图形，数值计算，利用 计算机技术等。
高等数学
05-06-08
（5）模型分析和检验 将所得的结 果与实际情况作分析比较，用已有 数据去验证，判断模型的正确性。 如果由模型分析或计算出来的理论 或数值与实际问题或实际数值较吻 合，则模型成功；如果两者差别很 大，则模型失败，需要重新修改模 型。
高等数学
05-06-09
模型准备
模型假设
模型构成
模型检验
模型分析
模型求解
模型应用
高等数学
05-06-10
一、放射性同位素衰变模型 二、药物动力学室模型 三、牛顿冷却模型
四、溶液连续稀释模型
五、Logistic模型 六、肿瘤生长的数学模型
高等数学
05-06-11
一级反应 若化学反应速率与反应物的浓 度成正比，称为一级反应。
高等数学
05-06-33
1839年维尔豪斯特提出了著名的 Logistic方程（又称阻滞方程）。
dy (By)y dt
得
B y(t) Bt 1Ce
高等数学
05-06-34
设 V 表示在 t 时刻肿瘤的大小 （可以是体积、重量、细胞数等）， 由实际经验知道，肿瘤生长到时刻 t 时的增长速率与当时的 V 值成正比， 比例系数为 ，而 随时间 t 增大而 减小，其减小速率与当时 的大小 成正比，比例系数为常数 a(a≥0)。
高等数学
05-06-05
航行问题建立数学模型的基本步骤： 1.作出简化假设（船速、水速为常数）； 2.用符号表示有关量（x,y 表示船速和水 速）； 3.用物理定律（匀速运动的距离等于速 度乘以时间）列出数学式子（二元一次 方程）； 4.求解得到数学解答（x=20, y=5）； 5.回答原问题（船速每小时20千米）。
高等数学
05-06-31
例 讨论某个封闭人群中人口变化 规律。假设在时刻 t 的人口数 y(t) 满 足微分方程
dy (t, y) y dt
其中 (t,y) 是人口相对增长率，它与 人口等其它因素有关。
高等数学
Baidu Nhomakorabea
05-06-32
最简单的情况是 (t,y)=nm=a 为常 数。
得
dy ay dt at y(t) y 0e
高等数学
05-06-16
设 x(t) 为体内 t 时刻的药量，D 为一次注射的剂量，k>0 为消除速率 常数，V 为室的理论容积，称为表 观分布容积。 D
dx kx dt x (0 ) D
x ( t)De
kt
V x(t)
k
高等数学
05-06-17
血药浓度半衰期（生物半衰期）
高等数学
05-06-29
例（流入清水） 有一容器内盛盐水100升，含盐 50克，现将清水以每分钟5升的速率 注入容器并不断地搅拌使混合液迅 速达到均匀，同时混合液以相同的 速率流出容器，问在任一时刻 t 容器 内的含盐量 x(t) 是多少？
高等数学
05-06-30
课堂讨论题 一容器内有100L盐溶 液，其中含盐54g，清水以3L/min的 速度流入容器，以相同的速度流出， 采用搅拌以使容器内各部具有相同 的浓度，求在任一时刻 t 及1小时后 容器内的含盐量是多少？