运筹学基础-图论方法(1).

圈：若起始点和终点是同一个点的链称为圈。例如(v1 ,e1 ,v2 ,
e2 ,v4 ,e3 ,v3 ,e4 ,v1 ) 。
回路：若起始点和终点是同一个点的路称为回路。 连通图：一个图中，任意两个顶点至少存在一条链，则称这样的图 为连通图。否则称为不连通的。
图的名词和基本概念
次：与一个点相关联的边的数目称为次, 如v1 的次为2， v5的次 为3，次为奇数的点称为奇点，次为偶数的点称为偶点，次为0 的点称为孤立点，如v6 悬挂节点: 次为1的点称为悬挂节点:
图的名词和基本概念
v1
e4 v3
e1
v5 e5 e3 e6
v2
e8 e9 e2
v1
v 6 e 1 e5
e2 v5 e7 e6
v2
e9
v7
e10 v6 e8
e7
v4 e10
e3
v3 e4 v4 v8 链：是一个点、边交错序列, 如（v1 ,e1 ,v2 ,e2 ,v4 ) 路：如果链中每个项点都不相同, 则称为路，如（v1 ,e1 ,v2 ,e2 ,v4 )
第六章
图论方法
【引例1】Königsberg七桥问题
在Kö nigsberg城郊的Pregerl河上有两个小岛，小岛和河两岸 的陆地由7座桥相连（如图a），问题是如何从河岸或岛上的某 一个位置出发，能经过7座桥正好各一次，最后回到出发地。 将图抽象，用4个点代表4个被河隔开的陆地（两岸和岛 屿），把桥表示为连接两个陆地之间的边，则得到图b所示的图， 从而问题变为如何从图中的某个点出发，经过所有的边正好一 次，最后回到这个点。
避圈法(普赖姆法)
4
300 1000 100 600 200 700
6
1.供水管 道的阀门
3
500
600
5
400 1100
7
2
900
此为最小树杈，最小线路长度为2400
练习：求最小树杈 v3 6
v1 1 7 3
5
v5 4
v6
5 v2
2
4 v4
破圈法答案
v3
6 1 5 v2
5 7 2
v5
4
v1
3
B D
√ √ √ √
A
F
C
E
A
C
B
F
E
D
§6.2 树图和图的最小部分树
一、树的性质
树：一个无圈的连通图称为树。
例如
性质1：任何树至少有一个悬挂节点 性质2：具有n个顶点的树的边恰好为(n-1)条 性质3：任何具有n个顶点、(n-1)条边的连通图是树图。 树图的任意两个点之间有一条且仅有一条唯一的通路，是最脆弱 的连通图
4 v4
v6
避圈法答案
v3 6 v1 5 1
v1
e1 v3
e2 v5 e6 e7 e4
v2
e5
e3
v4
v6
利用图可以对象之间的关系
例：有甲、乙、丙、丁、戊、己六名运动员参加A、B、 C、D、E、F六个项目的比赛。打对号的是各运动员参加比 赛的项目，问六个项目的比赛顺序应如何安排，做到每名运 动员都不连续地参加两项比赛。
甲 乙 丙 丁 戊 己 A √ √ √ √ B √ √ √ √ √ C D √ √ E F √
700
4 300 1.供水 管道的 阀门 100 600
6
1000 3源自文库
500 400 1100 2 900
200
5
600
7
破圈法(克鲁斯喀尔法)
700 1000 3 500 200 5 600
300
4
6
1.供水管 道的阀门
100 600
400
1100 1100 2 900 7
此为最小树杈，最小线路长度为2400
例：树的形成
v4 v1
v5
v2 已知在五个城市间架设电话线，要求任何两个城市都 v3 可以通话（允许通过其它城市），并且电话线的条数最少。 方案一 v4 方案二 v4 方案三 v4 v5
v1
v2 v3
v5 v1
v5
v2 v3
v1
v2 树
v3
不连通
有圈
问题：如何构建才能是最短路径
二、最小树杈问题
最小树杈问题是关于在一个网络中，从一个起点出发 到所有点，找出一条或几条路线，以使在这样一些路线中 所采用的全部支线的总长度是最小的，或铺设费用最少。 求图的最小树杈问题的方法有“破圈法”和“避圈 法”。 v2 e6 v2 e1 e6 e4 e1 v4 e v1 e4 e3 7 v 1 v5 v4 e5 v5 e2 e e
8 2
v3
v3
破圈法
避圈法
破圈法(克鲁斯喀尔法)
破圈法：任选一个圈，从圈中去掉杈最大的一条边。在余下的 图中重复这个步骤，直到得到一连通的不含圈的图为止。 例：已知连接五个城市的公交线路图，在要在五个城市间架设 电话线，为了便于维修要求电话线必须沿公路架设，并且电话 线总长度最小。 v 1
10 25 9 15 20 30
甲
戊
丁
e5
e3
丙 乙
边：若点与点之间的连线没有方向，称为边。如e1=[v1, v2], e10=[v4, v4]，
v1, v2称为e1的端点，e1称为v1,v2的关联边， v1,v2称为点相邻， e1,e2称为边相邻
弧：若点与点之间的连线有方向，称为弧，由此构成的图为有向图。
环：如果边的两个端点相重，称该边为环，如e10；如果两个端点之 间的边多于一条, 称为具有多重边，如[v2, v4] ,无环，无多重边的图为 简单图。
v5
12
此为最小树杈 最小线路长度为：
v2
20+15+10+9=54
v4
v3
避圈法(普赖姆法)
避圈法：开始选一条杈最小的边，以后每一步中，总从未 被选取的边中选一条杈尽可能小，且与已选边不构成圈的 边。 v1
10 25 9
v5
12
v2
20
15
30
v4
v3 此为最小树杈，最小线路长度为54
又例
在住宅小区安装供水管道。求最小线路。
张家口
承德 戊 丁
密云
怀柔 北京 通县 原平 灵丘 保定 太原 石家庄 塘沽 乙 甲
秦皇岛
丙
天津
图的最基本的要素是点以及点与点之间的一些连线，点表示我们要 研究的对象，线表示对象之间的某种特定关系。 如图中点和线赋与具体的含义和权重，称为网络图。
图的名词和基本概念
v1
e4 v3
e1
v5 e6
v2
e8 e9 e2 e7 v4 e10 v6
【引例2】
某河流中有几个岛屿，从两岸至各岛屿及岛屿之间的桥 梁如图。在一次军事行动中，问至少炸断几座桥，才能完全 切断A与F的交通联系？
2(0) 1(0) 2(0) 1(0) E 3(0) C 1(0) 1(0) 1(0) F
A
B D
2(0)
B
D
C
F
E D
A
§6.1 图的基本概念与模型
图是反映研究对象之间相互关系的一种工具。是在纸上 用点和线画出的各种各样的示意图。