动力气象学第3章 尺度分析

若水平速度尺度（特征值）记作V，实 际水平速度可以写为：u=Vu* v=Vv*， u*、v*为一无量纲量，其量值在0.5-2.5之 间。
将任一物理量写作： q Qq *
其中： Q－－特征量， 表示该物理量的一般大小； 常量；有量纲
q * －－无量纲量，
量级在 100左右，表示物理量的具体 大小；是变量；没有量纲
在南半球：高压——反气旋——逆时针
② 垂直方向上：
1 p g 0 －－静力平衡
z
Hydrostatic equilibrium
上式表示：在垂直方向上气压梯度力与重力基本平衡， 在大尺度运动中，任何一点的气压相当精确地等于该点 以上单位截面积的重量。
注意：这不意味没有垂直运动，只是近似平衡。这个关 系不仅成立于大尺度系统，还成立于中小尺度系统。
b) 中纬度中小尺度运动：
f0
~ 104 s,V
~ 101
m s
L ~ 105 m
R0
V ~ 100 f0L
——非地转
c) 热带大尺度运动：
f0
~ 105 s,V
~ 101
m s
L ~ 106 m
R0
V f0L
~ 100
——非地转
d) 海洋情形：
中高纬度
f0
~ 104 s,V
~ 101
m s
要使得R0
R0
V2 L
f0V
V /L f0
0
f0
相对涡度尺度 牵连涡度尺度
R0
V2 L
f0V
f
1 0
L /V
i a
惯性特征时间 运动平流时间
R0<<1时，特征惯性力比科氏力小，相对于科 氏力可以忽略，即非线性的平流项可以忽略；相 对涡度比牵连涡度小；运动平流时间大于惯性特 征时间，这类运动过程，可称为慢过程。
一、尺度的概念
由实际观测资料可知，任一物理量都 有一定的变动范围，我们可以用各物理量 场具有代表意义的量值来表示它的基本特 征。
各物理量具有代表意义的量值称为该 物理量的特征值。这一特征值就是尺度。 一般是用它的数量级来表征它的大小。
例如，在天气图上常见的天气系统中（中低 层大气），水平风速大致在5到25m·s-1 之 间，故可取10m·s-1 作为它的尺度。
L(m)
D(m)
U(m/s)
106
104
10
105
104
10
104
103 ~ 104
10
τ (s)
105 105 104
待定尺度 W , P, ...
基本方程组的尺度分析
在中高纬度大尺度大气运动中，各 物理量的特征量为：
基本尺度：
V ~ 101 ms 1;W ~ 10 2 ms 1;
L ~ 10 6 m; H ~ 10 4 m； ~ 10 5 s
此外，热力学方程此时常采用绝热形式：
Cp
dT dt
1
dp dt
0
由尺度分析可以证明，气压的全导数几乎由垂直运 动决定。对于中纬度大尺度运动
1 dp 1 p u p v p w p
dt t x y z
尺度分析得： 略去小项有：
1 p ~ u p ~ v p ~ U h P ~ 102 s1 t x y L w p ~ w z P ~ 101 s1 z H
V2 L
VW H
1 hP 0 L
f 0V
V
H2
10-4 10-4 10-5 10-3 10-3 10-12 －－ms-2
w u w v w w w 1 p g ~fu 2w t x y z z
w T
VW
W2
L
H
1 zP H
G
f 0V
W
H2
10-7 10-7 10-8 101 101 10-3 10-15 －－ms-2
途径：尺度分析
一般，采用尺度分析方法。它是一种 对物理方程进行分析和简化的有效方法。
这一方法是恰尼（1948年）首先倡导 的。以后经伯格（Burger,1958年）、 菲利普斯（1963）等人进一步发展完善， 现在大气动力学和数值天气预报的研究中 得到广泛的应用。
本章的主要内容： 1、尺度概念和大气运动的尺度分类 2、尺度分析方法 3、运动方程的尺度分析 4、基本方程组的简化与运动的基本性质 5、无量纲方程与无量纲参数
第三章 尺度分析与基本方程组的简化
（SCALE ANALYSIS OF THE BASIC EQUATIONS）
为什么要简化基本方程组？
原因：描述大气运动的基本方程组非常复杂 数学上：方程组是高度非线性的，求解上异常困难 物理上：影响大气运动的因子很多，重点不突出
因此：需要简化 数学上：略去方程中相对较小的项，保留大项，使方程简单，容易求解 物理上：略去次要因子，突出最主要因子的作用，即把握现象本质；
1
*
p* x*
f
*v*
上式即无量纲方程
R0
其中：
V2 L
f 0V
T
~
L; 1
V 0
hP
L
~
f0V
特征惯性力项 （Rossy数） 特征科氏力项 特征无量纲参数
R0
100 , 特征惯性力很小，加速 度很小，可忽略
满足准地转；
（所以可以通过Rossy数
R0 100， 非地转。 判断是否准地转运动）
又：
“尺度分析”的步骤：
明确要分析的运动系统， 即（大、中、小）尺度 运动；
了解该尺度运动中各基本物理量的特征量的量级大 小；
将q=Qq*代入方程，写出方程中各项的特征量； 计算各项特征量的量级； 比较大小，保留大项，略去小项。
基本方程组的尺度分析
运动 大尺度 中尺度 小尺度
大、中、小尺度运动的基本尺度
这里的q是广义的，不仅包括气 象要素，还包括方程各项。
比较物理量的大小，可以比较特 征量Q的大小（即“尺度”）。
如：已知：
u Vu*,t Tt*
则：
u t
V T
u * t *
V 是 u 的特征量，u* 是其无量纲量。
T t
t *
二、“尺度分析”概念
依据表征某类运动系统各场变量的 特征值，来估计大气运动方程中各项量 级大小的一种方法。根据尺度分析的结 果，结合物理上的考虑，略去小项，保 留大项，以得到突出某类运动特征的简 化方程。
V ~ 101 f0L
物理量变化尺度：
hV zV V ; hW zW W ;
同时认为：任意物理量 F的时间变化尺度与
其水平变化尺度相同 ,即：t F h F 气压和密度的变化： h P ~ 103 Pa， z P ~ P ~ 105 Pa h ~ 102 kg / m3, z ~ ~ 100 kg / m3
讨论：
⑴ 分子粘性力可以忽略 不考虑分子粘性和湍流粘性—“自由大气”
对短期天气过程来说，分子粘性很小，即 日常天气过程可以不计； 对气候学来说，分子粘性累积起来就很大 了，所以不能忽略！
高层：层流，分子、湍 流粘性力可略－自由大 气； 低层：湍流粘性力重要 ，分子粘性力可略－湍 流边界层
⑵ 取“零级近似”， 即只保留量级最大项，得到的简化方程为：
空气分子的粘性系数 : 105 m2s1
f ~ ~f ~ 104 s1
对中高纬地区 f
2 sin 2 7.292105
2 S 1 2
2 3600 24 S 1
三、运动方程的尺度分析
u u u v u w u 1 p ~fw fv 2u t x y z x
V T
连续方程的零级简化说明大尺度运动是准水 平无幅散的。
小结：
“零级近似”得到的平衡方程：1 px fv 0
•这组方程中不含有时间偏导数项， 所以称之为“平衡简化方程组”。
1
p y
fu
0
1
p
g
0
z
•这组方程中不含有热力学方程
u v 0 x y
由此可见，中高纬度大尺度大气运动 的主要特征是：准地转平衡、准静力平衡、 准水平无辐散、准水平、准定常。
准地转的。
地转平衡关系的重要性：
The geostrophic balance is a diagnostic expression that gives the approximate relationship between the pressure field and horizontal velocity in large-scale extratropical systems.
R0>=1时，非线性平流项不能忽略，因此，方 程式非线性的，相对涡度大于或等于牵连涡度， 运动的平流时间小于或等于惯性运动时间，这样 的运动过程称为快过程。
Rossby数的应用：
a) 中纬度大尺度运动：
f0
~ 104 s,V
~ 101
m s
L ~ 106 m
R0
V f0L
~ 101 1
——准地转
揭示了风场与气压场之间最简单，最 基本的联系。大尺度运动处于准地转平衡 状态，这是大尺度运动一个重要性质。
地转平衡运动的特征： 动力学特征：
水平压力梯度力与科氏力相平衡 运动学特征：
风沿等压线吹；背风而立，高压在右， 低压在左（南半球相反）。
地转风的表达式：
Vg
1
f
k
h
P
南半球： 0, f 0
1
p x
fv
0
1
p y
fu
0
1
p z
g
0
“①零水级平近方似向”上的：特点：
1
1
p x p
fv 0 fu 0
y
矢量形式：
1
h
p
fk V
0
水平气压梯度力＋水平科氏力＝0 ——地转平衡
(Geostrophic balance)
这表明“大尺度”
运动中水平气压梯
度力与科氏力基本
相平衡的，运动是
10-4
V2 L
10-4
VW H
10-5
1 hP L
f 0W
f 0V
V
H2
10-3 10-6 10-3 10-12
－－ms-2
其中： 2 u
2u x 2
2u y 2
2u z 2
~
V L2
V L2
V ~
H2
V H2
v u v v v w v 1 p fu 2v t x y z y
V T
纲参数都具有明确的物理意义。无量纲方程 和无量纲参数在对大气运动进行动力分析时 十分有用。
方程无量纲化的步骤：
1）把方程各项写作 “特征量×无量纲量”的形式。
2）化为“无量纲方程” ： 用方程中某一项的特征量同除方程
的每一项（量纲齐次性原理） ——无量纲方程 ——各项前面的系数－无量纲（数） ——体现各项的相对重要性。
例：以水平运动方程的“一级近似”为例
u u u v u 1 p fv
t x y x
V u* T t*
V2 L
u *
Baidu Nhomakorabea
u* x*
v*
u* y*
1
0
hP
L
(
1
*
P* x*
)
f0V ( f *v*)
两边同除以科氏力的特征量 f0V
R0
(
u * t *
u*
u * x*
v*
u* ) y *
一级简化方程与原方程组最大的差异 在于垂直运动方程采用了静力平衡关系， 这样简化了数学处理，它能滤去声波。
六、无量纲动力学参数
在动力气象学中，经常利用特征尺度，引 进无量纲变量，将动力学方程无量纲化，并 由此得到一些由基本尺度 L, D, ,U 和环境
参数 g, f0, H 组成的无量纲参数，这些无量
静力平衡关系的重要性：
给出了瞬时气压场、密度场、温度场 之间的关系。
大尺度运动经常处于准静力平衡状态， 这是大尺度运动又一重要性质。
注意：
运动方程的零级近似式中不含有气象 要素的时间导数项，称其为诊断方程。不 能对速度场作确定，因此不能作为预报方 程。
四、连续方程的零级简化形式：
u v 0 －－水平无辐散 x y
dp w p gw 静力平衡关系
dt z
上式改写为：
T T T T g u v w w0
t x y z C p
由此得到热力学一级简化方程：
T u T v T t x y
d w 0
其中， g C p d , T z
这说明大尺度运动中温度的局地变化 主要是由温度平流和垂直运动决定的。
五、一级简化方程
u
t
u
u x
v
u y
1
p x
fv
v
t
u
v x
v
v y
1
p y
fu
1 0
p z
g
0
u x
u y
w z
0
t
u x
v y
w z
0或C p
dT dt
1
dp dt
0其中p
RT
R
p R
p00 p
Cp
一级简化方程组可称为“非平衡简化 方程组”。在这一方程组中，运动方程是 不含有W项。由于垂直运动对于大气变化 有重要影响，虽在运动方程中一般对流项 比其它项要小，但作为预报方程，一般还 应保留对流项。一级简化方程组中的连续 方程不含时间导数项，这表明密度场基本 上是定常的，可作为预报方程有时也保留 时间导数项。
最终结果： 使简化的方程反映的物理规律更加清晰，求解起来更加方便。
具体来说，大气中存在各种不同尺度 的运动，虽然它们都用同一个基本方程组 来描述，但由于运动的尺度不同，使其运 动性质不一样。
当我们研究某一特定尺度运动时，只 有抓住决定该尺度运动的主要因子，忽略 那些次要因子，才能把握该运动的基本特 性。